П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Решить неравенство.

§ 1.4. Определители -го порядка

1 . Понятие определителя -го порядка. Понятие определителя произвольной квадратной матрицы -го порядка введем индук-

тивным методом.

Предположим, что уже введено понятие определителя порядка− 1, соответствующего произвольной квадратной матрице ( − 1)-

го порядка. Для введения определителя -го порядка дадим понятие

минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Минором элемента квадратной матрицы -го порядка

общий множитель элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5)Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

6)Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

7)Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умножен-

ные на произвольное число , то определитель этой матрицы не из-

менится.

8) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, т. е.

| | = | | · | | .

При вычислении определителей по формулам (1.10) и (1.11) полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).

П р и м е р 1.6. Вычислить определитель

6 2 2 2

Р е ш е н и е. Из первой строки вычтем удвоенную вторую. Полученный определитель разложим по элементам первой строки:

0 0 2 0

0 7 7 7

Далее опять обращаем в нуль все элементы первой строки, кроме элемента в правом верхнем углу. Для этого вычтем из первой строки вторую. Полученный определитель разложим по элементам первой строки:

Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

12 6 −4

3 2 8

Вычислить определитель матрицы .

Для проверки правильности вычисления обратной матрицы необходимо убедиться в выполнении равенств · −1 = −1 · = . 2

П р и м е р 1.8. Определить, при каких значениях существует матрица, обратная данной матрице:

1 −2 3= −8 7 −6 .

5 −4

Р е ш е н и е. Так как обратную матрицу имеет только невырожденная матрица, следовательно, нужно найти определитель данной матрицы .

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на 8, а из третьей вычтем первую, умноженную на 5. Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Обратную матрицу можно вычислить также методом элементарных преобразований .

Элементарными преобразованиями матриц называются следующие действия над ними:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на произвольное число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на произвольное число.

В случае, когда одна из матриц и получается из другой с помощью элементарных преобразований, пишут .

Пусть — квадратная матрица -го порядка. Для нахождения обратной матрицы −1 построим прямоугольную матрицу ( | ) размера × 2 , приписывая к справа единичную матрицу размера× . Далее, с помощью элементарных преобразований над строками матрицу ( | ) приводим к виду ( | ), что всегда возможно, если невырождена. Тогда = −1.

П р и м е р 1.9. Методом элементарных преобразований найти−1 для матрицы

Р е ш е н и е. Составим матрицу ( | ):

1

Первую строку этой матрицы умножим на 3, из второй строки вы-

2

чтем первую, умноженную на 3, и из третьей строки вычтем первую. Получим:

Далее из первой строки вычтем вторую строку, умноженную на 4, вторую строку умножим на −3, из третьей строки вычтем вто-

рую, умноженную на 3. В результате получим:

Решить матричное уравнение · = .

Р е ш е н и е. Если | | ̸= 0, то решение уравнения · = определяется равенством = · −1.

Найдем −1: