Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§ 9.3. Применение функций в экономике	151

9.60. На основе опытных данных установлены зависимости спроса (количество покупаемого товара) и предложения (ко-

личество предлагаемого на продажу товара) от цены товара :

= ++ 72, = − 1. Найти: а) равновесную цену,

б) изменение дохода при уменьшении цены на 5% от равновесной.

9.61. На основе опытных данных установлены зависимости спроса (количество покупаемого товара) и предложения (ко-

личество предлагаемого на продажу товара) от цены товара :

= + 10, = 2. Найти:

+ 1

а) равновесную цену,

б) изменение спроса при увеличении цены на 5% от равновесной.

Г л а в а 10

Предел и непрерывность функции

§ 10.1. Предел функции

Число называется пределом функции ( ) в точке 0, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно найти такое число> 0 (зависящее от ), что для всех ̸= 0, удовлетворяющих нера- венству | − 0| < , выполняется неравенство | ( ) − | < .

Тот факт, что есть предел функции ( ) в точке 0, принято записывать следующим образом:

lim ( ) = .

→ 0

Число называется пределом функции ( ) при → ∞ и обозначается

lim ( ) = ,

→∞

если функция ( ) определена для всех , удовлетворяющих неравенству | | > , при некотором > 0 и для произвольного числа > 0 существует такое число > , что для всех , удовлетворяющих неравенству | | > , выполняется неравенство | ( ) − | < .

Если функции ( ) и ( ) имеют предел в точке 0, то справед- ливы равенства

lim (

( )) =

lim

( ),

(10.1)

→

lim ( ( )

( )) = lim

( )

lim ( ),

(10.2)

→

lim ( ( ) ( )) = lim

( ) ·

lim ( ),

(10.3)

→

§ 10.1. Предел функции	153

	( )		lim ( )
lim		=	→ 0		,	(10.4)
	( )		lim
→ 0				( )

→ 0

где R — постоянное число и, в случае частного, предполагается,

что lim ( ) ̸= 0.

→ 0

В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:

lim	sin	= 1,		(10.5)
lim		= 1,		(10.5)
→0
	1
→∞ (1 + )
lim			= ,	(10.6)
lim (1 + )1/ = ,				(10.7)
→0

где = 2, 71828 . . . — основание натурального логарифма. Равен-

ство (10.5) называется первым замечательным пределом, а равенства (10.6) и (10.7) — вторым замечательным пределом .

П р и м е р 10.1. Доказать, используя определение предела, что

lim (3 − 2) = 4.

→2

Р е ш е н и е. Пусть > 0 — произвольное число. Так как неравенство |(3 − 2) − 4| < равносильно неравенству 3| − 2| < , то для

всех , удовлетворяющих неравенству

| − 2| <

= , выполняется

неравенство |(3 − 2) − 4| < .

П р и м е р 10.2. Доказать, используя определение предела, что

lim

4 + 3

= 4.

→∞

4 + 3

Р е3ш е н и е. Неравенство

− 4

< равносильно

. Последнее

неравенство

выполняется

при

неравен-

ству

| |

3| > .

Поэтому,

если

> 0 —

произвольное число, то

для всех ,

удо-

влетворяющих неравенству | |

= , выполняется неравенство

+ 3

− 4 < .

П р и м е р 10.3. Найти предел lim

− 4

→2

− 2

154Глава 10. Предел и непрерывность функции

Ре ш е н и е. Разложим числитель и знаменатель на множители и вычислим предел:

lim

2 − 4

lim

( − 2)( + 2)

lim

( + 2)

= 2.

→2

2 − 2

→2

( − 2)

→2

П р и м е р 10.4. Найти предел lim

1 − cos

→0

Р е ш е н и е. Так как 1 − cos = 2 sin

, то с помощью первого

замечательного предела получим:

1 − cos

2 sin

lim

= lim

→

4 (

)

sin

lim

sin

lim

= 2

= 2.

→

10.1.

Доказать,

используя

определение

предела,

что

−

2 ) =

−

lim(5

→

Доказать,

используя

определение

предела,

что

10.2.

lim

(3 − 2 −

= 4.

→−1

)

10.3.

Доказать,

используя

определение

предела,

что

lim

2 − 7

2. При каких значения функции будут отли-

→∞

+ 1

чаться от своего предела меньше, чем на 0, 01?

10.4.

Доказать,

используя

определение

предела,

что

lim

3 − 2 2

−

2. При каких значения функции будут от-

→∞

2 + 1

личаться от своего предела меньше, чем на 0, 01?

10.5. Найти пределы и сравнить результаты:

а)

lim

2 − − 2

б)

lim

2 − − 2

→0

− 2

→−1

− 2

в)

lim

2 − − 2

г)

lim

− − 2

→2

− 2

→∞

− 2

§ 10.1. Предел функции	155

10.6. Найти пределы и сравнить результаты:

а)	lim	2 − 3 + 2		,		б) lim	2 − 3 + 2		,
а)	lim		2 − 1	,		б) lim		2 − 1	,
	→∞		2 − 1			→1		2 − 1
в)	lim		2 − 3 + 2		,	г) lim		2 − 3 + 2		.
	→−1		2 − 1			→0		2 − 1

10.7. Найти пределы и сравнить результаты:

а) lim	2 − − 6	,	б)	lim	2 − − 6		,
	2 − 5 + 6				2 − 5 + 6
→3				→−2
в) lim	2 − − 6	,	г)	lim	2 − − 6	.
	2 − 5 + 6
→0				→∞	2 − 5 + 6

10.8. Найти пределы и сравнить результаты:

а)	lim	2 − 1	,		б)	lim	2 − 1	,
		2 2 − − 1
	→0					→1 2 2 − − 1
в)	lim	2 − 1		,	г)	lim	2 − 1		.
							2 2 − − 1
	→∞ 2 2 − − 1					→−21

10.9. Даны многочлены

( ) = + −1 −1 + . . . + 1 + 0,

( ) = + −1 −1 + . . . + 1 + 0.

Доказать, что

lim	( )	= lim	+ −1 −1 + . . . + 1 + 0						=
lim		= lim	+ −1 −1 + . . . + 1 + 0						=
→∞ ( )		→∞	+ −1 −1 + . . . + 1 + 0
			=
						,	если > ,
					0,	,	если > ,
							если = ,
				∞,			если	< .
				∞,				< .

156	Глава 10. Предел и непрерывность функции

Найти пределы.

10.10. а)

lim

1 + 2

→∞ 1 + 2 ,

б)

→∞

10.11. а)

lim

2 − 5 + 6

б)

lim

2 − 5 + 6

→3

2 − 8 + 15

→∞ 3( 2 − 8 + 15)

10.12. а)

lim

− 2

б)

lim

− 2

− 3 + 2

→2

− 3 + 2

→∞

√

− 2

3 − 1

10.13. lim

10.14. lim

−

→4

→

−

10.15. lim

2 − 2 + 1

10.16. lim

sin

−

→∞

→

√3

tg 2

− 2

10.17. lim

10.18. lim

−

→0

→

tg 2

10.19. lim

sin 6

10.20. lim

→0

)

→0 sin 5

→0

(

sin

→0

(

1 − cos

10.21. lim

1 − cos 2

10.22. lim

10.23. lim

sin 2 − cos 2 − 1

→ 4

cos − sin

→1

(1 − − 1 − 3 ).

10.24. lim

( ( − 2)2 − 2

− 3 + 2).

→2

10.25. lim

)

→1 (

2 − 5 + 4

3( 2

− 3 + 2))

10.26. lim

+ 2

−

→∞ (

)

2 + 1 −

10.27. lim

→∞ (

2 2 − 1 −

2 + 1).

10.28. lim

§ 10.2. Бесконечно малые функции	157

→∞ (			3
→∞ (	2 + 1 − ).
10.29. lim
→∞ (		2 + 3					+1
→∞ (	2 + 1)						.
10.31. lim
10.31. lim			2
			2
10.33. lim (1 + 5 ) −1.
→0
	−			2−
10.35. lim (1			2 ) 3 .
0
→
			1
10.37. lim ( − 1)				−2		.
→2
	−			+1
10.39. lim (			6) −7 .
7
→
					−2

		2		1	)	2 2
→∞ (			−2		)	.
10.30. lim				3
				3
10.32. lim (1 + 5 ) .
→0
0	−			2−7
10.34. lim (1			3 )		.
→
	−			1−
10.36. lim (1			4 )		2 .
0
→
	−			−3
10.38. lim (			3) −4 .
4
→

10.40. lim ( + 2) +1 .

→−1

10.41. lim ( + 3) +2 .

→−2

§ 10.2. Бесконечно малые функции

Функция ( ) называется бесконечно малой при			→ 0, если
lim ( ) = 0.
→ 0
Если	( )
lim	( )	= 1,	(10.8)
lim	( )	= 1,	(10.8)
→ 0	( )

то бесконечно малая ( ) называется эквивалентной бесконечно малой ( ) (при → 0).

Предел отношения двух функций при → 0 не изменится, ес- ли каждую функцию (или только одну из них) заменить на экви- валентную при → 0. Это утверждение широко применяется при

вычислении пределов.

Приведем таблицу бесконечно малых функций, эквивалентных при → 0.

1 . sin s .

2 . tg s .

3 . arcsin s .

158	Глава 10. Предел и непрерывность функции

4 . arctg s .

5 . 1 − cos 2 . 2

6 . − 1 s .

7 .

−

( > 0, = 1).

8 .

ln(1 + ) s .

9 . log

(1 + )

( >

0, = 1).

s ln

10 . (1 + ) − 1 s ( > 0).

П р и м е р 10.5. Используя

эквивалентные

бесконечно

малые

функции, вычислить предел lim

arcsin 6

→0

arctg 4

Р е ш е н и е. Так как arcsin 6 6 , arctg 4 4 при → 0, то

lim

arcsin 6

= lim

arctg 4

→0

П р и м е р 10.6. Используя

эквивалентные

бесконечно

малые

функции, вычислить предел = lim

ln cos

sin 2 .

→0

Р е ш е н и е. Так как ln(1 + ) , sin при → 0, то

lim

2 ln cos

lim

ln cos2

lim

ln(1 − sin2 )

→0

sin 2

→0

lim

− sin2

−

. 2

→

10.42. Найти значение параметра , при котором бесконечно малые функции (1 − cos ) и sin2 будут эквивалентными при → 0.

10.43.Найти значение параметра , при котором бесконечно малые функции ( − ) и ( −1) будут эквивалентными при

→ 1.

10.44.Найти значение параметра , при котором бесконечно малые функции ( 2 −1) и (1−4 ) будут эквивалентными

при → 0.

§ 10.2. Бесконечно малые функции							159

10.45. Найти значение параметра , при котором бесконеч-
но малые функции	√	и		sin 2		будут эквивалентными
при → 0.	( + 1−1)

10.46. Найти значение параметра , при котором бесконеч-
но малые функции	√		и		tg 3	будут эквивалентными
	( 2 + 1−1)

при → 0.

10.47. Доказать, что при → 2 бесконечно малые функции

( )

4cos1 − tg и ( − 2 ) будут эквивалентными.

Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

√

10.48. lim

1 + 2 − 1

→0

tg 3

10.50. lim

1 − cos

→0 (√1 + − 1)

10.52. lim

−

→1

− 1

10.54. lim

sin(1 − )

→1

√ − 1

10.56. lim

1 − sin

(

− )

2 .

→ 2

10.58. lim

sin2 3

→0 ln2(1 + 2 )

→0

√3

− 1

(1 + )2

10.60. lim

(1 + )3

10.62. lim

√ − 1 .

−

√

→1

√3

− 1

10.64. lim

ln cos

→0 ln (1 + )

10.49. lim	2 − 1			.
→0		5
10.51. lim


→0	√4 1 + 2 − 1.
10.53. lim		sin 2


→0	√ + 1 − 1.
	√
10.55. lim	+ 4 − 2						.
→0		sin 3
10.57. lim						tg .
10.57. lim	(2		−			tg .
→ 2	(2		−		)
10.59. lim	ln(1 + 2 sin )
10.59. lim			tg 2					.
→0			tg 2					.

√

3 8 + 3 − 2 10.61. lim √4 16 + − 2.

→0

(3 − 1)(4 − 1) 10.63. lim (5 − 1)(6 − 1).

→0

160Глава 10. Предел и непрерывность функции

§10.3. Непрерывность функции. Классификация

точек разрыва

Функция ( ) называется непрерывной в точке 0, если суще- ствует предел этой функции в точке 0, равный ( 0), т. е.

lim ( ) = ( 0).	(10.9)
→ 0

Равенство (10.9) означает, что для вычисления предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции .

Функция ( ) называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если функции ( ) и ( ) непрерывны в точке 0, а — постоян-

( )

ное число, то функции ( ), ( )± ( ), ( ) ( ) и ( ) также непре- рывны в точке 0 (в случае частного ( 0) ̸= 0).

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции .

Точка 0 называется точкой устранимого разрыва функции

= ( ), если в этой точке существует предел функции, однако в точке 0 функция = ( ) либо не определена, либо ее частное значение ( 0) не равно пределу функции = ( ) в точке 0.

Точка 0 называется точкой разрыва первого рода функции

= ( ), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева ( < 0) и справа ( > 0), но они не равны друг другу:

lim ( ) =		lim ( ).
→ 0	̸	→ 0
> 0		< 0
Точка 0 называется точкой		разрыва второго рода функции
= ( ), если в этой точке по крайней мере один из односторон-

них пределов (слева или справа) функции не существует или равен бесконечности.

П р и м е р 10.7. Найти предел

→+∞	(	− 2 − 1 − − 7 + 3).
	√		√
= lim		2		2

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб4ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб37Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc