П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

Найти решения системы.

2 1 + 2 − 3 = 0,

2.61.1 + 2 2 + 3 = 0,2 1 − 2 + 3 3 = 0.

1 − 2 − 3 = 0,

2.62.1 + 4 2 + 2 3 = 0,3 1 + 7 2 + 3 3 = 0.

−5 1 + 2 + 3 = 0,

2.63.1 − 6 2 + 3 = 0,

1 + 2 − 7 3 = 0.

1 + 2 + 3 = 0,

2.64.3 1 + 6 2 + 5 3 = 0,1 + 4 2 + 3 3 = 0.

{

1 − 2 2 + 3 = 0,

2.65.3 1 − 5 2 + 2 3 = 0.

{

3 1 + 4 2 + 5 3 = 0,

2.66.1 + 2 2 − 3 3 = 0.

1 + 3 2 + 2 3 = 0,

2 1 − 2 + 3 3 = 0,

2.67.3 1 − 5 2 + 4 3 = 0,

1 + 17 2 + 4 3 = 0.

1 + 2 2 + 3 + 4 = 0,

2.68.2 1 + 5 2 + 3 + 5 4 = 0,3 1 + 8 2 + 2 + 9 4 = 0.

−2 1 + 2 + 3 = 0,

2.69.1 − 2 2 + 3 = 0,

1 + 2 − 2 3 = 0.

2 1 + 2 + 3 = 0,

2.70.1 + 2 2 + 3 = 0,1 + 2 + 2 3 = 0.

{

§ 2.5. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева

Математическая модель межотраслевого баланса в статистической форме впервые была сформулирована в 1936 г. американским экономистом В.В. Леонтьевым.

Рассматривается экономическая система, состоящая из взаимо-

связанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением.

Обозначим через валовой выпуск продукции -й отрасли за планируемый период, а через — конечный продукт -й отрасли ( = 1, 2, . . . , ).

Пусть — часть продукции -й отрасли, которая потребляется-й отраслью для обеспечения выпуска ее продукции в размере

( , = 1, 2, . . . , ).

Тогда имеем систему балансовых соотношений:

называются коэффициентами прямых затрат , они определяют затраты -й отрасли, используемые -й отраслью для производства ее

единицы продукции.

Если ввести матрицу прямых затрат (технологическую или

структурную) = ‖ ‖, то балансовые соотношения можно переписать в компактной матричной форме:

где — единичная матрица.

Основная задача межотраслевого баланса: найти вектор валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат

обеспечивает заданный вектор конечного продукта .

Неотрицательная квадратная матрица -го порядка > 0 (все> 0) называется продуктивной, если для любого вектора > 0 существует решение > 0 уравнения (2.17).

На практике часто используется следующее условие продуктивности матрицы. Неотрицательная квадратная матрица продук-

тивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицу, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Если — продуктивная матрица, то решение балансового уравнения (2.17) можно записать в виде

где = ( − )−1 называется матрицей полных затрат .

П р и м е р 2.7. В следующей таблице представлен балансовый отчет для двухотраслевой модели экономики:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, обеспечивающий вектор выпуска конечной продукции

( )

200

= .

100

Р е ш е н и е. По формуле (2.16) находим матрицу коэффициентов прямых затрат:

Очевидно, что эта матрица продуктивна.

В следующих таблицах приведен балансовый отчет для многоотраслевых экономических систем. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, обеспечивающий вектор выпуска конечной продукции .

2.82.

2.89.Для задачи 2.83 найти необходимый объем валового выпуска отрасли, если конечное потребление продукции I-й отрасли увеличится на 22%, а II-й отрасли уменьшится на 10%.

2.90.Для задачи 2.88 найти необходимый объем валового выпуска отрасли, если конечное потребление продукции I-й отрасли увеличится на 20%, II-й отрасли уменьшится на 18%, а III-й отрасли увеличится на 15%.

Г л а в а 3

Векторы на плоскости и в пространстве

§ 3.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) — это направленный отрезок, т. е. отрезок , взятый с одним из двух возможных

направлений: от к или от к . Итак, с отрезком связаны

векторов и и обозначается + (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Произведением вектора на число называется вектор, обозначаемый , длина которого равна числу | | · | |, а направление совпадает с направлением вектора , если > 0, и имеет противоположное направление (т. е. направлением вектора − ), если < 0.

(рис. 3.2).

Рис. 3.2

Выражение + , где , — произвольные постоянные, назы-

вается линейной комбинацией векторов и .

3.1. Доказать, что операция сложения векторов имеет следующие основные свойства:

1.+ = + (свойство коммутативности ),

2.( + ) + = + ( + ) (свойство ассоциативности ),

3.3. Доказать, что операция произведения вектора на число имеет следующие основные свойства:

1.( ) = ( ) (свойство ассоциативности ),

2.( + ) = + (свойство дистрибутивности относительно суммы векторов),

3.( + ) = + (свойство дистрибутивности относительно суммы чисел).