П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

г) ( 1, 2) = ( 2, 1).

д) ( 1, 2) = ( 1, 0).

4.25. Какие из отображений в задаче 4.24 являются изоморфизмами?

§ 4.2. Линейные операторы

Пусть — -мерное линейное пространство. Отображение: → называется линейным оператором, если выполняются условия:

(x1 + x2) = (x1) + (x2) и ( x) = (x),

где x, x1 и x2 — произвольные элементы пространства , а — любое действительное число.

Пусть e1, e2, . . . , e — некоторый базис -мерного линейного пространства . Разложим векторы e1, e2, . . . , e по базису e1, . . . , e :

e = 1 e1 + 2 e2 + . . . + e .

умножению соответствующей матрицы на координатный стол-

где x — произвольный элемент.

П р и м е р 4.1. Пусть в пространстве R3 линейный оператор в базисе e1, e2, e3 задан матрицей

92 Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы

Следовательно, (x) = 5e1 + 12e2 + 7e3. 2

П р и м е р 4.2. Доказать, что отображение , заданное формулой

(x) = (4 2 − 3, 1, 2 2),

где x = ( 1, 2, 3), является линейным оператором и найти его матрицу.

Р е ш е н и е. Рассмотрим произвольные элементы x = ( 1, 2, 3) и y = ( 1, 2, 3) и проверим линейность оператора :

(x + y) = ( 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) =

(4( 2 + 2) − ( 3 + 3), 1 + 1, 2( 2 + 2)) = (4 2 + 4 2 − 3 − 3, 1 + 1, 2 2 + 2 2) = ((4 2 − 3) + (4 2 − 3), 1 + 1, 2 2 + 2 2) =

(4 2 − 3, 1, 2 2) + (4 2 − 3, 1, 2 2) = (x) + (y),

( x) = ( 1, 2, 3) = (4 2 − 3, 1, 2 2) =

(4 2 − 3, 1, 2 2) = (x).

Итак, — линейный оператор.

Так как (e1) = (1, 0, 0) = (4, 1, 0), (e2) = (0, 1, 0) = (0, 0, 2)

и (e3) = (0, 0, 1) = (−1, 0, 0), следовательно, матрица данного оператора имеет вид

96 Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы

§ 4.3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть — -мерное линейное пространство, а — линейный

оператор.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором ли-

При этом число называется собственным значением оператора . Если выполняется равенство (4.6), то говорят также, что x

где — единичная матрица. Пусть

матрица оператора в некотором базисе e1, e2, . . . , e линейного пространства .

Т е о р е м а 4.2. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда это число является корнем уравнения

относительно . Этот многочлен называется характеристическим

многочленом, а уравнение (4.8) — характеристическим уравнением

матрицы (оператора ).

П р и м е р 4.5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение данной матрицы

Откуда получаем уравнение (1 − )2 = 16, решая которое, находим собственные значения 1 = −3, 2 = 5.

Теперь найдем собственный вектор x(1) = ( 1, 2), соответствующий собственному значению 1 = −3. Для этого составим матричное

получим, что векторы x = ( , −2 ) при любом ̸= 0 являются

собственными векторами, соответствующими собственному значению

1 = −3.

Точно так же можно убедиться, что векторы x(2) = ( , 2 ) при любом ̸= 0 являются собственными векторами, соответствующими собственному значению 1 = 5. 2

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

98 Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы

§ 4.4. Модель международной торговли

Пусть страны 1, 2, . . . , имеют национальные доходы1, 2, . . . , соответственно. Обозначим через долю националь- ного дохода, которую страна тратит на покупку товаров у страны. Предположим, что весь национальный доход тратится на закупку

товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т. е. для

Матрица = ( ), составленная из долей , называется структур- ной матрицей торговли.

Международная торговля будет сбалансированной только тогда, когда для каждой страны ( = 1, 2, . . . , ) выручка = 1 1+ + 2 2 + . . . + от внешней и внутренней торговли совпадает с национальным доходом этой страны, т. е. когда выполняется равен-

2, . . . , необходимо, чтобы их национальные доходы были пропорциональны координатам собственного вектора структурной матрицы A, соответствующего собственному значению 1 .

П р и м е р 4.6. Структурная матрица торговли трех стран 1, 2 и 3 имеет вид

Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

Р е ш е н и е. Найдем собственный вектор данной структурной матрицы, соответствующий собственному значению = 1. Для этого сле-

дует решить матричное уравнение x = x, или ( − )x = 0. Из этого матричного уравнения получаем систему уравнений

Решив ее методом Гаусса, получим: 1 = 8 , 2 = 3 , 3 = 10 , т. е. x = (8 , 3 , 10 ), где ̸= 0 — произвольное число.

Из полученного результата можно сделать вывод, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов x = (8 , 3 , 10 ), то есть при соотношении национальных

доходов стран 8 : 3 : 10. 2