Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

В а р и а н т XIX

43

1 –----------------- -------------

3.Решите неравенство -5- 3x + 1 > (0,2)2 – x . В ответе запишите

x2 + y2 + x + y = 2, 2x2 – y2 + 2x – y = 4.

Вответе запишите большее значение x.

6.Решите уравнение 3 · 22x + 6x – 2 · 32x = 0.

7.Найдите высоту BD треу,ольни а ABC, образованно,о осью Ox

(AC Ý Ox) и асательными ривой y = 2x3 – 2x2 + 12x – 10, проведенными в точ ах с абсциссами x0 = 1, x1 = 2.

8. Сторона основания правильной треу,ольной пирамиды равна

448 , а бо овая ,рань на лонена плос ости основания под у,лом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

521

9. Решите неравенство log5 (x + 11) – log5 (x2 – 10x + 21) > 0. В ответе запишите большее значение середин промежут ов, на оторых выполняется неравенство.

10. В прямоу,ольный треу,ольни с ,ипотенузой, равной 8, и од-

шины лежат на ,ипотенузе. В ответе запишите большее значение длины.

Ва р и а н т XX

1.Первая труба может заполнить бассейн на 36 мин быстрее, чем вторая. Если сначала половину бассейна заполнит первая труба, а затем дру,ую половину — вторая труба, то бассейн заполнится на 30 мин позже, чем при заполнении двумя трубами одновременно. За с оль о минут может заполнить бассейн аждая труба в отдельности? В ответе у ажите большее время.

2x2 – 3xy + 5y = 5, xy – 2y – 3x = –6.

Вответе запишите большее значение x.

6.Решите уравнение 2 · 81x + 1 – 36x + 1 – 3 · 16x + 1 = 0.

7.Найдите длину высоты BD треу,ольни а ABC, образованно,о

8. Бо овое ребро правильной треу,ольной пирамиды равно 4, а высота равна 12 . Найдите объем пирамиды.

9. Решите неравенство

log4 (21 – 4x – x2) – log4 (x + 4) < 1,5.

В ответе запишите середину интервала, на отором выполняется неравенство.

522

10.Бассейн объемом 32 м3 имеет форму прямоу,ольно,о параллелепипеда, в основании оторо,о лежит вадрат. Определите сторону вадрата, если общая площадь бо овой поверхности и дна минимальна.

Ва р и а н т XXI

1.Решите уравнение 4 sin2 x + 9 tg2 x = 4.

входит в область определения фун ции y = log2 (28 – x)?

3.Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в о руж-

ность, центр оторой лежит на основании KN. Диа,ональ LN трапеции равна 4 см, а FMNK = 60°. Определите длину основания LM.

4.Два стрел а сделали по 30 выстрелов аждый, при этом было 44 попадания, остальные выстрелы не попали в цель. С оль о попада-

ний было у аждо,о стрел а, если известно, что у перво,о на аждый промах приходилось в 2 раза больше попаданий, чем у второ,о?

5. Решите систему

2x + 1 = 4y2 + 1, 2x m 2y.

6. Решите уравнение 25–x + 5–x + 1 = 50.

+ cos x) удовлетворяет уравнению

2 log9 (6 ctg 2y + 5 tg y) = 2 + log1/3 (6 ctg y – tg y).

8. При а их значениях параметра a уравнение x(x2 – 27) – 5a + 4 = = 0 имеет два решения?

В а р и а н т XXII

1. Решите уравнение 2 sin 3x sin x + (32 – 1)cos 2x = 3. В ответе запишите оличество орней, удовлетворяющих неравенствам 2π m x m 3π.

2.Решите неравенство log1/3 (x2 – 6) + log9 x2 l 0. В ответе запишите целые решения.

3.Решите неравенство log9 (x + 7) > log3 (x + 1).

4. Учебни ал,ебры, 2 учебни а ,еометрии и 2 учебни а три,онометрии стоят вместе 210 р., а 3 учебни а ал,ебры, учебни ,еометрии и учебни три,онометрии стоят вместе 230 р. С оль о стоят учебни ,еометрии и учебни три,онометрии вместе?

523

В а р и а н т XXIV

1. Решите уравнение 3 + 2 sin 3x sin x = 3 cos 2x. В ответе запишите оличество орней, удовлетворяющих неравенствам 3 < x < 10.

2.Решите неравенство log2 (5 – 4x) + log0,5 (2x – x2) l 2.

3.Решите уравнение 4–x + 0,5 – 7 · 2–x – 4 = 0.

