П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

суммы простейших рациональных дробей :

где , и — некоторые действительные числа.

Для отыскания неизвестных постоянных , и в разло- жении (15.4) используется метод неопределенных коэффициентов.

П р и м е р 15.9. Разложить рациональную дробь

3 2 − 7 + 2

( − 1)2

всумму простейших дробей.

Ре ш е н и е. Искомое разложение имеет вид

где , и — неизвестные постоянные.

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая чис-

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает сис-

тему уравнений:

+ = 3,

−2 − + = −7,= 2,

222 Глава 15. Неопределенный интеграл

откуда получаем = 2, = 1, = −2. Итак, искомое разложение имеет вид:

В этом примере коэффициенты , , можно определить дру-

гим способом, полагая последовательно в тождестве (15.5) значения= 0, = 1 и, например, = 2. При = 0 находим = 2, при = 1

получаем = −2, а при = 2 имеем + 2 + 2 = 0, т. е. = 1. 2

В силу теоремы 15.4 интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших рациональных дробей

где > 1, > 1, а и — некоторые постоянные.

Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей на примерах.

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является простейшей

дробью типа (III). Данный интеграл вычисляется выделением полного квадрата в неприводимом квадратном трехчлене 2 + + 1:

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем тождество

1 = ( − 4) + ( − 1),

сводится к одному из интегралов (15.6)– (15.8) посредством выделения

Г л а в а 16

Определенный интеграл

§ 16.1. Понятие определенного интеграла

1 . Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Пусть функция = ( ) определена на отрезке [ , ]. Разобьем отрезок [ , ] на произвольных частичных отрезков точками= 0 < 1 < 2 < · · · < = (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Точки , = 0, 1, . . . , назовем точками разбиения отрезка [ , ]. Выберем в каждом из частичных отрезков [ −1, ], = 1, . . . , произвольную точку и составим сумму

Обозначим через длину максимального частичного отрезка дан-

228 Глава 16. Определенный интеграл

Если существует конечный предел

[ −1, ], = 1, . . . , , то он называется определенным интегралом

Итак, по определению

Если определенный интеграл (16.3) существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [ , ]. Числа и называются соот-

ветственно нижним и верхним пределами интегрирования , ( ) — подынтегральной функцией , ( ) — подынтегральным выраже-

нием.

Фигура, ограниченная графиком функции ( ), осью и прямыми = и = ( < ), называется криволинейной трапецией .

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции :

Z

= ( ) .

В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Непрерывная на отрезке [ , ] функция ( ) интегрируема на этом отрезке.

2 . Основные свойства определенного интеграла .

2. Если функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ], то

3. Если — постоянное число, а функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ], то

( ) = ( ) .

5. Если функция ( ) интегрируема на отрезке [ , ] и < < , то справедливо равенство

( ) 6 | ( )| .

Т е о р е м а 16.1 (Лагранжа о среднем). Пусть ( ) непрерывна