П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полуосями

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3925 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

§ 16.4. Несобственные интегралы	241

Несобственный интеграл	+Z∞ ( ) называется абсолютно схо-
		+Z∞ \| ( )\| .
дящимся, если сходится несобственный интеграл

Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Вычислить несобственные интегралы.

2			√ln .											4								2				8.
16.78. Z			√ln .											16.79. Z			√6					2				8.

1														2							−				−
1														2							−				−
4														2
16.80. Z												.		16.81. Z									.
																		( 1)2
	3									2								( 1)2
0	√( − 4)													1					−
2			2											3
16.82. Z	√								.					16.83. Z				√						.
16.82. Z	√			8	−		3		.					16.83. Z				√	2		−	1		.
0					−									1							−
0			( + 5)3 .											4				√3 16 2 .
16.84. Z			( + 5)3 .											16.85. Z				√3 16 2 .

−5														0							−
1														1
16.86. 2		( + 1)									.			16.87. Z				√		.
		( + 1)

			√1
Z			√1			−		4 2						0
0						−							Z
16.88. Доказать, что интеграл													Z				расходится.
													∞ arctg
													1
														∞ cos 3
16.89. Доказать, что интеграл														Z				сходится абсо-
16.89. Доказать, что интеграл														Z		2 + 7		сходится абсо-
лютно.														0
лютно.
16.90. Доказать, что интеграл															sin расходится.
16.90. Доказать, что интеграл													Z		sin расходится.
													2
													0

242	Глава 16. Определенный интеграл

	∞
16.91. Доказать, что интеграл	Z	cos расходится.
	0
	∞		+ 2
16.92. Доказать, что интеграл	Z		1	сходится.
16.92. Доказать, что интеграл	Z		2 (1 + )	сходится.
	1

§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла

1 . Вычисление площади плоской фигуры. Площадь фигу-

ры, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке [ , ] функции ( ), прямыми = , = и осью , или площадь

криволинейной трапеции (рис. 16.2) определяется по формуле

( ) .

(16.16)

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций ( ) и ( ), ( ) 6 ( ), и прямыми = , = (рис. 16.3),

определяется по формуле


= Z ( ( ) − ( )) .	(16.17)

Рис. 16.2

Рис. 16.3

П р и м е р 16.9. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( ) = − и осями и .

§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла	243

Р е ш е н и е. Нижним пределом интегрирования является точка 1 = 0. Из условия ( ) = = − = 0 находим второй предел интегрирова-

ния: 2 = 1 (рис. 16.4). Поскольку ( ) 6 0 при всех [0, 1], получаем

1	1
= − Z	( − ) = Z ( − ) =	Рис. 16.4
0	0	Рис. 16.4

1
= ( − ) 0 = − + 1 = 1. 2

П р и м е р 16.10. Вычислить	площадь фигуры, ограниченной ли-

ниями, задаваемыми уравнениями = 2, = 2 .

Р е ш е н и е. Пределы интегрирования опреде-
ляем из уравнения 2 = 2 : 1			= 0, 2 = 2. Вы-
числим искомую площадь (рис. 16.5) по формуле
(16.17):
2	3	2	8		4
	3	2	8		4
= Z (2 − 2) = 2 −		0	= 4 −		=		. 2
= Z (2 − 2) = 2 −	3	0	= 4 −	3	=	3	. 2	Рис. 16.5
0								Рис. 16.5

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения = ( ), = ( ), где 1 6 6 2, и осью , то ее площадь вычисляется по формуле

2		2
= Z1	( ) ′( ) = Z1		( ) ( ).	(16.18)
П р и м е р 16.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
эллипсом	{	= sin ,
		= cos ,
где [0, 2 ].
Р е ш е н и е. Заметим, что искомая площадь =				4 1, где 1 —

площадь, находящаяся в первой четверти (рис. 16.6). Поскольку = 0

		(						)
				2	= 0
при = 0				2	= 0
при =	2		значит, нижний предел интегрирования		1	= 2		и =
		(значит, верхний предел интегрирования					), то согласно

формуле (16.18) получим:

244 Глава 16. Определенный интеграл

		Z
	0
		= 4	sin ( cos ) =

		2	Z

				Z0
			0	2
		= −4	sin2 = 2	(1 − cos 2 ) =
Рис. 16.6
Рис. 16.6			2

= . Положив в этой формуле = = , получим площадь

= 2 круга с радиусом : 2 + 2 = 2. 2

Рис. 16.7

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции = ( ) и лучами = и

= ( < ), где и — полярные координаты,

или площадь криволинейного сектора (рис. 16.7) вычисляется по формуле


=	1	Z 2( ) .	(16.19)
	2

П р и м е р 16.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной спиралью Архимеда = , где — некоторое положительное число,

и лучами = 0, = 2 (рис. 16.8).

r =aϕ	Р е ш е н и е. По формуле (16.19) имеем
O			3			3
		1	2		2	2
ϕ= 32π	=	2	Z0	( )2 =	2	Z0	2 =
					2	3	3		9 2 3
Рис. 16.8				=	2	3	0	=	16 . 2

§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла	245

16.93.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции ( ) = 3 − 5 2 + 6 и осью .

16.94.Вычислить площадь плоской фигуры, заключенной между параболой ( ) = − 2 − 2 + 5, касательной к ней в

точке (2, −3) и осью .

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

16.95. = 2√

− 1,

= − 1.

16.96. = √

= 2 − √

+ 4

= 0.

16.97. = arctg ,

= arctg (2 − 4),

= 0.

16.98. = ln ( + 4),

= ln (− ),

= ln 6.

16.99. = ln ( + 1),

= 2 ln (1 − ),

= 0.

16.100.

= 1 −

√

− 3,

= 0.

16.101. = − 1,

16.102. = 3 − 2,

= 2 .

16.103. = 2 ln ,

= − ln ,

= .

16.104. = arcsin ,

16.105. 2 =

= − 3.

16.106. 2 = + 2,

2 = 4(3 − ).

16.107. Определить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды: = ( −sin ), = (1−cos ).

16.108. Определить площадь фигуры, ограниченной астроидой = 4 cos3 , = 4 sin3 .

16.109. Найти площадь петли кривой = 10( 2 + 1), = = 5( 2 − 3 ).

16.110. Вычислить площадь петли кривой = 3 2, = − 3.

246	Глава 16. Определенный интеграл

16.111. Вычислить площадь петли кривой = 2 − 2, = = 2 2 − 3.

16.112. Вычислить площадь фигуры внутри кардиоиды = = 1 + cos и окружности = 1.

16.113. Вычислить площадь фигуры внутри кардиоиды = = 1 + cos и вне кардиоиды = 3(1 − cos ).

16.114. Вычислить площадь фигуры между двумя лемнискатами 2 = 4 cos 2 и 2 = cos 2 .

16.115. Вычислить площадь фигуры внутри лемнискаты2 = 2 cos 2 и окружности = 1.

16.116. Вычислить площадь фигуры внутри кардиоиды = = 1 + cos и вне кардиоиды = 1 + sin .

2 . Вычисление длины дуги кривой. Если кривая задана уравнением = ( ), где ( ) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [ , ] функция, то длина этой кривой вычисляется по фор-

муле

	√
= Z			1 + [ ′( )]2 .			(16.20)
Если кривая задана параметрическими уравнениями						= ( ),
= ( ) ( 1 6 6 2), то
2	√
1	√
= Z		[ ′( )]2 + [ ′( )]2 .				(16.21)
Если кривая задана полярным уравнением = ( ), ( 6 6 ),
то
			√
			√
= Z				2 + ( ′)2 .		(16.22)
П р и м е р 16.13. Вычислить длину окружности					радиуса :
2 + 2 = 2.

Р е ш е н и е. Найдем 4 часть длины окружности, расположенную в первой четверти координатной плоскости (рис. 16.9).

§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла

247

Так как эта часть окружности задается

уравнением = √ 2 − 2, где [0, ], то в

y = √R2−x2

силу формулы (16.20) имеем

√1 +

−R

R x

√

4 =

2 =

−

−R

= arcsin

Рис. 16.9

2 .

Следовательно,

= 2

П р и м е р 16.14. Вычислить длину дуги циклоиды, заданной па-

раметрическими уравнениями (рис. 16.10)

= ( −sin ),

= (1−cos ),

0 6 6 2 . y

Р е ш е н и е. Поскольку

′( ) = (1

−

cos ),

′( ) = sin ,

πR

2πR x

то по формуле (16.21) получим:

Рис. 16.10

√ 2(1 − cos )2

+ 2 sin2 =

2(1 − cos ) =

√

= 2 Z

sin

2 = −4 cos

= 8 .

П р и м е р 16.15. Вычислить

длину

кардио-

иды = (1 + cos ) (рис. 16.11).

Р е ш е н и е. Поскольку кардиоида симметрич-

на относительно полярной оси, найдем половину

длины кардиоиды по формуле (16.22):

√

Рис. 16.11

= Z

[ (1 + cos )]2

+ [ (− sin )]2

√

= 4 sin 2

0 = 4 .

= Z

2(1 + cos ) = 2 Z cos 2

Итак, длина кардиоиды = 8 . 2

248 Глава 16. Определенный интеграл

Вычислить длину дуги плоской кривой.

16.117. =		1							,			0 6 6 /8.
16.117. =									,			0 6 6 /8.
			cos 2
			2											1 6 6 2.
16.118. =					− ln ,
16.118. =			8		− ln ,
																	2					4
16.119. = 2 ln [sin												],							6 6				.
16.119. = 2 ln [sin										2		],				3			6 6			3	.
16.120.		√												2		,			−1 6			6 1		.
16.120.		√												2		,								.
	=		(32 ln ()2√−												)
			(32 ln ()2√−												)
16.121. =				−									, 0 6 6 3.
						3
16.122. =		6					,						6			6 2 .

			sin							2
						3
		6						,			− 6 6 .
16.123. =
16.123. =			cos
			cos			3
						3				√
			( − 12)
16.124. =														,				0 6 6 12.
16.124. =														,				0 6 6 12.
							6					− √
16.125. = arccos √																				,	0 6 6 1.
																	− 2
																	− 2
16.126. = 3(1 + sin ).
16.127. = − sin ,													= 1 + cos ,									0 6 6 .

16.128. Вычислить длину дуги плоской кривой = 2, =

= − 3 между точками пересечения с осью

16.129. Вычислить длину дуги кривой = 2(1 + cos ) вне окружности = 1.

3 . Вычисление объема тела. Если площадь ( ) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси , является непрерывной функцией на отрезке [ , ], то объем тела вычисляется по формуле

( ) .

(16.23)

§ 16.5. Геометрические приложения определенного интеграла							249

П р и м е р 16.16. Найти объем эллипсоида
	2		2		2
		+		+		= 1.
	2		2		2

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью, перпендикулярной оси в точке с абсциссой , 6 6 . Очевидно, что это сечение

является эллипсом (рис. 16.12), определяемым уравнением

		2				2	= 1 −		2
				+									( = const),
		2		+		2			2				( = const),
или							2
	2					+	2						= 1 ( = const).
			2			+			2				= 1 ( = const).
2(1 −					)		2(1 −					)
2(1 −			2		)		2(1 −			2		)
							z
							z
							c						y
											b

	−a							O					a x

Рис. 16.12

Площадь, ограниченная этим эллипсом, равна:

( ) = √		2 (1 − 2 )		√		2		(1 − 2 )		= (1 −			2 ).
			2						2				2
Следовательно, по формуле (16.23) получим
					2						3			4


= Z	( ) = Z (1 −						)	= ( −				)	=		.
= Z	( ) = Z (1 −				2		)	= ( −			3 2	)	=	3	.
−		−										−
−		−

Таким образом, объем эллипсоида с полуосями , , равен

= 43 .

250Глава 16. Определенный интеграл

Вчастности, при = = = получаем объем шара радиуса :

= 43 3. 2

Объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной осью , двумя прямыми = , = и кривой, задаваемой уравнением = ( ), вычисляется по формуле

= Z 2	( ) .	(16.24)

y	y =sin x
1
0	π	π	x
0	2	π	x
	2
	Рис. 16.13

= Z 2	( ) .	(16.25)

П р и м е р 16.17. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси

криволинейной трапеции, ограниченной осью , графиком функции = sin и

прямыми = 0, = (рис. 16.13).

Р е ш е н и е. По формуле (16.24) получаем

					sin 2			2

= Z sin2 =		Z (1 − cos 2 ) =		( −		) 0
							=		. 2
	2		2		2		=	2	. 2
0		0

Вычислить объем тела , полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями.

16.130. = ( − 2)2,		= 4 − 2.
	− 1,	= 2,	= 0.
16.131. =

16.132. = 0, = sin +1 (между двумя точками касания этой линии с осью ).

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3925 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб4ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб37Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc