П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.1. Матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.4. = ( |
2 |
|
0 |
|
), |
|
= ( |
0 |
|
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу = − . |
( |
−2 |
|
|
). |
|
|
|
||||||||||||
1.5. = ( |
0 |
|
−3 |
), |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
( |
1 |
|
|
|
2 |
) |
|
|
( |
|
4 |
|
0 |
|
) |
|
|
|||
3 |
|
−6 |
|
|
−2 |
|
−1 |
|
|
|||||||||||
1.6. = |
1 |
|
−2 |
|
, |
|
= |
|
|
3 |
|
|
0 . |
|
||||||
1.7. = ( |
−1 |
|
|
−2 |
), |
= ( |
−2 |
|
−1 |
|
). |
|
||||||||
1.8. = ( |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
= ( |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
), |
|
0 |
|
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу = + . |
|
|
|
|
|
−3 |
. |
|||||||||||||
1.9. = |
3 |
|
|
|
1 |
|
−5 |
, |
= |
0 |
|
|||||||||
( |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
− |
|
||||||
1.10. = |
|
−0 |
|
|
1 |
|
, |
= |
|
0 |
|
|
|
1 |
. |
|||||
( |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти матрицу = − . |
|
|
|
|
|
−3 |
. |
|||||||||||||
1.11. = |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
−5 |
, |
= |
0 |
|
||||||||
( |
1 |
|
|
|
0 |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−0 |
− |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||
1.12. = |
|
|
|
1 |
|
, |
= |
|
0 |
|
|
|
1 |
. |
||||||
( |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти матрицу = −4 + 3 . |
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.13. = ( |
3 |
|
5 |
), |
= ( |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
1.14. = |
( |
2 |
0 |
), |
= ( |
5 |
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
. |
|
|
|
1.15. = |
3 |
0 |
0 |
, = |
7 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
5 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
1 |
−1 0 |
|
|
. |
|||||||
1.16. Заданы матрицы = |
2 |
5 |
4 |
и = |
5 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
4 |
4 |
) |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 2 + 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.17. Заданы матрицы = |
3 |
3 |
4 |
и = |
2 |
5 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
4 |
5 |
) |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 6 − 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.18. Заданы матрицы = |
2 |
5 |
3 |
и = |
4 |
4 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
3 |
3 |
) |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 4 + 5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.19. Заданы матрицы = |
2 |
1 |
2 |
и = |
3 |
5 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
5 |
3 |
) |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 5 − 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.20. Заданы матрицы = |
2 |
1 |
4 |
и = |
2 |
4 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
5 |
2 |
) |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 6 + 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.21. Заданы матрицы = |
5 |
1 |
3 |
и = |
3 |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
3 |
) |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 3 − 5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.22. Заданы матрицы = |
4 |
2 |
5 |
и = |
4 |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
( |
3 |
1 |
) |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = 2 + 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
§ 1.1. Матрицы |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.23. Заданы матрицы = |
3 |
4 |
5 |
и = |
5 |
4 |
. |
|
( |
1 |
) |
|
4 |
4 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
Найти матрицу = 2 − 3 . |
3 |
1 |
5 |
4 |
3 |
||
1.24. Заданы матрицы = |
и = |
. |
|||||
|
( |
5 |
) |
|
3 |
1 |
|
|
|
5 |
4 |
|
|||
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
Найти матрицу = 6 + 2 . |
4 |
3 |
4 |
3 |
2 |
||
1.25. Заданы матрицы = |
и = |
. |
|||||
|
( |
4 |
) |
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
Найти матрицу = 3 − 2 . |
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу = · .
1.26. = ( |
3 |
5 |
), |
= |
( |
2 |
7 |
|
1 |
). |
|
||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
8 |
|
. |
|
1.27. = |
3 |
0 |
10 |
, |
|
= |
1 |
9 |
|||||
( |
2 |
9 |
7 |
) |
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.28. = |
2 |
1 |
5 |
, |
= |
3 |
|
4 |
. |
|
|||
( |
1 |
2 |
) |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.29. = ( |
|
|
), |
|
|
( |
|
). |
|
||||
1 |
1 |
= |
5 |
2 |
|
|
|
||||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
. |
|
1.30. = |
4 |
1 |
5 |
, |
= |
4 |
3 |
|
|
||||
( |
4 |
5 |
) |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.31. = |
1 |
7 |
2 |
, |
= |
3 |
4 |
|
5 |
. |
|||
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
7 |
1 |
|
2 |
|
|
2 |
5 |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
5 |
|||||
14 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
1.32. = −2 |
|
1 |
, |
= |
3 |
3 |
2 |
1 |
−5 . |
||||
|
|
1 |
|
8 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
3 ) |
|
0 |
−2 |
|
6 2 1 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.33. = |
5 |
|
0 |
1 |
2 |
, |
= |
0 |
|
1 |
5 |
||
( 2 1 0 4 ) |
|
|
|
2 |
|
3 |
7 |
|
|||||
|
|
1 |
1 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
12 |
0 |
8 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1.34. = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
0 |
7 |
|
3 |
|
1 |
4 |
0 |
1 |
= |
|
3 |
4 . |
||||
|
5 |
|
8 |
1 |
7 |
0 |
|
|
|
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу = · .
1.35. = ( |
− 7 |
−7 |
), |
= ( |
9 |
8 |
). |
|||||||
1.36. = ( |
|
10 |
|
9 |
|
= ( |
|
|
|
). |
|
|
||
7 |
−9 |
), |
|
1 |
|
9 |
|
|
||||||
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу = · . |
|
|
|
). |
|
|
||||||||
1.37. = ( |
3 |
5 |
), |
= ( |
2 |
|
3 |
|
|
|||||
1.38. = ( |
5 |
4 |
), |
= ( |
1 |
|
5 |
). |
|
|
||||
4 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
||||||||
1.39. = |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
. |
1 |
−2 |
, |
|
= −0 |
−2 |
|||||||||
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
, |
|
5 |
|
8 |
|||||
1.40. = |
4 |
7 |
|
1 |
|
7 |
|
= |
|
|
2 1 0 9 . |
|||
|
3 |
3 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
( −5 0 −3 1 ) |
||
1 |
3 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
0 |
|
2 |
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.2. Применение матриц при решении экономических задач |
|
|
15 |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
Заданы матрицы и . Найти произведения и . |
|||||||||||||||||||||||||
1.41. = |
( |
1 |
4 |
), |
|
= ( |
2 |
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
, |
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1.42. = |
3 |
7 |
−2 |
|
= −3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
9 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 2 −3 |
, |
|
2 7 1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
1.43. = −5 |
|
2 |
|
11 |
|
= |
−5 |
|
4 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−0 |
−5 −8 |
|
|
|
1 7 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
−4 |
−1 |
|
, |
|
= |
( |
11 0 |
1 |
). |
|
|
|
|
|
|||||||
1.44. |
|
|
0 |
|
7 |
|
|
|
2 3 |
−5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
− |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
−1 . |
|
|||||||||||
1.45. = |
|
7 |
−1 |
, |
|
= |
|
8 |
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
9 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 −8 |
|
|
|
|
2 |
−0 |
− |
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заданы матрицы , и . Найти матрицу = · · . |
|||||||||||||||||||||||||
1.46. = |
( |
2 |
1 |
), |
= |
|
( |
− |
3 |
−5 |
), |
= ( |
1 |
|
2 |
). |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
, |
11 |
|
2 |
−2 |
|
2 |
|
0 |
, |
||||
1.47. |
|
= |
|
0 |
|
7 |
|
11 |
|
= |
1 |
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
|
|
7 |
|
|
= |
2 1 |
3 |
|
2 3 4 |
|
|
|
|
−3 0 −1 |
||||||||||||||||
1 |
2 −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1.2. Применение матриц при решении экономических задач
Пусть предприятие выпускает продукцию видов, используя при этом видов сырья. Предположим, что для производства одной единицы продукции -го вида ( = 1, 2, . . . , ) расходуется сырье
16 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
-го типа ( = 1, 2, . . . , ) в количестве единиц, т. е. нормы расхода сырья характеризуются матрицей
= 21 |
22 |
· · · |
2 |
. |
|
|
11 |
12 |
|
1 |
|
· · · |
· · · |
·· ·· ·· |
· · · |
||
|
1 |
2 |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим также, что стоимость единицы сырья -го типа
равна ( = 1, 2, . . . , ), т. е. стоимость единицы каждого типа сырья задается матрицей-столбцом
1
= 2 .
· · ·
Тогда затраты = ( 1 . . . ) и общая стоимость сырья,
необходимые для планового выпуска продукции, заданного матрицейстрокой
= ( 1 2 . . . ) ,
соответственно вычисляются по формулам: |
|
= , |
(1.2) |
= = ( ) . |
(1.3) |
П р и м е р 1.3. Предприятие выпускает продукцию двух видов, используя при этом три вида сырья. Пусть нормы расхода сырья характеризуются матрицей
= |
4 |
2 |
, |
|
1 |
3 |
|
5 |
1 |
стоимость единицы каждого типа сырья задается матрицей-столбцом
( )
2
= , а план выпуска продукции — матрицей-строкой = 4
= (100 200 300).
Определить затраты и общую стоимость сырья, необходимые для данного планового выпуска продукции.
§ 1.2. Применение матриц при решении экономических задач |
17 |
|
|
Ре ш е н и е. Согласно формуле (1.2) затраты сырья составляют
= = (100·1+200·4+300·5 100·3+200·2+300·1) = (2400 1000).
