П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdfСБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Под редакцией проф. П.С. ГЕВОРКЯНА
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физ.-мат. наук, профессор В.Л. Клюшин доктор физ.-мат. наук, профессор В.В. Лебедев
УДК
ББК
Сборник задач по высшей математике для экономистов
/Геворкян П.С. и др.; Под ред. П.С. Геворкяна. — М.: ЗАО «Издательство «Экономика», 2010. — 384 c.—(Высшее образование).
ISBN
В сборник включены задачи по следующим разделам высшей математики: матрицы и определители, системы линейных уравнений, аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, ряды.
Приведены многочисленные задачи экономического содержания, которые показывают возможности применения математического аппарата в экономических исследованиях.
Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, которые снабжены большим количеством разобранных примеров.
Книга адресована в первую очередь студентам экономических специальностей вузов. Однако она, безусловно, может быть полезна также для экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
К о л л е к т и в а в т о р о в:
Павел Самвелович Геворкян, Светлана Ивановна Богатая, Елена Алексеевна Борисова, Александр Дмитриевич Козлов, Ольга Юрьевна Ланцова, Олег Иванович Павлов, Александр Владимирович Потемкин, Елена Николаевна Сахарова, Андрей Марсович Сунчалин.
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
|
Г л а в а |
1. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
§ 1.1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
§ 1.2. Применение матриц при решении экономических |
|
|
|
задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
§ 1.3. |
Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . |
19 |
§ 1.4. |
Определители -го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
§ 1.5. |
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
§ 1.6. |
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
§ 1.7. |
Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
Г л а в а |
2. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
§ 2.1. Квадратные неоднородные системы линейных уравне- |
|
|
|
ний. Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
§ 2.2. Решение общей системы линейных уравнений. |
|
|
|
Теорема Кронекера-Капелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
§ 2.3. |
Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
§ 2.4. |
Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . |
59 |
§ 2.5. |
Модель многоотраслевой экономики Леонтьева . . . . . . |
63 |
Г л а в а |
3. Векторы на плоскости и в пространстве . . . . |
68 |
§ 3.1. |
Векторы. Линейные операции над векторами . . . . . . . . |
68 |
§ 3.2. |
Коллинеарные и компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . |
71 |
§ 3.3. |
Прямоугольная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
73 |
§ 3.4. |
Скалярное произведение двух векторов . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
§ 3.5. |
Векторное и смешанное произведение векторов . . . . . . |
82 |
Г л а в а |
4. Линейные пространства и линейные |
|
операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
|
§ 4.1. |
Линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
4 |
Оглавление |
|
|
§ 4.2. |
Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
§ 4.3. |
Собственные значения и собственные векторы |
|
|
линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
96 |
§ 4.4. Модель международной торговли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
|
Г л а в а |
5. Прямые линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
§ 5.1. |
Уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
§ 5.2. |
Нормальный вектор прямой. Расстояние от точки до |
|
|
прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
106 |
§ 5.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности |
|
|
|
и перпендикулярности двух прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
108 |
Г л а в а |
6. Плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
113 |
§ 6.1. |
Уравнения плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . |
113 |
§ 6.2. |
Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
§ 6.3. |
Угол между двумя плоскостями. Условия параллель- |
|
|
ности и перпендикулярности двух плоскостей . . . . . . . . |
117 |
Г л а в а |
7. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
§ 7.1. |
Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
§ 7.2. |
Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
122 |
§ 7.3. |
Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
125 |
Г л а в а |
8. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
§ 8.1. |
Понятие множества. Операции над множествами . . . . |
127 |
§ 8.2. |
Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
130 |
§ 8.3. |
Монотонные и ограниченные последовательности. |
|
|
Число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
133 |
§ 8.4. |
Задача о непрерывном начислении процентов . . . . . . . . |
136 |
Г л а в а |
9. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
139 |
§ 9.1. |
Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
139 |
§ 9.2. |
Элементарные функции и их графики . . . . . . . . . . . . . . . |
142 |
§ 9.3. |
Применение функций в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
149 |
Г л а в а |
10. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . |
152 |
§ 10.1. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
152 |
|
§ 10.2. Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
157 |
|
§ 10.3. Непрерывность функции. Классификация точек |
|
|
|
разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
160 |
Оглавление |
5 |
Г л а в а 11. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
165 |
§ 11.1. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
165 |
§ 11.2. Производная сложной и обратной функций . . . . . . . . . . |
169 |
§ 11.3. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
173 |
§ 11.4. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
174 |
§ 11.5. Экономическая интерпретация производной . . . . . . . . . |
