Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3.Если существует та ое a, что при x = 4 условие (2) не выполняется, т. е. имеет место равенство 32x – a – 3a – x = 0, то знаменатель данной дроби обращается в нуль. Последнее означает, что в точ е x = 4 данная дробь не определена и, следовательно, x = 4 не может быть

орнем исходно:о уравнения.

4.Та им образом, исходное уравнение имеет единственное реше-

ние x = 3, если орнем знаменателя данной дроби является x = 4. То:- да этот знаменатель при x = 4 должен обращаться в нуль, т. е.

32 · 4 – a – 3a – 4 = 0,

от уда a = 6.

5. Рассуждая анало:ично, за лючаем, что исходное уравнение имеет единственное решение x = 4, если орнем знаменателя данной дроби является x = 3 (в этом случае дробь при x = 3 не определена). Значит, знаменатель при x = 3 должен обращаться в нуль, т. е.

32 · 3 – a – 3a – 3,

от уда a = 9 .

--

2

9 Ответ: a = 6, a = -- .

2

461

Т е м а 21

À

Первообразная. Основное свойство первообразной. Правила нахождения первообразных.

Площадь криволинейной трапеции

Теоретичес ие сведения

1. Первообразная

1°. Фун цию F называют первообразной на заданном промежут е для фун ции f, если при всех x из это о промежут а выполняется равенство F′(x) = f(x).

Например, фун ция F(x) = x4 есть первообразная для фун -

-----

4

ции f(x) = x3 на промежут е (–×; +×), та а F′(x) = x4 ′ =

-----

4

=1 · 4x3 = x3 = f(x) при всех x Ý (–×; +×).

--

4

2°. Нетрудно заметить, что x4 + 6 имеет ту же самую произ-

-----

4

водную x3; поэтому и фун ция x4 + 6 есть первообразная для

-----

4

x3 на R. Ясно, что вместо 6 можно взять любую постоянную C. Та им образом, задача нахождения первообразной неодно-

значна. Она имеет бес онечное множество решений.

разная для фун ции f(x) = x на промежут е [0; +×).

при всех x Ý [0; +×), что и требовалось до азать.

462

2. Основное свойство первообразной

1°. ТЕОРЕМА. Если фун ция F есть первообразная для фун ции f на промежут е X, то при любой постоянной C фун ция

та же является первообразной для фун ции f на промежут- е X. Любую первообразную для фун ции f на промежут е X можно записать в виде F(x) + C.

Р е ш е н и е. Общим видом первообразных для f является

фун ция F(x) = tg x + C. Решив уравнение 0 = tg π + C относи-

--

4

тельно C, находим C = –1. Та им образом, tg x – 1 есть ис омая первообразная.

3. Правила нахождения первообразных

1°. Если F есть первообразная для f, а G — первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g, т. е. (F + G)′ = f + g.

2°. Если F есть первообразная для f, а k — постоянная, то kF есть первообразная для kf, т. е. (kF)′ = kf.

463

3°. Если F(x) есть первообразная для фун ции f(x), а k и

Пример. Найти первообразные для фун ции:

4. Площадь криволинейной трапеции

1°. Криволинейной трапецией называют фи уру, о раниченную рафи ом неотрицательной и непрерывной на отрез е [a; b] фун ции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

2°. ТЕОРЕМА. Пусть f — непрерывная и неотрицательная на отрез е [a; b] фун ция, а S — площадь соответствующей риволинейной трапеции (рис. 214). То да если F — первооб-

Примеры. 1. Вычислить площадь фи уры, о раниченной линиями y = 2x – x2 и y = 0 (рис. 215).

464

Р е ш е н и е. Для фун ции y = 2x – x2 первообразная есть

F(x) = x2 – 1 x3. Найдем точ и пересечения ривой 2x – x2 с осью

--

3

абсцисс: 2x – x2 = 0; x = 0, x = 2, т. е. (0; 0) и (2; 0). Значит, a = 0, b = 2.

Ис омую площадь находим по формуле (1):

S = F(2) – F(0) =

2. Вычислить площадь фи уры, о раниченной линиями y = x2 и y = 2x (рис. 216).

Р е ш е н и е. Для фун ции y = x2 пер-

вообразная F(x) = x3 , а для фун ции y =

-----

3

= 2x первообразная P(x) = x2.

