П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

4 . Арифметические действия над последовательностями .

Пусть { } и { } — сходящиеся последовательности. Тогда сум-

ма, разность, произведение и частное этих последовательностей также являются сходящимися, причем справедливы равенства

где в случае частного ̸= 0 для всех = 1, 2, . . .

8.21.Доказать, что последовательность = 5 + (−1) не имеет предела при неограниченном возрастании .

8.22.Написать шесть первых членов последовательности

иисследовать ее сходимость:

§ 8.3. Монотонные и ограниченные последовательности. Число

1 . Монотонные последовательности . Последовательность

{ } называется неубывающей (невозрастающей), если для любого= 1, 2, . . . справедливо неравенство

Убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

П р и м е р 8.5. Доказать, что последовательность { }, где =

+ 1

=, является убывающей.

134 Глава 8. Предел последовательности

2 . Ограниченные последовательности. Последовательность

{ } называется ограниченной сверху (соответственно снизу) , если существует такое действительное число (соответственно число ), что для любого = 1, 2, . . . справедливо неравенство

6 (соответственно > ).

Последовательность { } называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют такие действительные числа и , что для любого = 1, 2, . . . выполняются

неравенства

6 6 .

Те о р е м а 8.1 (Вейерштрасса). Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, на основании теоремы 8.1 она сходится. Ее предел обозначается буквой :

Число иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 ( = 2, 718281 . . .).

Предел (8.8) называется вторым замечательным пределом .

П р и м е р 8.6. Найти предел

lim (1 + 5 )6 .

→∞

Р е ш е н и е. Сделаем замену = 5 и используем второй замечательный предел:

Р е ш е н и е. Представим дробь, стоящую в скобках, в следующем виде:

13

исделаем замену: = 3 + 1. Тогда, используя второй замечательный предел, получим:

тонно возрастает. Найти ее предел при → ∞.

Итак, наращенные суммы по сложной процентной ставке растут по геометрической прогрессии со знаменателем (1 + ).

Если проценты начислять не один раз в году, а раз, то формула (8.9) примет вид

Если количество начислений процентов в году стремится к бесконечности: → ∞, то такое начисление процентов называется непре-

рывным. Процентная ставка при непрерывном начислении процентов называется силой роста и часто обозначается через .

Наращенная сумма вклада за лет, при непрерывном начислении процентов по ставке , вычисляется по формуле

П р и м е р 8.8. Пусть = 1 млн.руб. — величина первоначального вклада в банке, годовые сложные проценты — 10%. Найти наращенную сумму за пять лет, если начисление процентов происходит а) ежегодно ( = 1), б) ежеквартально ( = 4), в) непрерывно ( = ∞). Вычислить, на сколько процентов наращенная сумма в случае б) больше, чем в случае а).

млн.руб.

1

в) По формуле (8.11) имеем: = 1 · 0,1·5 = 2 ≈ 1, 64872 млн.руб.

Величина вклада через пять лет при ежеквартальном начислении процентов будет больше соответствующей величины при ежегодном начислении процентов на:

1, 63862 − 1, 61051

1, 61051

· 100% ≈ 1, 745%. 2

138Глава 8. Предел последовательности

8.44.Банк выдал кредит на пять лет в размере 10 000 у.е. под 13% годовых (сложные проценты, начисления один раз в

год). Какую сумму следует выплатить банку через пять лет? На сколько процентов увеличится эта сумма при непрерывном начислении процентов?

8.45.Решить предыдущую задачу в предположении, что банк снизил на 0, 5% годовой процент.

8.46.На первоначальный вклад в банк, составляющий 100 000 руб., начисляются проценты по сложной годовой ставке

15%. Определить размер вклада через десять лет, если начисления производятся раз в год. Составить таблицу значений

, если принимает значения 1, 2, 4, 12, 365, ∞.

8.47.Решить предыдущую задачу в предположении, что банк увеличил на 1% годовой процент.

8.48.Банк предлагает два вида вкладов. В первом проценты начисляются один раз в год по сложной годовой ставке 6%,

во втором — проценты начисляются непрерывно по сложной годовой ставке 5%. Определить размер вклада через четыре года

вкаждом случае, если первоначальный вклад = 1000 у.е.

8.49.Какой ежегодной процентной ставке при однократном начислении процентов эквивалентна 10%-я сложная ставка при двукратном начислении процентов?

Г л а в а 9

Функции

§ 9.1. Понятие функции

Пусть и — произвольные непустые множества. Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается = ( ) или : → . Говорят также, что функция отображает множество в множество . Множество называется областью определения функции и обозначается ( ). Множество ( ) = { ( ): }

называется множеством значений функции .

Пусть задана функция : → . Если и являются подмножествами множества всех действительных чисел: R и R, то функция называется числовой функцией, или функцией одной

действительной переменной, или просто функцией и обозначается

= ( ). Переменная называется аргументом или независимой переменной функции = ( ), а — функцией или зависимой пере-

менной.

Наиболее часто встречается аналитический способ задания функции, т. е. когда функция задана посредством одной или нескольких формул.

П р и м е р√9.1. Найти область определения и множество значений функции = 2 + − 2.

Р е ш е н и е. Выделим под корнем полный квадрат: