П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf§ 1.5. Обратная матрица |
31 |
|
|
Определить, при каких значениях существует обратная матрица для матрицы .
1.99. = |
6 |
|
4 |
. |
|
|
1.100. = |
|
3 |
−1 |
0 |
. |
||
|
|
9 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
3 2 1 |
|
. |
|
4 −1 |
2 |
|||||||||
1.101. = |
|
9/4 |
−3 |
0 |
1.102. = |
|
1 |
5 |
. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
−1 7 |
8 |
||||||
|
|
9 |
|
10 |
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
1.103. = |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
1.104. = |
0 |
−1 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.105. = |
|
0 |
−2 |
2 |
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
−2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решить матричные уравнения.
1.106. ( |
−2 |
−3 |
) |
· = ( |
−1 |
−4 |
). |
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
= |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||
1.107. |
|
−3 |
|
1 |
4 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
· ( −1 |
|
|
) |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
|
|
|
|
|
1.108. ( |
|
|
) |
· · ( |
|
|
|
|
|
|
). |
|
||
1 |
1 |
2 |
1 |
) = ( |
−2 |
0 |
|
|||||||
|
4 |
3 |
|
|
|
|
6 |
8 |
|
|
5 |
4 |
|
. |
1.109. |
3 |
|
|
2 |
−4 |
|
= |
2 |
−2 |
|
1 |
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
3 |
|
0 |
|
|
· 2 −1 |
−0 −1 −2 |
|
−4 |
||||||||||
32 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
1.110. |
|
3 |
−2 |
−2 |
|
= |
|
2 |
2 |
. |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
−3 |
−1 |
−2 · |
|
−3 |
−1 |
||||
§ 1.6. Ранг матрицы
1 . Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим матрицу размерности
× :
= 21 |
22 |
· · · |
2 |
. |
(1.16) |
|
|
11 |
12 |
|
1 |
|
|
· · · |
· · · |
·· ·· ·· |
· · · |
|
||
|
1 |
2 |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через обозначим -ю строку матрицы (1.16):
= ( 1 2 . . . ),
где = 1, 2, . . . , .
Строки 1, 2, . . . , называются линейно зависимыми, если су- ществуют такие числа 1, 2, . . . , , не все равные нулю, что спра-
ведливо равенство |
|
1 1 + 2 2 + . . . + = , |
(1.17) |
где = (0 0 . . . 0) — нулевая строка.
Строки 1, 2, . . . , называются линейно независимыми , если они не являются линейно зависимыми, иными словами, если равенство (1.17) возможно лишь в случае 1= 2 =. . . = = 0.
Точно также определяются понятия линейной зависимости и линейной независимости столбцов матрицы.
1.111. Доказать, что строки (столбцы) матрицы явля-
ются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда одна из этих строк (столбцов) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов).
|
§ 1.6. Ранг матрицы |
33 |
||||
|
|
|||||
Пусть 1, 2, 3 |
и 1, 2, 3, 4, соответственно, строки и |
|||||
столбцы матрицы |
|
|
|
−0 |
−2 . |
|
= 2 |
2 |
|||||
|
|
1 |
3 |
2 |
1 |
|
|
0 |
−1 |
2 |
−5 |
||
Найти следующие линейные комбинации.
1.112. 3 1 + 2 2. |
1.113. 2 1 |
− 2 |
+ 3. |
|
1.114. |
2 1 − 2 + 2 4. |
1.115. − 2 |
− 2 3 + 4. |
|
1.116. |
1 + 2 2 − 3 3. |
1.117. 1 − 2 2 |
+ 3 + 3 4. |
|
Заданы те же, что и выше. Найти строку (столбец) из уравнения.
1.118. + 1 − 2 2 = 0.
1.119. 2 − 1 + 2 2 + 3 = 0.
1.120. 2 1 + 2 + 2 2 − 3 = 0.
1.121. 1 − 2 2 + 3 − = 0.
1.122. Доказать, что столбцы 1, 2 и 3 линейно незави- симы.
1.123. Доказать, что столбцы 2, 3 и 4 линейно зависимы.
2 . Понятие ранга матрицы. Пусть в матрице размера × выбраны произвольно строк и столбцов ( 6 min( , )). Определитель квадратной матрицы -го порядка, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется
минором -го порядка матрицы .
Рангом матрицы называется максимальный порядок отличных от нуля миноров. Ранг матрицы обозначается через rang .
Итак, если rang = , то это означает, что: 1) существует минор-го порядка матрицы , который отличен от нуля, и 2) все миноры ( + 1)-го и более высокого порядка матрицы (если таковые существуют) равны нулю.
34 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
Если rang = , то любой отличный от нуля минор порядка
называется базисным минором. Строки и столбцы, определяющие базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами соответственно.
Т е о р е м а 1.1 (Теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) матрицы линейно независимы, при этом любая строка (любой столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (базисных столбцов).
Из последней теоремы, в частности, следует, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
а) Метод окаймляющих миноров . Пусть в матрице найден минор -го порядка , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры
( + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор .
Если все эти окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . А если среди этих окаймляющих миноров есть ненулевой
( + 1)-го порядка), то весь этот процесс повторяется.
П р и м е р 1.11. Найти ранг матрицы
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
|
= |
2 |
|
3 |
1 |
7 |
. |
0 |
−1 |
−1 |
1 |
|||
Р е ш е н и е. Минор второго |
порядка, |
расположенный в левом |
||||
верхнем углу матрицы , отличен от нуля:
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
3 |
̸= 0. |
минор |
|
: |
|
||
Существуют два минора, окаймляющие |
|
|
||||||||||
1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
1 , |
2 = |
2 |
3 |
7 . |
|
||||
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
0 |
|
1 |
−1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
Оба эти минора равны |
нулю, следовательно |
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rang = 2 |
2 |
|||
б) Метод элементарных преобразований . Будем говорить, что матрица размера × имеет верхний (нижний) треугольный вид,
если все ее элементы, расположенные ниже (выше) элементов 11,22, . . . , , = min{ , }, равны нулю.
§ 1.6. Ранг матрицы |
35 |
|
|
Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид, если она имеет либо верхний, либо нижний треугольный вид.
Метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы основан на следующих двух фактах: 1) при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется (см. задачу 1.137) и 2) ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых элементов 11, 22, . . . ,( = min{ , }) (см. задачу 1.138).
П р и м е р 1.12. Вычислить ранг матрицы
= |
2 |
0 |
−1 |
3 |
. |
|
|
1 |
3 |
−2 |
2 |
|
|
2 |
0 |
|
3 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
− |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е. Если ко второй строке данной матрицы добавим первую строку, умноженную на −2, к третьей строке добавим первую,
умноженную на −1, и к четвертой строке добавим первую, умноженную на −2, то получим
= |
2 0 −1 3 |
0 |
−6 |
−3 |
−1 . |
||||||||||
|
|
1 |
3 |
−2 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 0 |
|
3 |
0 |
|
0 |
6 |
1 |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
− |
0 |
5 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
Далее, к четвертой строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на −1. Получим
|
|
0 |
−6 |
−3 |
−1 |
0 |
−6 |
−3 |
−1 . |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
6 |
1 |
|
4 |
|
0 |
0 |
|
2 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
0 |
2 |
− |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
− |
2 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Наконец, к четвертой строке полученной матрицы, добавив третью строку, получим
|
|
0 −6 |
−3 |
−1 |
0 |
−6 |
−3 |
−1 . |
||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
2 |
|
3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
− |
2 |
− |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, rang = 3. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
Вычислить ранг матрицы методом окаймляющих мино-
ров.
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.124. = |
|
2 |
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
6 |
|
− |
7 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
14 |
28 |
|
|
70 ) |
|
|
|
|
||||||
1.125. = |
|
1 |
|
2 |
|
−3 |
|
−5 . |
|
|
|
|
||||
1.126. = |
5 |
6 |
|
7 |
|
|
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
10 |
11 |
|
12 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
1.127. = |
4 |
15 |
8 |
−7 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
17 |
4 |
|
13 |
−9 |
|
|
|
|
. |
|||||
1.128. = |
3 |
−1 |
1 |
|
2 |
. |
1.129. = |
1 |
1 |
3 |
||||||
|
|
5 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
||
|
1 |
|
2 4 8 |
|
5 4 1 |
|||||||||||
|
|
3 |
− |
1 1 2 |
|
|
|
4 5 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Привести матрицу к ступенчатому виду. |
|
|
|
|
||||||||||||
1.130. = |
0 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
−5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
1.131. = |
|
3 |
|
1 |
|
−1 |
|
−2 . |
|
|
|
|
||||
|
2 |
−3 |
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.132. = |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−1 |
|
3 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
1 |
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−5 |
|
1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
§ 1.6. Ранг матрицы |
|
|
|
|
37 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.133. = −2 |
2 |
−4 |
. |
1.134. = |
|
78 |
91 |
56 |
. |
|||
|
2 |
3 |
−1 |
|
|
|
26 |
30 |
18 |
|
||
0 |
5 |
|
0 |
|
26 |
31 |
21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
91 |
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.135. = |
4 |
−2 |
5 |
. |
1.136. = |
|
1 |
−1 |
−1 |
. |
||
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
||
7 |
−6 |
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.137. Доказать, что элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
1.138. Доказать, что ранг ступенчатой матрицы размера× равен числу ненулевых элементов 11, 22, . . . , ( = = min{ , }) .
1.139. Доказать, что при транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований.
1.140. = |
4 |
−2 |
5 |
0 |
3 |
. |
|
|
1 |
−1 |
0 |
3 |
2 |
|
|
2 |
−3 |
0 |
6 |
1 |
|
||
|
7 |
6 |
5 |
9 |
6 |
|
|
|
|
− |
|
−1 |
|
|
|
1.141. = |
1 |
−1 |
1 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
−5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
5 |
−6 |
|
|
|
1.142. = |
|
2 |
1 |
8 |
11 |
. |
|
|
|
9 |
4 |
34 |
47 |
|
|
−13 |
−5 |
−46 |
−46 |
||||
|
|
11 |
6 |
46 |
63 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
38 |
|
Глава 1. Матрицы и определители |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
−28 |
45 |
|
11 |
39 |
|
|
|
24 |
−37 |
61 |
|
13 |
50 |
|
||
|
|
|
−7 |
|
−18 |
|
|
|
|
1.143. = |
|
25 |
32 |
11 |
. |
||||
|
|
31 |
12 |
19 |
− |
43 |
55 |
|
|
|
|
42 |
13 |
29 |
55 |
− |
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
||||
§ 1.7. Комплексные числа
1 . Понятие комплексного числа. Алгебраические операции над комплексными числами. Упорядоченная пара = ( , )
действительных чисел называется комплексным числом. Число называется действительной частью (обозначается Re ), а число — мнимой частью (обозначается Im ) этого комплексного числа.
Два комплексных числа 1 |
= ( 1, 1) и 2 = ( 2, 2) называют- |
||
ся равными, если 1 = 2 и 1 |
= 2. Комплексное число |
= ( , ) |
|
считается равным нулю, если = 0 и = 0. |
|
||
Операции сложения и умножения комплексных чисел 1 |
= ( 1, 1) |
||
и 2 = ( 2, 2) определяются следующим образом: |
|
||
1 + 2 = ( 1 + 2, 1 + 2), |
(1.18) |
||
1 2 = ( 1 2 − 1 2, 1 2 + 2 1). |
(1.19) |
||
Для суммы и произведения комплексных чисел вида ( , 0) спра- |
|||
ведливы формулы |
|
|
|
( 1, 0) + ( 2, 0) = ( 1 + 2, 0), |
( 1, 0)( 2, 0) = ( 1 2, |
0). |
|
Это позволяет комплексное число вида ( , 0) отождествить с действительным числом .
В операциях с комплексными числами особую роль играет комплексное число = (0, 1), которое называется мнимой единицей. Поль-
зуясь формулой (1.19), имеем:
2 = · = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.
Из формул (1.18) и (1.19) следует, что произвольное комплексное число = ( , ) можно представить в виде
= ( , ) = ( , 0) + (0, ) = ( , 0) + (0, 1)( , 0) = + ,
которое называется алгебраической формой записи комплексного числа.
§ 1.7. Комплексные числа |
39 |
|
|
Алгебраическая форма записи комплексного числа позволяет производить операции с комплексными числами так же, как с алгебраическими многочленами.