Найдем оординаты точе пересечения заданных линий:

Ис омая площадь равна разности площадей треу ольни а OAB и риволинейной трапеции OnBA, т. е. S = SœOAB – SOnBA. Та а SœOAB = P(2) – P(0) = 4 – 0 = 4 ( в. ед.), SOnBA = F(2) –

465

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите первообразные для фун ции:

а) f(x) = x3; б) f(x) = sin 3x; в) f(x) = ex + sin x;

е) f(x) = 5sin x + 2cos x; ж) f(x) = 3ex – sin x;

2. Известно, что для заданной фун ции f(x) рафи ее первообразной проходит через у азанную точ у M(x; y). Найдите эту первообразную, если:

3. Для заданной фун ции f(x) найдите та ие ее первообразные, рафи и оторых пересе ают рафи фун ции f(x) в точ-

4. Известно, что рафи первообразной заданной фун ции f(x) пересе ает ось абсцисс в точ ах, расстояние между оторыми равно у азанной величине d. Найдите точ у, в оторойрафи первообразной пересе ает ось ординат, если:

а) f(x) = 10x – 3, d = 1; б) f(x) = 6x + 5, d = 3.

5. Известно наибольшее значение Fнаиб первообразной за-

данной фун ции f(x) на у азанном отрез е [α; β]. Найдите наименьшее значение этой первообразной на том же отрез е, если:

а) f(x) = x2 – 10x + 32, [–5; 0], Fнаиб = 86; б) f(x) = x2 + 8x + 32, [–6; 0], Fнаиб = 85.

466

6. Сравните значения первообразной F(x) для фун ции:

7. Найдите площадь фи уры, о раниченной линиями:

а) y = x2, y = 0, x = 3; б) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π ;

--

2

в) y = sin x, x = 0, x = π; ) y = 1 , y = 0, x = 1, x = 2;

-----

x2

д) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 2;

е) y = 1 + 2sin x, y = 0, x = 0, x = π ; ж) y = 4 – x2, y = 0;

--

2

8. Вычислите площадь фи уры, о раниченной линиями:

Задания для повторения

9.Имелось два раствора, из оторых первый содержал 800 безводной серной ислоты, а второй — 600 та ой же ислоты. Затем их соединили вместе и получили 10 ново о раствора серной ислоты. Определите массу перво о и второ о растворов, вошедших в смесь, если известно, что в первом растворе безводной серной ислоты содержится на 10% больше, чем во втором.

10.Имелось два разных сплава меди. В первом сплаве содержалось меди на 40% меньше, чем во втором. Затем их соединили вместе и получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что в первом сплаве было 6 меди, а во втором — 12 .

467

11.На обработ у одной детали первый рабочий затрачивает на 6 мин меньше, чем второй. С оль о деталей обрабатываетаждый из них за 7 ч, если первый обрабатывает за это время на 8 деталей больше?

12.Доро а от пун та A до пун та B, имеющая длину 11,5 м, идет сначала в ору, далее по равнине, а затем под ору. Пешеход, дви аясь из пун та A в пун т B, прошел весь путь за 2 ч 54 мин, а на обратную доро у он затратил 3 ч 6 мин. С орость ходьбы составила: в ору — 3 м/ч, по равнине — 4 м/ч, подору — 5 м/ч. На а ом протяжении доро а идет по равнине?

13.Решите систему:

а) 2 sin2 x – 5|sin 2x| + 8 cos2 x = 0, |tg x| m 3;

б) 6 sin2 x – 33 |sin 2x| + 4 cos2 x = 0, |tg x| m 1.

В ответе у ажите сумму решений в радусах на отрез е [π; 3π]. 14. Постройте рафи фун ции:

а) y = 2log2 x ; б) y = 3log3x ; в) y = 5log5( x – 1) ; ) y = 5log5 (1 – x) ;

д) y = 2log2 ( x2 – 1) ; е) y = 3log3 (1 – x2 ) .

15. Если две трубы от рыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была

от рыта толь о первая труба в течение 1 времени, оторое не-

--

4

обходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя от-

дельно. Затем была от рыта вторая труба та же в течение 1 вре-

--

4

мени, оторое необходимо первой, чтобы одной наполнить бас-

вместимости бассейна. Ка ое время необходимо для наполнения бассейна аждой трубой в отдельности?

16.Чан наполняется двумя ранами A и B. Наполнение чана толь о через ран A длится на 22 мин дольше, чем через ран B. Если же от рыть оба рана, то чан наполнится за 1 ч. За а ое время аждый ран в отдельности может наполнить чан?

17.Найдите разность наибольше о и наименьше о значений фун ции на заданном отрез е:

а) y = |x2 – 4x – 5| – |x – 4|, [–2; 6]; б) y = |x2 – 10x + 9| – |x – 4|, [0; 10].

468

ность между ее наибольшим и наименьшим значениями.

13. а) 1440°; б) 1440°. 15. 4 и 6 ч или 6 и 4 ч. 16. За 132 и 110 мин. 17. а) 12,25; б) 20,25. 18. 4.

Решения и методичес ие у азания

469

З а м е ч а н и е. Здесь и далее при нахождении обще,о вида первообразных данной фун ции мы используем теорему об основном свойстве первообразной (п. 2): если F(x) — первообразная фун ции f(x) на промежут е X, то фун ция f(x) имеет бес онечное множество первообразных, причем все эти первообразные записываются в виде F(x) + C, ,де C — произвольная постоянная.

470