П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике
.pdf
§ 9.1. Понятие функции |
141 |
|
|
√
9.11. = 3 2 − 1.
√
9.13. = |
3 − 3. |
9.15. = 1 − cos .
9.17. = − 1 + | − 3|.
9.12. = |
√ |
1 |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
9.14. = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
− . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
||||
9.16. = |
1 + |
√2 |
2 |
|
|
. |
||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
− 9 |
|||||
9.18. |
= |
1 − |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos 2 . |
|||||||||||
9.19.= ln( 2 − 4).
9.20.= ln( + 2) + ln( − 2).
9.21.Найти множество значений функции = 1 − 1 , если
> 1.
9.22.Найти множество значений функции:
а) = |
|
|
1 |
, |
б) = |
|
2 |
, |
|
|
|
2 |
+ 1 |
|
2 |
+ 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) = | | − , |
г) = √ |
|
. |
|||||||
5 + 4 − 2 |
||||||||||
9.23. Переменная пробегает интервал 0, 1. Какое множество пробегает переменная , если
а) = + ( − ) , |
б) = |
1 |
, |
|||
1 − |
||||||
в) = √ |
|
, |
|
|||
− 2 |
г) = ctg . |
|||||
9.24. Найти линейную функцию ( ) = + , если
(0) = −2 и (3) = 5. Чему равны (1) и (2)?
9.25.Найти квадратичную функцию ( ) = 2 + + , если (0) = −3, (1) = 0, (2) = 5. Чему равны (−1) и (3)?
9.26.Найти квадратичную функцию ( ) = 2 + + , если (−2) = 0, (0) = 1, (1) = 5. Чему равны (−1) и (0, 5)?
142 |
|
Глава 9. Функции |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
9.27. Результаты измерения величин и приведены в таб- |
||||||
лице: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
15 |
|
25 |
|
|
|
10 |
20 |
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти зависимость между и , зная, что она линейная.
9.28. Результаты измерения величин и приведены в таблице:
|
0 |
1 |
2 |
|
5 |
4 |
7 |
|
|
|
|
Найти зависимость между и , зная, что она квадратичная:
= 2 + + .
§ 9.2. Элементарные функции и их графики
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат . Графиком функции = ( ) называется множество
Γ = {( , ): ( ), = ( )}, |
(9.1) |
где ( ) — область определения данной функции.
Основными элементарными функциями называются следующие
функции.
1. Степенная функция: = , R. Примеры графиков сте-
пенных функций, соответствующих различным целым показателям степени, приведены на рис. 9.1.
2.Показательная функция : = , > 0, ̸= 1 (рис. 9.2).
3.Логарифмическая функция : = log , > 0, ̸= 1 (рис. 9.3).
4. Тригонометрические функции : = sin , = cos , = tg ,
= ctg (рис. 9.4).
5. Обратные тригонометрические функции : = arcsin , =
= arccos , = arctg , |
= arcctg (рис. 9.5). |
на множестве R, |
Пусть функция |
= ( ) определена |
|
а функция = ( ) |
— на множестве 1 |
R, причем предпо- |
лагаем, что для произвольного 1 соответствующее значение
§ 9.2. Элементарные функции и их графики |
143 |
|
|
y |
y =x3 |
y |
y =x−1 |
O |
x |
O |
x |
y |
|
y |
y =x1/2 |
|
y =x−2 |
|
|
O |
x |
O |
x |
|
Рис. 9.1 |
|
|
y |
|
y =ax |
|
(a >1) |
|
1 |
|
0 |
x |
y |
|
|
y =ax |
|
(0 <a <1) |
1 |
|
0 |
x |
Рис. 9.2
= ( ) принадлежит . Тогда на множестве 1 определена функция
= ( ( )), которая называется сложной функцией, или суперпози-
цией двух функций, или функцией от функции.
Пусть функция = ( ) определена на множестве R. Множество значений функции ( ) обозначим через R. Предположим, что каждому значению соответствует единственное значение , для которого ( ) = . Тогда можно определить функцию = −1( ) с областью определения и множеством значений
такую, что
( −1( )) = .
Эта функция −1( ) называется обратной для функции ( ). Если = −1( ) — обратная функция для = ( ), то функция
144 |
|
Глава 9. Функции |
|
||
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y =logax |
|
|
|
|
|
(0 <a <1) |
0 |
1 |
x |
0 |
1 |
x |
|
|
y =logax |
|
|
|
|
|
(a >1) |
|
|
|
|
|
Рис. 9.3 |
|
|
|
y |
|
y =sin x |
|
|
1 |
|
|
−π |
0 |
π |
x |
|
−1 |
|
|
y y =tg x |
|
||
− |
π |
0 |
π x |
2 |
|
2 |
y |
1 |
y =cos x |
|
−π 0 π π 3π x |
|||
2 |
|
2 |
2 |
|
−1 |
|
|
y |
|
|
y =ctg x |
0 |
π x |
|
|
|
Рис. 9.4 |
|
|
|
= ( ) является обратной |
для функции = |
−1( ). Поэто- |
||
му функции |
= ( ) |
и = |
−1( ) называются также взаимно- |
||
обратными. Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой = .
Всякая функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией .
При построении графиков функции часто применяются следующие простые геометрические рассуждения. Если Γ — график функции
= ( ), то:
1)график функции = − ( ) — зеркальное отображение Γ от-
§ 9.2. Элементарные функции и их графики |
145 |
||||||
|
y y =arcsin x |
y |
y =arccos x |
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
−1 |
0 |
1 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
0 |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y y =arctg x |
y |
y =arcctg x |
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
0 |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−π |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Рис. 9.5 |
|
|
|
|
носительно оси ,
2)график функции = (− ) — зеркальное отображение Γ относительно оси ,
3)график функции = ( − ) — смещение Γ вдоль оси на величину ,
4)график функции = ( ) + — смещение Γ вдоль оси на величину ,
5)график функции = ( ) — сжатие в раз (при > 1) или
1
растяжение в раз (при 0 < < 1) вдоль оси , 6) график функции = ( ) — растяжение в раз (при > 1)
1
или сжатие в раз (при 0 < < 1) вдоль оси .
9.29.Построить график линейной однородной функции
= при = 0, 12, 1, 2, −1.
9.30. Построить график линейной функции = + при
= 0, 1, 2, −1.
146 |
Глава 9. Функции |
|
|
9.31. Построить графики парабол:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
а) = 2 при = 1, |
|
, 2, −1, |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|||||||
б) = ( − 0)2 |
при 0 = 0, 1, 2, −1, |
|
|
|||||||
в) = 2 + при = 0, 1, 2, −1. |
|
|
|
|||||||
Построить по точкам на отрезке | | 6 3 графики указанных |
||||||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.32. а) = 3, |
б) = 3 + 1, |
в) = ( − 1)3. |
||||||||
9.33. а) = |
1 |
, |
б) = 1 + |
1 |
, |
в) = |
1 |
. |
||
|
|
+ 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.34. Функция ( ) равна площади треугольника , в котором сторона равна 3 см, сторона равна 4 см и уголравен . Написать как функцию переменной и построить ее график.
9.35.Найти корни функции = 4 − 2 и построить ее график на отрезке между корнями.
9.36.Построить графики функций:
а) = | |, |
б) = −| − 3|, |
в) = | | − . |
9.37.Построить график функции = 12 2 + + 1, приведя
еек виду: = 0 + ( − 0)2.
|
9.38. |
|
Построить |
график |
дробно-линейной |
функции |
||||||||
= |
|
1 + |
приведя ее к виду: = 0 + |
|
|
|
||||||||
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
1 − |
− 0 |
|
|||||||||||
|
9.39. |
|
Построить |
график |
дробно-линейной |
функции |
||||||||
= |
|
3 + 2 |
, приведя ее к виду: = 0 + |
|
|
|||||||||
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
2 − 3 |
− 0 |
|
|||||||||||
|
9.40. Зная график функции = ( ), построить график |
|||||||||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) = | ( )|, |
|
1 |
(| ( )| + ( )). |
|
|||||||||
|
б) = |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||
§ 9.2. Элементарные функции и их графики |
147 |
|
|
9.41.Построить график степенной функции = при
= 12, 32, 4, −2.
9.42.Построить график показательной функции = при
= 12, 2, , 10.
9.43.Используя график функции = 2 , построить график
функции:
а) = 2 −1, |
|
б) = 2 2 . |
9.44. Построить график логарифмической функции =
1
= log при = 2, 2, , 10.
9.45. Используя график функции = lg , построить график функции:
а) = 2 lg( + 1), |
|
б) = lg |
( |
2 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.46. Построить график функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) = − log2 , |
|
б) = log2 | |, |
|
в) = 2 + lg( + 3). |
|
|||||||||||||||||||||
9.47. Построить графики элементарных функций: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) = | tg |, |
|
|
б) = cos2 , |
|
в) = 1 − ( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
г) |
|
1 |
, |
|
д) |
|
|
|
|
|
|
, |
е) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= log |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 + |
|
|
|
||||||||||||
|
2 2 |
|
|
= 2 sin ( − 4 ) |
|
arctg |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
||
ж) = − ctg |
|
, |
|
з) = |
|
− arccos 2 , |
и) |
= arcsin |
|
. |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
9.48. Даны функции = 2 |
+ 1, = + 1. |
Выразить как |
||||||||||||||||||||||||
функцию от .
√
9.49. Даны функции = + 1, = sin2 . Выразить как функцию от .
9.50. Даны функции ( ) = 2 + 1, ( ) = cos . Найти:
а) ( (0)), |
б) ( (0)), |
в) ( ( )), |
148 |
|
|
|
|
|
Глава 9. Функции |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) ( ( )), |
д) ( (1)), |
е) ( (2)), |
|||||||||
ж) ( ( )), |
|
з) ( ( )), |
и) ( (1/4)). |
||||||||
9.51. Найти обратные функции для следующих функций: |
|||||||||||
а) = , |
б) = 2 , |
|
в) = 3 − 2, |
||||||||
г) = |
1 |
, |
д) = |
1 |
, |
е) = 2 + 1, |
|||||
|
− 1 |
||||||||||
ж) = 10 +1, |
|
и) = √3 |
|
. |
|||||||
з) = 3 sin 2 , |
8 − 3 |
||||||||||
9.52. Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функции = ++ , ( − ̸= 0), также дробно-линейная.
Функция ( ), определенная на симметричном интервале (− , ), называется четной, если (− ) = ( ), и нечетной, если (− ) = = − ( ) для любого значения (− , ).
Функция ( ) называется периодической с периодом ̸= 0, если для любых из области определения функции справедливо равенство:( + ) = ( ). Основным периодом функции называется наименьшее положительное число, обладающее указанным свойством.
9.53.Доказать, что ( ) + (− ) — четная функция.
9.54.Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные:
а) = |
sin |
|
|
б) = 3 − 3, |
в) = |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 + 1 |
|
|
|
||||||||
|
3 + 3− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
г) = |
|
|
|
|
|
, д) = sin − cos , |
|
е) = 2− |
, |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ж) = |
|
2 − |
1 |
, |
|
з) = sin2 − 3, |
и) = ln |
− |
. |
||||||
|
|
||||||||||||||
2 + |
1 |
|
1 |
+ |
|||||||||||
9.55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы четной и нечетной функций:
а) = 2 + 5 + 3, б) = 3 − 3 − 4 − 5 7.
9.56. Какие из следующих функций периодические?
§ 9.3. Применение функций в экономике |
149 |
||||
|
|
|
|
|
|
а) = sin2 , |
б) = sin 2, |
|
в) = sin , |
|
|
г) = 1 + , |
д) = sin |
1 |
, |
е) = 3. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
§9.3. Применение функций в экономике
Вэкономической теории широко применяются разного рода функции. Перечислим наиболее часто применяемые функции.
1. Производственная функция задает зависимость объема производства от величины затраченных ресурсов.
2. Функция спроса = ( ) задает зависимость объема спроса на товар от его цены . Очевидно, что чем меньше цена
на товар, тем больше спрос на этот товар, конечно, при постоянной покупательной способности населения. График функции спроса= ( ) называется кривой спроса (рис. 9.6).
Рис. 9.6 |
Рис. 9.7 |
3. Функция предложения = ( ) задает зависимость объема предложения товара от его цены . График функции предложения= ( ) называется кривой предложения (рис. 9.7).
Точка пересечения кривых спроса и предложения называется
точкой равновесия (равновесной ценой ) и определяется уравнением
( ) = ( ).
П р и м е р 9.3. На основе опытных данных установлены зависимости спроса (количество покупаемого товара) и предложения
(количество предлагаемого на продажу товара) от цены товара :
= 1 + |
4 |
, |
= 2 −1. |
|
2 |
||||
|
|
|
150 |
Глава 9. Функции |
|
|
Найти:
а) равновесную цену,
б) изменение спроса (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.
Р е ш е н и е.
а) Равновесная цена определяется из условия:
1 + 24 = 2 −1.
Обозначая = 2 −1 > 0, получим уравнение 1+ 2 = . Отсюда = −1 и = 2. Так как > 0, то = 2 −1 = 2, т. е. = 2.
б) Новая цена ˜ = 1, 05 · 2 = 2, 1. Спрос при равновесной цене равен: (2) = 2, а при новой цене — (2, 1) ≈ 1, 93. Следовательно, при увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на:
2 − 1, 93 · 100% = 3, 35%. 2 2
9.57.Приведите примеры линейных функций, описывающих зависимость спроса и предложения от цены товара. Постройте их графики.
9.58.Приведите примеры показательных функций, описывающих зависимость спроса и предложения от цены товара. Постройте их графики.
9.59.На основе опытных данных установлены зависимости спроса (количество покупаемого товара) и предложения (ко-
личество предлагаемого на продажу товара) от цены товара :
= ++ 71, = + 1. Найти:
а) равновесную цену,
б) изменение дохода при увеличении цены на 1% от равновесной.