177 |
Г л а в а 12. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
180 |
§ 12.1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
180 |
§ 12.2. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
184 |
Г л а в а 13. Основные теоремы дифференциального |
|
исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
186 |
§ 13.1. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
186 |
§ 13.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя . . . |
189 |
§ 13.3. Предельный анализ в экономике. Эластичность |
|
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
192 |
Г л а в а 14. Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
196 |
§ 14.1. Условия возрастания и убывания функций. |
|
Экстремумы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
196 |
§ 14.2. Направление выпуклости и точки перегиба графика |
|
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
200 |
§ 14.3. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
203 |
§ 14.4. Общая схема исследования функций и построение |
|
графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
204 |
§ 14.5. Приложения производной в экономике . . . . . . . . . . . . . . . |
207 |
Г л а в а 15. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
211 |
§ 15.1. Первообразная и неопределенный интеграла . . . . . . . . . |
211 |
§ 15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . |
214 |
§ 15.3. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
217 |
§ 15.4. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . |
219 |
§ 15.5. Интегрирование квадратичных иррациональностей . . |
224 |
Г л а в а 16. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
227 |
§ 16.1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
227 |
§ 16.2. Замена переменной в определенном интеграле . . . . . . . |
231 |
§ 16.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле |
233 |
§ 16.4. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
235 |
§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла |
242 |
6 |
Оглавление |
|
|
Г л а в а |
17. Дифференциальное исчисление функций |
|
многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
252 |
|
§ 17.1. Функции многих переменных. Предел и |
|
|
непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
252 |
|
§ 17.2. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
257 |
|
§ 17.3. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
261 |
|
§ 17.4. Экстремумы функций двух переменных . . . . . . . . . . . . . . |
264 |
|
§ 17.5. Экономическое приложение частных производных . . . |
267 |
|
§ 17.6. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
269 |
|
Г л а в а |
18. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . |
273 |
§ 18.1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . |
273 |
|
§ 18.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися |
|
|
переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
275 |
|
§ 18.3. Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . |
278 |
|
§ 18.4. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . |
280 |
|
§ 18.5. Линейные дифференциальные уравнения первого |
|
|
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
282 |
|
§ 18.6. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . |
285 |
|
§ 18.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения |
|
|
-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . |
288 |
|
§ 18.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравне- |
|
|
ния -го порядка с постоянными коэффициентами . . . |
293 |
|
Г л а в а |
19. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
300 |
§ 19.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся |
|
|
ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
300 |
|
§ 19.2. Необходимое условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . |
303 |
|
§ 19.3. Положительные ряды. Теоремы сравнения рядов . . . . |
305 |
|
§ 19.4. Признаки сходимости положительных рядов . . . . . . . . . |
309 |
|
§ 19.5. Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
314 |
|
Г л а в а |
20. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
320 |
§ 20.1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости |
320 |
|
§ 20.2. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
327 |
|
Ответы . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
337 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный сборник задач непосредственно связан с учебником «Высшая математика для экономистов» под редакцией проф. П.С. Геворкяна, вышедшим в свет в издательстве «Экономика» в 2010 г., и отражает содержание программы по математике для экономических специальностей вузов.
В сборник включены задачи и примеры из следующих разделов высшей математики: матрицы и определители, системы линейных уравнений, аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, ряды. Специально выделены параграфы и приведены многочисленные задачи экономического содержания, которые показывают возможности применения математического аппарата в экономических исследованиях.
Все разделы сборника задач снабжены краткими теоретическими сведениями с большим количеством подробно разобранных примеров. Конец решения примеров и задач отмечено знаком 2. К задачам, номера которых помечены одной звездочкой,
даны указания в разделе «Ответы».
Книга адресована в первую очередь студентам экономических специальностей вузов. Однако она, безусловно, может быть полезна также для экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
Авторы выражают благодарность ректору Академии труда и социальных отношений профессору В.А. Каменецкому за внимание и доброжелательное отношение к данному учебнику.
Москва, май 2010 г. |
Авторы |
Г л а в а 1
Матрицы и определители
§ 1.1. Матрицы
Матрицей размерности × называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов:
= 21 |
22 |
· · · |
2 |
. |
|
|
11 |
12 |
|
1 |
|
· · · |
· · · |
·· ·· ·· |
· · · |
||
|
1 |
2 |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сокращенно матрица записывается также в виде = ‖ ‖ либо= ( ) где (1 6 6 ) указывает номер строки, а (1 6 6 ) —
номер столбца.
