Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

355

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3924 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

§ 16.2. Замена переменной в определенном интеграле	231

16.9..

16.11.(2 + ) .

16.13. √ 2 + 3.

Z1 4

16.15. 1 + 2 .

16.17. − 2 .

−1

16.10.(2 + − ) .

−ln 2

16.12. √4 − 2 .

16.14. 2 .

16.16.9 − 2 .

16.18. 2 sin2 .

16.19.(3 + 6) . 16.20. ( − 2) (1 − ) .

16.21.2 .

16.23.(3 − ln 3 · ) .

16.25.( − ) .

16.22.(2 + ) .

16.24.(3 − 2 − 2 ) .

−3

§ 16.2. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция = ( ) непрерывна на отрезке [ , ], а функция= ( ) имеет непрерывную производную ′( ) на отрезке [ , ], причем множество значений функции = ( ) при [ , ] совпадает

232	Глава 16. Определенный интеграл

с отрезком [ , ] и ( ) = , ( ) = . Тогда справедлива следующая формула замены переменной в определенном интеграле:


							Z ( ) = Z ( ( )) ′( ) .																							(16.7)
																	√
	П р и м е р 16.2. Вычислить интеграл																√	3				2			3 .
	П р и м е р 16.2. Вычислить интеграл																Z					2			3 .

																	1			√	(		+ 1)
	Р е ш е н и е. Сделаем замену переменной = tg , =																													. При

																												cos2
							от 1 до √							переменная изменяется от																до		.
изменении аргумента												3
изменении аргумента												3																	4		3
					при [						], то																		4		3
Так как cos > 0									,

								4		3
															1				1						1
				√ 2 + 1 = √ 2 + 1 =											1				1						1
															√		=						=				.
																				\|cos \|				cos
																cos2				\|cos \|				cos
	Теперь вычислим:
√																									√				√
√	3
Z					3										3								3
					3										3								3
						Z									Z								4
1					=		cos3						=			cos = sin							=			3 −			2	.	2
			( 2 + 1)3					cos2																	2
		√			4										4
					4										4

Вычислить интегралы путем замены переменной.

	1										1
	1				√1 + 2 .						1	√1 + 4			.
16.26. Z					√1 + 2 .					16.27. Z		√1 + 4			.
	−1										0			45
	−1				√						0
	1										1			2
16.28.	1					1 − 2			.	16.29.	1			2			.
16.28.		Z							.	16.29.	Z	3				3	.
		Z					2				Z	3				3
	√											(8		+ 27)		2
											0
				2							0

		2			sin √3							2−√
			3		sin √3						1	2−√
16.30.					√3 2			.		16.31. Z			√4 3	.
		Z									0	4




	0

§ 16.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле	233

	0
16.32.	Z3		2	.
16.32.	Z3	1	6	.
	√		−
	−	2

√

16.34.sin 2 .

	0
16.36.	64		√ + √3				.
16.36.	Z		√ + √3				.

	1
16.38.			1 + cos2				.
16.38.	Z		1 + cos2				.
	2				sin
	0
	8
16.40. Z		√				.
16.40. Z		√		+ 1		.
	3
16.42.	2 ln 2				√			1.
16.42.	Z				√			1.

	ln 2					−

16.33.	ln 8
16.33.	Z	√1 + .

	ln 3
	2	sin		√
	2	sin		√
16.35. Z			√		.
16.35. Z			√		.
	0

16.37.sin3 .

16.39.Z2 2√1 − 2 .

Z4 √

16.41.16 − 2 .

16.43. (1 + ln2 ).

§ 16.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции ( ) и ( ) имеют непрерывные производные на отрезке [ , ]. Тогда справедлива формула


Z	( ) ′( ) = ( ) ( )	− Z	( ) ′( ) .