П р и м е р 1.13. Вычислить: (1 + )2(3 − 4 ) + 3 .
Р е ш е н и е. |
|
|
2(3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2)(3 |
− |
4 ) + 3 = |
||||
|
(1 + ) |
|
|
|
2 − 4 ) + 3 = (1 + 2 |
|
|
||||||||||||
= 2 (3 − 4 ) + 3 = 6 − 8 |
|
+ 3 = 8 + 9 . |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Комплексное число |
|
= − называется сопряженным к ком- |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
плексному числу = + . Справедливо равенство |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + 2. |
|
|
|
|
|
(1.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Частное двух комплексных чисел 1 |
= 1 |
+ 1 и 2 |
= 2 + 2 |
||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
1 2. |
|
|
(1.21) |
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
22 + 22 |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
1 − 2
П р и м е р 1.14. Вычислить: 2 − .
Р е ш е н и е. Применяя формулы (1.20) и (1.21), получим:
1 − 2 |
= |
|
(1 − 2 )(2 + ) |
= |
4 − |
3 |
= |
4 |
|
3 |
. 2 |
||||
|
|
|
|
|
− 5 |
||||||||||
2 |
− |
|
|
(2 |
− |
)(2 + ) |
|
5 |
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выполнить указанные операции.
1.144. (4 + 2 ) + (1 − ). |
1.145. |
(4 + 2 )(1 − ). |
|||||||||||
1.146. 3. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.147. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.148. |
|
1 |
. |
|
|
|
1.149. |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
1 + |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1.150. |
|
1 |
|
. |
|
1.151. |
|
|
2 |
. |
|
||
1 |
− |
|
1 |
− |
|||||||||
1 |
+ |
2 |
|
(1 + )3 |
|||||||||
1.152. |
|
. |
|
|
|
|
. |
||||||
1 − |
1.153. |
|
|
||||||||||
|
|
1 − |
|||||||||||
40 |
Глава 1. Матрицы и определители |
|
|
Пусть 1 |
|
= 2 − 5 , 2 |
= 3 + 4 . Выполнить следующие дей- |
|||||||
ствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.154. 10 1 − 3 2. |
|
1.155. 1 2. |
||||||||
1.156. 2 |
|
|
. |
|
1.157. 1 |
|
. |
|||
2 |
|
2 |
||||||||
1 |
|
. |
|
1.159. |
1 |
. |
||||
1.158. |
|
|
|
2 |
||||||
2 |
|
|||||||||
Пусть 1 |
|
= 2 − 3 , 2 |
= 5 + 4 . Выполнить следующие дей- |
|||||||
ствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.160. 10 1 − 3 2. |
|
1.161. 1 2. |
||||||||
1.162. 2 |
|
. |
|
1.163. 1 |
|
. |
||||
2 |
|
2 |
||||||||
1 |
|
. |
|
1.165. |
1 |
. |
||||
1.164. |
|
|
|
2 |
||||||
2 |
|
|||||||||
Решить уравнение. |
|
|
|
|
|
|
||||
1.166. 2 |
|
+ 4 + 7 = 0. |
1.167. 2 |
− 5 + 9 = 0. |
||||||
1.168. 2 |
|
+ + 1 = 0. |
|
1.169. 2 |
− + 1 = 0. |
|||||
2 . Тригонометрическая форма комплексного числа . Если на плоскости задана прямоугольная система координат , то каждому комплексному числу = + можно сопоставить точку с координатами ( , ) и, наоборот, каждой точке с координатами
( , ) можно сопоставить комплексное число |
= + (рис. 1.2). |
|
y |
Плоскость, на |
которой изображаются |
комплексные числа, называется комплексной |
||
Mплоскостью и обозначается C. Ось абсцисс на-
b |
|
z =a +ib |
зывается действительной осью, а ось орди- |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
нат — мнимой осью. |
||
|
|
|
|
Число | | = √ |
|
называется модулем |
Ο |
a |
x |
2 + 2 |
|||
|
комплексного числа = ( , ). Угол , образо- |
|
Рис. 1.2 |
ванный вектором |
−−→ |
|
|
с осью , называется |
аргументом числа = ( , ) и обозначается arg .