П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

1) его полуоси, 2) координаты его фокусов, 3) эксцентриси-

тет.

7.2. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось

= 3, б) большая полуось = 6, = 0, 5.

7.3.Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и с координатами:

в) (2, 0) и (1, 2).

7.4. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и . Написать его уравнение и найти

расстояние от точки до фокусов. Координаты точек следую-

7.5. На эллипсе 9 2 +25 2 = 225 найти точку , расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния

центриситет = 34. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки .

7.7.Определить траекторию точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке (−1, 0), чем к прямой

= −4.

7.8.На прямой = −5 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и от верхней вершины эллипса 2 + 5 2 = 20.

7.9.Написать уравнение окружности с центром (3,4) и радиусом =5. Лежат ли на этой окружности точки: (−1, 1),

(2, 3), (0, 0), (4, 1)?

√

(0, 0) называется центром гиперболы. Число = 2 + 2 называ-

гиперболы (см. рис. 7.2).

Рис. 7.2

Гипербола (7.4) является геометрическим местом точек, абсолютная величина разности расстояний которых до фокусов равна 2 .

Это свойство гиперболы называется ее фокальным свойством.

П р и м е р 7.3. Построить гиперболу 2−4 2 = 16 и ее асимптоты. Найти фокусы и эксцентриситет гиперболы.

Р е ш е н и е. Приведем уравнение к каноническому виду (5.18), разделив его на 16:

Итак, для нашей гиперболы = 4, = 2. Значит, прямые = ±12 являются ее асимптотами.

Найдем линейный эксцентриситет гиперболы:

√ √ √

= 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5.

7.18. Найти координаты центра, вершин и уравнения асим-

4 − 5

птот гиперболы = − 1 .

2

7.19. Написать уравнения касательных к гиперболе 16−

− 2 = 1, проведенных из точки (0, −2).

4

7.20.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса 9 2 + 25 2 = 225.

7.21.Составить уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между ее фокусами

равно 30.

7.22. Найти уравнение гиперболы, если ее действительная полуось равна 5, а эксцентриситет = 1, 4.

7.25. Уравнения асимптот гиперболы = ±2 , а расстояние между фокусами 2 = 10. Найти уравнение гиперболы.

§ 7.3. Парабола

Геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат удовлетворяют

где > 0, называется параболой.

Система координат , в которой уравнение параболы имеет

вид (7.5), называется канонической (для этой параболы), а само уравнение (7.5) — каноническим уравнением параболы.

Ось абсцисс является осью симметрии параболы (7.5). Вид параболы (7.5) приведен на рис. 7.3.

Точка (0, 0) называется вершиной параболы. Ось называется осью параболы. Число называется фокальным параметром парабо-

директрисой параболы (см. рис. 7.3).

Рис. 7.3

Точка ( , ) принадлежит параболе (7.5) тогда и только то-

гда, когда она равноудалена от фокуса и директрисы.

Это свойство параболы называется ее директориальным свойством.

7.26.Построить параболу 2 = 6 , найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

7.27.Написать уравнение параболы:

а) проходящей через начало координат и точку (1, −3),

Г л а в а 8

Предел последовательности

§ 8.1. Понятие множества. Операции над множествами

Множество — это совокупность (собрание, семейство, класс и т. д.) каких-либо объектов произвольной природы. Объекты, из которых состоит данное множество, называются элементами этого множества.

означает, что элемент принадлежит множеству . Запись / или означает, что элемент не принадлежит множеству . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется

пустым множеством и обозначается ?.

Множество называется подмножеством множества , если любой элемент множества также принадлежит множеству . Если является подмножеством , то пишут .

= — множества и совпадают (состоят из одних и тех же элементов).

— объединение множеств и .

∩ — пересечение множеств и .

— разность множеств и .

— дополнение множества .

N = {1, 2, 3, . . . } — множество натуральных чисел. Z = { 0, ±1, ±2, . . .} — множество всех целых чисел.

R — множество всех действительных чисел.

{ : ( )} — совокупность элементов множества , для которых выполнено ( ).

128Глава 8. Предел последовательности

Пр и м е р 8.1. Даны множества = { 1, 3, 6, 8} и = { 2, 4, 6, 8}. Найти , ∩ , .

Ре ш е н и е. Очевидно, что = { 1, 2, 3, 4, 6, 8}, ∩ = { 6, 8}

и= { 1, 3}. 2

8.1.= { N : = 2 , = 1, 2, 3, . . .}. Выяснить, являются ли числа 4, 6, 8, 10, 14, 16 элементами (записать ответ с использованием символов , /).

8.2.Верно ли равенство:

а) = { 1, 3, 4} и = { 2, 3, 4, 5},

б) = { 2, 4, 7} и = { 2, 7, 10, 12},

в) = { 2, 4, 5} и = { 4, 5, 8, 10}.

8.5.Пусть — множество корней уравнения 2 −8 +15 = 0

и= { 2, 5}. Найти и ∩ .

8.6.Доказать, что, если есть множество корней уравнения

2 − 7 + 6 = 0 и = { 1, 6} , то = .

8.7.Пусть — множество корней уравнения 2 −3 +2 = 0. Проверить справедливость равенства = , если:

а) = { 1, 2}, б) = { 2, 3}, в) = { 1, 2, 3}.

8.8.Пусть — множество четных чисел, — множество простых чисел. Найти ∩ .

8.9.Пусть — множество чисел, кратных 2, — множество чисел, кратных 5. Найти ∩ .

8.10.Пусть — множество чисел, оканчивающихся на 0,

— множество чисел, оканчивающихся на 5. Найти .

8.11.Пусть — множество чисел, кратных 3, — множество чисел, кратных 5. Найти ∩ .

8.12.Пусть — множество чисел, кратных 2, — множество чисел, кратных 3, — множество чисел, кратных 5. Найти

∩ ∩ .

8.13.Из 100 студентов английский язык изучают студентов, немецкий — студентов, французский— студентов, английский и немецкий — студентов, английский и французский — студентов, немецкий и французский — студентов, английский, немецкий и французский — студентов. Найти,

сколько студентов не изучают ни одного языка, сколько студентов изучают только один английский (немецкий, французский) язык, если:

а) = 42, = 30, = 28, = 10, = 8, = 5, = 3, б) = 41, = 29, = 32, = 14, = 10, = 8, = 5, в) = 37, = 31, = 29, = 15, = 10, = 7, = 5?

8.14. Определить, в каких из пар множеств одно множество является подмножеством другого:

а) и ∩ ,

б) и ,

в) ∩ и ∩ ,

г) ∩ и .

8.15. Какие из следующих множеств совпадают:

а) , б) ∩ , в) ∩ , г) ?