Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

375

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 395 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 1.7. Комплексные числа	41

Аргумент комплексного числа = + определяется по формулам

√

tg =

cos =

sin =

(1.22)

2 + 2

Аргумент числа ̸= 0 определяется не однозначно, а с точностью числа, кратного 2 . Однако обычно arg указывают в промежутке [0, 2 ) или в промежутке (− , ].

Для всякого комплексного числа = + справедливо равенство

= (cos + sin ),

(1.23)

где = | |, = arg (рис. 1.3), называемое тригонометрической формой комплексного числа.

z =a +ib

|z|

arg z

Рис. 1.3

П р и м е р 1.15. Комплексное число

= 5

(cos (−

) + sin

(−

) )

представить в алгебраической форме.

Р е ш е н и е.

= 5

(cos (−

) + sin

(−

) ) =

√

5 (

+ (−

) )

5 2

−

5 2

. 2

П р и м е р 1.16. Комплексные числа 1 = 2 + 2 , 2

= − , 3 = 5

представить в тригонометрической форме.

Р е ш е н и е. Сначала следует найти модуль и аргумент комплексного числа, а после этого воспользоваться формулой (1.23):

		2

\| 1\| = √22 + 22 = 2√2,	arg 1 = arctg		=		,

		2		4

42	Глава 1. Матрицы и определители

1 = 2√2

(cos

+ sin

);

| 2| = √02 + (−1)2 = 1,

arg 2 = −

2 = cos (−

) + sin (−

);

| 3| = √

= 5, arg 3 = 0,

52 + 02

3 = 5(cos 0 + sin 0). 2

В тригонометрической форме удобно производить операции умножения и деления комплексных чисел. Для произвольных комплексных чисел

1 = 1(cos 1 + sin 1),						2 = 2(cos 2 + sin 2).
справедливы равенства
1 2		= 1 2[cos( 1 + 2) + sin( 1 + 2)],					(1.24)
	1	1
		=		[cos( 1 − 2) + sin( 1 − 2)] ,			(1.25)
	2		2
			= (cos + sin ).				(1.26)
Формула (1.26) называется формулой Муавра.
Символом		обозначим комплексное число cos + sin :
					= cos + sin .		(1.27)

С помощью этого обозначения						произвольное комплексное	число

= (cos + sin ) может быть записано в показательной форме

= .

(1.28)

П р и м е р 1.17. Комплексное число = −1 + представить в показательной форме.

Р е ш е н и е. Находим модуль и аргумент данного комплексного

числа:	√					3


	= \| \| =		2, = arg =				.
	= \| \| =		2, = arg =			4	.
Следовательно,		√
	=	√		2	(3 /4) . 2

§ 1.7. Комплексные числа	43

П р и м е р 1.18. Комплексное число записано в показательной форме = 2 ( /6) . Найти его алгебраическую форму.

Р е ш е н и е. По формуле (1.27) получим:

√

= 2(cos

+ sin

) = 2(

) =

√3 + . 2

П р и м е р 1.19. Вычислить (2+2 )12, используя формулу Муавра.

Р е ш е н и е. Комплексное число 2 + 2 представим в тригонометрической форме и применим формулу Муавра.

2 + 2 = 2√2

(√2

+ √2

)

= 2√2

(cos 4

+ sin

4 ).

(2 + 2 )12

= (22 )

(cos

(12 ·

) + sin (12 ·

) ) =

= 218 (cos 3 + sin 3 ) = 218 (−1 + · 0) = −218. 2

Представить комплексное число в показательной и алгебраической форме.


1.170. −2 (cos		34		+ sin 4			).			1.171. 5	(cos		+ sin
1.170. −2 (cos		34		+ sin 4			).			1.171. 5	(cos	6	+ sin	6 ).
					3

1.172. 4	(cos (−			) + sin		(−				) ).
1.172. 4	(cos (−		3	) + sin		(−			3	) ).
1.173. 3	(cos (	2		) + sin		(		32		) ).
		3
1.174. −6(cos + sin ).										1.175. 1,5(cos 0 + sin 0).

44	Глава 1. Матрицы и определители

Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме.

1.176.	3 + 3	.		1.177.	−1 +	√		.
	3 + 3				−1 +	3
1.178.	√		.	1.179.	√		√		.
	−5 3 − 5				3 2 − 3 2
1.180. 18.				1.181. 2 .

Представить комплексное число в алгебраической и тригонометрической форме.

1.182. 7 56 .																1.183.		√5			3 .
																				4
	− .
	− .															1.185.			2 .
1.184. −	4																	4
1.186. Доказать формулы Эйлера
cos =											+ −				,	sin =	− −					.
cos =															,	sin =						.
											2							2
Вычислить, используя формулу Муавра.
1.187. 11.																1.188. 111.
1.189. 1111.																1.190. −1111.
	√							√						103					√					1	888
	√							√						103					√					1	888
1.191. (−		2		−					2			)		.		1.192. (			3		−				) .
1.191. (−		2		−					2			)		.		1.192. (			2		−			2	) .
					√								−100			1.194. (5 + 5 )7.
	1				√				3				−100			1.194. (5 + 5 )7.
1.193. (−			+							)				.
1.193. (−	2		+			2				)				.
1.195. (4 − 4√							)12.									1.196. (1 + √							)10.
1.195. (4 − 4√					3		)12.									1.196. (1 + √						3	)10.

§ 1.7. Комплексные числа	45

3 . Извлечение корней из комплексных чисел . Корнем -й степени из комплексного числа называется комплексное число ,

удовлетворяющее равенству
= .	(1.29)

Если = (cos + sin ) — фиксированное комплексное число, то уравнение (1.29) имеет в точности различных решений, которые вычисляются формулой

= √ = √ (cos		+ sin		),	(1.30)
	+ 2		+ 2

где = 0, 1, . . . , − 1. На комплексной плоскости эти корни соответ-

ствуют вершинам правильного -угольника, вписанного в окружность

√

радиуса с центром в начале координат.

П р и м е р 1.20. Найти корни уравнения 4 = −1.

Р е ш е н и е. Представим число −1 в тригонометрической форме:

−1 = 1 · (cos + sin ),

т. е. = 1, = . Тогда
= √4		= √4				(cos	+ 2								+ sin								+ 2							).
	−1				1		+ 2																+ 2
	−1				1		4																4
где = 0, 1, 2, 3.												√								√

													2								2
При = 0: 0 = cos				+ sin						=					+									.
При = 0: 0 = cos			4	+ sin				4		=		2			+					2				.
																√									√
			3						3		= −					√			2						√			2
При = 1: 1	= cos					+ sin														+									.
При = 1: 1	= cos		4			+ sin				4						2				+					2				.
																√									√
			5						5		= −					√			2	−					√			2
При = 2: 2	= cos					+ sin																							.
При = 2: 2	= cos		4			+ sin				4						2									2				.
														√							√
			7						7					√			2				√					2
При = 3: 3	= cos					+ sin					=							−									. 2
При = 3: 3	= cos		4			+ sin				4	=			2				−				2					. 2

46	Глава 1. Матрицы и определители

Найти все значения корней.


	√								√3		−1 + √
1.197.	√	3 + 3			.			1.198.	√3		−1 + √		3	.
	√4		−5√						√5			.
1.199.	√4		−5√	3		− 5	.	1.200.	√5	−5		.

Найти и изобразить на комплексной плоскости все решения уравнения.

1.201.	3	= 1.	1.202.	4	= 1.
1.203.	5	= 1.	1.204.	6	= 1.

Записать решения уравнения в тригонометрической форме и изобразить их на комплексной плоскости.

1.205. 2 = −1.		1.206. 3 = −1.
1.207. 4 = −1.		1.208. 5 = −1.
1.209. 6 = −1.		1.210. 7 = −1.
Найти все корни уравнения = .
1.211. = 3, = 1 + .		1.212. = 2, = .
		1.214. = 6, = 1 + √			.
1.213. = 4, = 3 + 4 .				3
Решить уравнение.
1.215. 2	+ 6 + 11 = 0.	1.216. 2	− + 2 = 0.
1.217. 2	+ 3 + 4 = 0.	1.218. 2	− 4 + 9 = 0.
1.219. 4	+ 6 2 + 11 = 0.	1.220. 4	+ 3 2 + 4 = 0.
1.221. 6	+ 4 3 + 3 = 0.	1.222. 8	+ 15 4 − 16 = 0.

Г л а в а 2

Системы линейных уравнений

§ 2.1. Квадратные неоднородные системы линейных уравнений. Правило Крамера

Система линейных уравнений с неизвестными вида

21		1	+ 22	2	+	· · ·	+ 2 =	2	,	(2.1)
	11	1	+ 12	2	+	· · ·	+ 1 =	1	,

	· · ·		· · ·		+	· · ·	· · ·	· · ·
	1 1 + 2 2				+	· · · + =		,

называется квадратной неоднородной системой линейных уравнений. Матрица

		11		12	· · ·	1
= · ·21·				· ·22·	·· ·· ··	·	2· ·		(2.2)

			1	2
					· · ·
называется матрицей системы (2.1), а матрицы
	2			и		2
		1						1
=	...				=	...			(2.3)



называются столбцами неизвестных					и свободных				членов соответ-
ственно.

Учитывая обозначения (2.2) и (2.3), систему (2.1) можно предста-

вить в следующей матричной форме:
= .	(2.4)

48Глава 2. Системы линейных уравнений

Те о р е м а 2.1 (Правило Крамера). Если | | ̸= 0, то квадратная неоднородная система (2.1) имеет единственное решение

= −1 ,

или, в покомпонентной записи,
1 = \|\| 1\|\|,	2 = \|\| 2\|\|,	. . . , = \|\| \|\|,	(2.5)

где , = 1, 2, . . . , — матрицы, полученные из матрицы заменой-го столбца на столбец свободных членов:

1= 2		22	· · ·	2	, . . . , = 21		22	· · ·	2	.
	1	12		1		11	12		1
	· · ·	· · ·	·· ·· ··	· · ·		· · ·	· · ·	·· ·· ··	· · ·
		2	· · ·			1	2	· · ·
			· · ·					· · ·

П р и м е р 2.1. Решить систему уравнений

1	+ 2 2	+ 3			= −0,
1	+ 2	+ 3			= 1,
1	+ 3 2	+ 2 3			= 2.

Р е ш е н и е. Матрица	= 1			1
	= 1		2	1
		1	1	1
	1		3	2

невырождена, так как | | = 1 ̸= 0. Следовательно, данная система

имеет единственное решение.

Вычислим определители | 1|, | 2| и | 3|:

1 =

0 2

= 3,

2 =

0 1

= 1,

1 2

= 1.

−1 1

−

| |

−1 1

1 1

−1

2 3

1 2 2

1 3

По формулам (2.5)

получим:

| 1|

−3

−

| 2|

= 1,

| 3|

= 1.

§ 2.1. Неоднородные системы линейных уравнений. Правило Крамера 49

Решить систему уравнений по правилу Крамера.

{

3 1

+ 4 2

= 18.

{

−5 1

+ 2 2

= −22.

2.1.

3 2

−

4 1

2.2.

−

3 2

= 7,

2.3. {

2 1

−

−7.

2.4. { 1

− 2

= 2.

{

+ 5 2

= 2,

{

+ 2

= 1,

3 1

+ 2 2

−7.

5 1

− 7 2

= 13.

2.5.

+ 5 2

2.6.

−

{

3 1

+ 5 2

= 4.

{

6 1

+ 2 2

= 6.

2.7.

2 1

+ 3 2

= 1,

2.8.

−

3 2

= 11,

{

2.9.	1 cos − 2 sin = cos 2 ,
	1 sin + 2 cos = sin 2 .
2.10.	{	1 − 2 = 2 + 2,
		1 + 2 = 2 + 2.
		7 1 + 2 2 + 3 3 = 13,
2.11.		9 1	+	3 2	+ 4 3		=	15,
		5 1 +		2 + 3 3 = 14.

2.12.		1 +		2 + 3 = 2,
		2 1	−	2	−	6 3 =		−	1,

		3 1	−	2 2			=		8.
		1			− 2 3 = 4,
2.13.		3 1	+	2	+ 2 3 =				5,
		1 + 2 2 + 7 3 = −3.
2.14.		1 +		2 2		=		1,
		2 1 +		5 2		=		0,

3 2 − 3 = −6.

2.15. 1		−		+ 3 3	=	−2,
	1			2	=		5,
				2 − 2 3 = −3.
2.16.	1 + 2 + 4 3 = 3,
2.16.	2 1		+ 3 2			=	−	2,
							−

2 − 3 = −1.

50	Глава 2. Системы линейных уравнений

	3 1 + 4 2	= 11,

2.17.5 2 + 6 3 = 28,

1 + 2 3	=	7.
3 1 − 2 + 3 =		4,

2.18.2 1 − 5 2 − 3 3 = −17,

1 + 2 − 3 = 0.

2 1 − 2 − 3 3 = 3,

2.19.3 1 + 4 2 − 5 3 = −8,

2 2 + 7 3 = 17.

1 + 2 2 + 3 = 8,

2.20.3 1 + 2 2 + 3 = 10,

4 1 + 3 2 − 2 3 = 4.

5 1 − 2 − 3 = 0,

2.21.1 + 2 2 + 3 3 = 14,4 1 + 3 2 + 2 3 = 16.

1 + 3 2 − 6 3 = 12,

2.22.3 1 + 2 2 + 5 3 = −10,

2 1 + 5 2 − 3 3 = 6.

1 + 2 2 − 3 = 0,

2.23.2 1 − 3 2 + 3 = 2,

3 1 + 2 + 3 = 7.

2.24.	2 1	+ 2	+	2 3	+	3 4	= 2,
	1	+ 2 2	+ 3 3		+ 4 4		= 3,
	3 1 + 2 2 + 3 + 2 4 = −3,


	4 1 + 3 2 + 2 3 + 4 = 2.


2.25.	2 1	+ 3 2		4 3	+ 4 4		= 7,
	1	− 2 2	+ 3 3		−	4	= 6,
	3 1 + 2 − 2 3					2 4 = −9,

			−		−
	1 − 3 2 + 7 3 + 6 4 = −7.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 395 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.07.2019190.98 Кб3Оценка рентабельности и деловой активности.doc
#
24.11.2019166.91 Кб4Очередной ежегодный отпуск.doc
#
20.09.2019174.5 Кб16ОЭБ.docx
#
18.09.20194.36 Mб15ОЭВМиС 2012 все леккции.doc
#
26.03.2016148.51 Кб13П-1 Философия 2014 Каменских.docx
#
26.03.20161.95 Mб375П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике.pdf
#
02.06.201527.11 Кб47Парсонс Т. О понятии политической власти.docx
#
26.03.2016203 Кб15Парсонс, Луман, Бурдье.pdf
#
26.03.201695.69 Кб48ПГ.docx
#
02.06.2015119.4 Кб10Пенская. Билет 17.docx
#
02.06.201583.97 Кб7первая мировая.doc

или, в покомпонентной записи,
1 = \|\| 1\|\|,	2 = \|\| 2\|\|,	. . . , = \|\| \|\|,	(2.5)