Диа,онали AC и BD пересе аются в точ е O. Известно, что BC = 1, AD = 2, а площади треу,ольни ов BOC и LOR равны. Найдите длину отрез а PQ.

6. Найдите абсциссы точе пересечения ,рафи ов фун ций y =

a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2.

не имеет решений?

Ва р и а н т XXV

1.Решите уравнение

тремя способами. При первом способе требуется по 100 шту плито бело,о, расно,о и сине,о цветов; при втором — 150 белых, 150 расных и 50 синих плито , при третьем — 200 белых, 50 расных и 50 синих. Во с оль о раз площадь синей плит и больше площади

расной плит и?

525

7. Найдите все решения уравнения sin 13 πsin x = –3 .

------ -------

9 2

8. Числа a, b, c та овы, что система

ax – by = 2a – b,

(c + 1)x + cy = 10 – a + 3b

имеет бес онечно мно,о решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b, c.

В а р и а н т XXVI

7. Найдите все решения уравнения tg (4sin x) = 3 . 8. Числа m и n та овы, что система

m2x – my = 1 – m,

–nx + (2n – 3)y = –m – 3

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите m и n.

526

В а р и а н т XXVII

Они выехали одновременно (первая из A, а вторая из B) и дви,ались навстречу дру, дру,у аждая со своей постоянной с оростью. Ко,да вторая машина проехала 14 м, она встретила первую. Если бы первая машина работала одна, то после 4 ч работы ей бы еще оставалось подмести 23 м шоссе. Ка ова с орость первой машины, если извест-

8. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 339 и BC = 39 . Известно, что FBAD = 30° и FADC = 60°. Через точ у D проходит прямая, делящая трапецию на две равновели ие фи,уры. Найдите длину отрез а этой прямой, находяще,ося внутри трапеции.

В а р и а н т XXVIII

527

4. Составьте уравнения асательных ,рафи у фун ции f(x) =

=x2 – 2x в точ ах е,о пересечения с осью абсцисс.

5.Из ,орода A в ,ород B выезжает велосипедист, а через 3 ч после это,о из ,орода B навстречу ему выезжает мотоци лист, с о-

рость оторо,о в 3 раза больше с орости велосипедиста. Велосипедист и мотоци лист встречаются посередине между A и B. Если бы мотоци лист выехал не через 3 ч, а через 2 ч после велосипедиста,

площадей треу,ольни ов ABC и BCD, если известно, что AC = 15 см,

BC = 20 см и FABC = FACD.

В а р и а н т XXIX

2x2 – y = 3, 2y2 – x = 3,

являющиеся рациональными числами. 4. Решите уравнение log2x x = log4x x.

5. При а их значениях a уравнение sin4 x + cos4 x = a имеет решение?

6.Решите неравенство x2 – 7x + 12 < |x – 4|. В ответе запишите целое решение.

7.Два спортсмена стартовали один за дру,им с интервалом в

2 мин. Второй спортсмен до,нал перво,о на расстоянии 1 м от точ и старта, а пробежав от точ и старта 5 м, повернул обратно и встретился с первым. Эта встреча произошла через 20 мин после старта перво,о спортсмена. Найдите с орость второ,о спортсмена.

8. В прямоу,ольном треу,ольни е ABC (C — прямой у,ол) проведена высота CD. Найдите расстояние между центрами о ружностей, вписанных в треу,ольни и CDB и ADC, если BC = 4, AC = 3.

528

В а р и а н т XXX

весь путь, если известно, что велосипедист до,нал пешехода на половине пути из A в B, а с орости велосипедиста и пешехода постоянны?

8. Найдите длину стороны вадрата, вписанно,о в прямоу,ольный треу,ольни с атетами, равными 3 и 4. Одна из сторон вадрата лежит на ,ипотенузе.

О т в е т ы

9.900. 10. 32.

Ва р и а н т XIV. 1. 2625 р. 2. –3. 3. –135°. 4. 4. 5. –2. 6. –1. 7. 4.

8.1,1. 9. 108. 10. 4.

529

ня. 7. 3. 8. 2. 9. –28. 10. 24.

Ва р и а н т XVII. 1. 27. 2. 8. 3. 0,568. 4. 2. 5. 0,4. 6. –1. 7. 37. 8. –1.

9.1. 10. 6,25.

Ва р и а н т XVIII. 1. 0,25. 2. 30. 3. 0,9032. 4. 80. 5. 0,6. 6. 3 7. 732.

8.–1. 9. 6. 10. 0,6.

c1 = 2,25; a2 = 2, b2 = –1, c2 = 1.

530