Матрица , у которой число строк равно числу столбцов: = , называется квадратной матрицей порядка .
Суммой + двух матриц = ( ) и = ( ) одинаковой размерности × называется матрица = ( ) той же размерности× , элементы которой определяются равенством:
= + .
Произведением матрицы = ( ) размерности × на число называется матрица = ( ) той же размерности × , элементы которой определяются равенством:
= .
Произведением матрицы = ( ) размерности × на матрицу = ( ) размерности × называется матрица = ( ) размерности × , элементы которой определяются равенством:
|
|
|
= 1 1 + 2 2 + . . . + = |
∑ |
|
, |
(1.1) |
|
|
=1 |
|
§ 1.1. Матрицы |
9 |
|
|
где = 1, 2, . . . , , а = 1, 2, . . . , . Иными словами, элемент, стоящий в -й строке и -м столбце матрицы произведения, равен сумме произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .
Матрица, полученная из данной матрицы заменой местами
строк и столбцов с сохранением порядка их следования, называется транспонированной к матрице и обозначается через ′ или .
Итак, если = ( ) — матрица размерности × , то = ( ) — транспонированная матрица размерности × .
П р и м е р 1.1. Найти матрицу = −5 + 2 , где
= |
|
1 |
2 |
|
, |
= |
( |
3 4 10 ). |
||
|
|
|||||||||
|
5 |
8 |
|
|||||||
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
7 |
9 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е. Найдем матрицу −5 , умножая каждый элемент мат- |
||||||||||
рицы на число −5: |
|
|
5 = −15 |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
−30 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
−10 |
|
|
|
|
|
− |
|
−25 |
−40 |
|
||||
Транспонируем матрицу : |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
= |
9 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
10 |
|
|
||
Найдем матрицу 2 , перемножив каждый элемент матрицы на
число 2: |
|
2 = |
18 |
8 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
14 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
20 |
|
|
|
||
Теперь найдем искомую матрицу : |
|
8 |
|
|||||||
= |
|
5 + 2 = |
−15 |
−30 |
+ 18 |
= |
||||
|
|
|
−5 |
−10 |
|
|
14 |
6 |
|
|
|
− |
|
−25 |
−40 |
22 |
20 |
|
|||
−15 + 18 |
−30 + 8 |
= |
3 |
−22 |
. 2 |
−5 + 14 |
−10 + 6 |
|
9 |
−4 |
|
−25 + 22 |
−40 + 20 −3 |
−20 |
|
||
10 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
П р и м е р 1.2. Найти произведения и (если они существу-
ют): |
0 |
= |
1 |
8 . |
= 1 |
||||
( |
) |
|
4 |
7 |
|
3 |
1 |
||
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Произведение не существует, так как число столбцов матрицы не совпадает с числом строк матрицы .
Произведение матриц существует, так как матрица имеет размерность 3 × 2, а матрица — 2 × 2, и число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы .
Найдем матрицу = . Размерность |
матрицы будет 3 × 2. |
|||||||
= = |
1 |
8 |
1 |
0 |
= |
21 |
22 |
, |
|
4 |
7 |
( |
5 |
) |
11 |
12 |
|
|
3 |
1 |
31 |
32 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где элементы первой строки определяются следующим образом:
11 = 11 · 11 + 12 · 21 = 4 · 2 + 7 · 1 = 15,12 = 11 · 12 + 12 · 22 = 4 · 5 + 7 · 0 = 20.
Аналогично находим элементы второй и третьей строк:
21 = 21 · 11 + 22 · 21 = 1 · 2 + 8 · 1 = 10,
22 = 21 · 12 + 22 · 22 = 1 · 5 + 8 · 0 = 5,
31 = 31 · 11 + 32 · 21 = 3 · 2 + 1 · 1 = 7,
32 = 31 · 12 + 32 · 22 = 3 · 5 + 1 · 0 = 15.
Итак, |
|
= = |
10 |
|
5 |
. |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
15 |
|
|
|||
Найти матрицу = + . |
|
−2 |
|
). |
|
||||||
1.1. = ( |
0 |
−3 |
), |
= ( |
1 |
|
|||||
( |
1 |
2 |
) |
|
|
( |
|
4 |
0 |
|
|
3 |
−6 |
|
|
−2 |
−1 ) |
|
|||||
1.2. = |
1 |
−2 |
|
, |
= |
( |
3 |
|
0 . |
||
1.3. = ( |
−1 |
−2 |
), |
= |
−2 |
−1 |
). |
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|