Так как ′( ) = и ′( ) = , то эту формулу обычно записывают следующим образом:

Z	=	− Z	.	(16.8)

234 Глава 16. Определенный интеграл

Формула (16.8) называется формулой интегрирования по частям

в определенном интеграле .	Z	.
П р и м е р 16.3. Вычислить интеграл	Z	.
	2
	1

	Р е ш е н и е.	Положим			= ,	=		. Значит,
	Р е ш е н и е.	Положим			= ,	=	=
= . Используя формулу (16.8), получим
2	2				2
Z	= Z =		12	− Z =
1	1				1
					= 12	− 12	= ( − 1) 12	= 2. 2

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.


16.44. Z ln .	16.45. Z ln .
1	1

16.46.arccos .

16.48.3 − 2 .

−1

16.47.cos .

2Z4 √

16.49.	3 ln .
	1

Z2 ln

16.50. 2 .

16.52.2 sin 2 .

16.54.( 2 + + 1)cos .

Z ln

16.51. √ .

16.53.2 cos 2 .

16.55.(2 2 + 1)cos 3 .

§ 16.4. Несобственные интегралы	235

16.56.3 − .

16.58.2 2 .

Z √

16.60. sin

1 + cos2 .

16.57.2 − .

−1

16.59.2 sin 3 .

Z1 √

16.61. .

16.62.cos .

16.63.cos 2 .

§ 16.4. Несобственные интегралы

1 . Несобственный интеграл первого рода . Предположим, что функция ( ) задана на бесконечном интервале [ , +∞) и интегрируема на любом конечном отрезке [ , ], где [ , +∞). Предел

lim ( )

(16.9)

→+∞

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом или несобственным интегралом первого рода функции ( ) на

+Z∞

[ , +∞) и обозначается ( ) .

Итак, по определению

+∞

( ) =		lim ( ) .	(16.10)
Z		→+∞ Z
Несобственный интеграл	+Z∞ ( ) называется сходящимся, ес-

ли существует предел (16.9). Если же предел (16.9) не существует или

236	Глава 16. Определенный интеграл

равен бесконечности, то несобственный интеграл	+Z∞ ( ) называ-
ется расходящимся.
ется расходящимся.

Если функция ( ) задана на бесконечном интервале (−∞, ] и интегрируема на любом конечном отрезке [ , ], где (−∞, ], то

аналогичным образом определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом :

Z	( ) =	lim ( ) .	(16.11)
Z	( ) =	→−∞ Z
−∞

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пре-

+Z∞

делами ( ) определяется следующим образом:

−∞

Z		→+∞ Z
+∞
( ) =		lim ( ) .			(16.12)
−∞		→−∞
−∞
				+∞
Несобственные интегралы	Z	( )	и	Z	( ) называются
	−∞			−∞

сходящимися, если существуют пределы (16.11) и (16.12). Если же эти пределы не существуют или равны бесконечности, указанные несоб-

ственные интегралы называются расходящимися.

+Z∞

П р и м е р 16.4. Вычислить несобственный интеграл − .

Р е ш е н и е. Имеем

+∞

−

= − →+∞

−

→+∞

(1 − −

)

= →+∞ Z

lim

= lim

= 1. 2

П р и м е р 16.5. Исследовать сходимость несобственного интегра-

+Z∞

ла .

§ 16.4. Несобственные интегралы	237

Р е ш е н и е. Так как

→+∞

− +1

∞

+ 1

lim

−

→ ∞ Z

при

lim

= 1,

lim

при = 1,

→+∞

−

при > 1,

−

при

∞

следовательно, несобственный интеграл

+∞

сходится при > 1 и

расходится при 6 1.

Вычислить несобственные интегралы.

∞Z

16.64. 1 + 2 .

16.66.− .

−∞

	+∞
16.68.	Z
		11 + 6 + 2 .

−∞

+Z∞

16.70.− 2 .

∞Z

16.72.8 −8 .

0
∞	2
16.74. Z	3	.
16.74. Z	( 3 + 4)2	.
1

+Z∞

16.65.− .

	0
16.67.	Z		2 .
	−∞
	0
	Z					.
16.69.	Z			ln		.
	−∞
16.71.	3			( 2 + 1)2 .
16.71.	Z			( 2 + 1)2 .

	−∞
	∞		1
16.73. Z					.
16.73. Z		2 + 4			.
	1
	∞
16.75. Z							.
16.75. Z		2 + 6 + 10					.
	1

238	Глава 16. Определенный интеграл

	16.76.	( 2 + 1)3 .	16.77. Z			ln3	.
	1				∞
	Z				2
	Z				2
	−∞
	2 . Несобственный интеграл второго рода . Если функция
( )	непрерывна на полуинтервале		[ , )	и	lim ( ) =		∞	(т. е. точка
( )			[ , )		→ −0		∞

= является особой точкой для функции ( )), то по определению

−

( ) =	lim	( ) .	(16.13)
Z	→0+	Z

Этот интеграл называется несобственным интегралом от неограниченной функции ( ) или несобственным интегралом второго рода .

Несобственный интеграл второго рода ( ) называется сходя-

щимся, если существует предел в правой части формулы (16.13). Если

же этот предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

	Аналогично определяется несобственный интеграл в случае
lim		( ) = .
→	+0	∞

Если функция ( ) имеет бесконечный разрыв в точке = внутри отрезка [ , ], то несобственный интеграл второго рода определяется по формуле


Z ( ) =	Z ( ) + Z ( ) .
В этом случае интеграл слева			называется сходящимся, если оба
интеграла справа сходятся.		Z	√1 2 .
П р и м е р 16.6. Вычислить		Z	√1 2 .
		1

		0		−

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция ( ) = √1 − 2 неогра- ниченна в окрестности точки = 1, на любом же отрезке [0, 1 − ] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому по

§ 16.4. Несобственные интегралы	239

определению имеем

→0+

1−

√1 2 =

→0+

√1 2

−

lim

lim arcsin

lim

arcsin(1

) =

. 2

→

−

3 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Аб-

солютная сходимость. Для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций важную роль играют так называемые теоремы сравнения.

Т е о р е м а 16.2 (первая теоpема

сpавнения).

Пусть функ-

ции ( ) и ( ) непрерывны на бесконечном интервале

[ , +∞), при-

чем для всех [ , +∞) выполняются неравенства

0 6 ( ) 6 ( ).

(16.14)

Тогда:

а) из+сходимости интеграла +Z∞ ( ) следует сходимость ин-

теграла

Z∞ ( ) ;

+∞

б) из

( )

расходимости интеграла

следует расходимость

интеграла

Z∞ ( ) .

П р и м е р 16.7. Исследовать на сходимость несобственный инте-

+∞

√ 3 + 1.

грал Z

Р е ш е н и е. Рассмотрим функции ( ) =

√

и ( ) =

√

3 + 1

Очевидно, что

0 < ( ) =

√

= ( ).

3 + 1

240	Глава 16. Определенный интеграл

+∞

√ 3

+∞

Так

как несобственный

интеграл

схо-

дится (см. пример

16.5), значит, сходится и

несобственный

инте-

+∞

√ 3 + 1

(см. теорему 16.2).

грал Z

Т е о р е м а 16.3

(вторая

теорема

сравнения).

Пусть

функ-

ции ( ) и ( ) непрерывны и положительны на бесконечном интервале [ , +∞), и пусть существует конечный положительный предел

	lim			( )	=	(0 < < +	∞	).	(16.15)
	lim			( )	=	(0 < < +		).	(16.15)
	→	+	∞	( )
	→		∞
Тогда несобственные интегралы +Z∞ ( ) и +Z∞ ( ) одновре-

менно сходятся или одновременно расходятся.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов второго рода аналогичны вышеизложенным признакам.

П р и м е р 16.8. Исследовать на сходимость несобственный инте-

грал

sin .

Р е ш е н и е. Функция ( ) =

на отрезке [0, 1] имеет един-

sin

ственную особую точку = 0. Рассмотрим функцию ( ) =

и за-

метим, что интеграл

= →+0 Z

= 0 − →+0

= +∞

= →+0 ln

lim

расходится. Так как

( )

sin

lim

= lim

= 1,

( )

→0

то интеграл

sin

sin также расходится.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3924 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб2Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб1Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб13ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб4ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб11П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб355П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб37Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб12Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб46ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб9Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб6первая мировая.doc