Общую стоимость сырья вычислим по формуле (1.3):
= = 2400 · 2 + 1000 · 4 = 8800. 2
1.48.Предприятие выпускает продукцию трех видов, используя при этом два вида сырья. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей
= |
2 |
1 |
, |
|
5 |
7 |
|
3 |
4 |
стоимость единицы каждого типа сырья задается матрицей-
столбцом = |
( |
17 |
), а план выпуска продукции — матрицей- |
|
строкой = ( |
|
10 |
|
). |
90 60 90 |
||||
Определить затраты и общую стоимость сырья, необходимые для данного планового выпуска продукции.
1.49. Завод изготавливает продукцию четырех типов, используя при этом два вида ресурсов. Нормы затрат ресурсов характеризуются матрицей
= |
6 |
3 |
, |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
5 4
2 9
стоимость единицы каждого типа ресурса задается матрицей-
столбцом = |
( |
3 ), а план выпуска продукции — матрицей- |
|
|
( |
|
5 |
щую |
|
) |
|
строкой = |
|
110 70 250 140 . Определить затраты и об- |
|
стоимость ресурсов, необходимые для данного планового выпуска продукции.
18 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
1.50. Фабрика производит мебель четырех видов, используя при этом три вида материала. Нормы расхода материала характеризуются матрицей
= |
10 |
1 |
3 |
. |
|
2 |
3 |
12 |
|
5 |
2 |
4 |
||
|
7 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Стоимость каждого вида материала задается матрицей
1= 15 ,
9
а план выпуска продукции — матрицей = ( |
30 10 20 9 |
). |
Определить затраты и общую стоимость материала, необходимые для данного планового выпуска продукции.
1.51. Предприятие выпускает четыре вида изделий из трех видов сырья. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей
= |
4 |
7 |
5 |
. |
|
3 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
||
|
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Стоимость единицы каждого типа сырья задается матрицей
3= 5 ,
2
( )
а план выпуска продукции — матрицей = 200 50 100 300 .
Определить затраты и общую стоимость сырья, необходимые для данного планового выпуска продукции.
§ 1.3. Определители второго и третьего порядков |
19 |
|
|
§ 1.3. Определители второго и третьего порядков
Определителем второго порядка , соответствующим квадратной матрице второго порядка
= ( |
21 |
22 |
), |
(1.4) |
|||
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
det = | | = |
|
11 |
12 |
|
= 11 22 − 12 21. |
(1.5) |
|
21 |
22 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, если
11 12 13
= 21 |
22 |
23 |
. |
(1.6) |
31 |
32 |
33 |
|
|
квадратная матрица третьего порядка, то соответствующим ей определителем третьего порядка называется число
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
det = | | = |
21 |
22 |
23 |
= 11 22 33 + 13 21 32 + 31 12 23− |
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
− 13 22 31 − 11 32 23 − 33 21 12. (1.7)
Формулу (1.7) легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом треугольников , или правилом Сарруса (рис. 1.1).
Рис. 1.1
П р и м е р 1.4. Вычислить определитель матрицы
= ( |
3 |
−1 |
). |
|
2 |
4 |
|
20 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
Р е ш е н и е. По формуле (1.5) получим
| | = |
3 |
−1 |
= 2 · 1 − 3 · (−4) = 14. 2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 1.5. Вычислить определитель матрицы
= |
3 |
2 |
4 |
. |
5 |
3 |
1 |
||
1 |
3 |
2 |
Р е ш е н и е. По формуле (1.7) получим
3 2 4
| | = 5 3 1 = 3·3·2+2·1·1+5·3·4−4·3·1−1·3·3−5·2·2 = 39. 2
1 3 2
Вычислить определитель матрицы .
1.52. = |
( |
6 |
−1 |
). |
|
|
1.53. = ( |
−2 |
−1 |
). |
||
|
( |
2 |
3 |
). |
|
|
1.55. = ( |
|
1 |
3 |
|
|
1.54. = |
1 |
−2 |
|
|
1 |
1 |
). |
|
|
|||
|
( |
2 |
3 |
). |
|
|
1.57. = |
2 |
0 |
|
|
. |
1.56. = |
3 |
−2 |
|
|
11 |
2 |
15 |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
1 |
4 |
6 |
||
1.58. = |
1 |
2 |
|
3 |
1.59. = |
2 |
3 |
|
4 |
. |
||
|
|
4 |
3 |
|
5 |
|
|
5 |
6 |
|
1 |
|
|
−7 0 |
−1 |
1 8 |
−3 |
||||||||
1.60. = |
|
3 |
2 |
3 |
. |
1.61. = |
2 |
1 |
5 |
. |
||
|
|
5 |
3 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
3 3 |
−1 |
4 5 1 |
|||||||||
Решить уравнение.
1.62. |
|
4 − |
4 |
|
= |
15. |
|
2 |
−4 − |
|
− |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|