Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

3. Первообразной для разности y1(x) – y2(x) является фун ция

 

F

(x) – F

1

1

e2x.

 

(x) = –-------------

--

 

1

 

2

x + 1

2

 

 

 

 

 

 

1

1

e2x + C — это общий вид всех первообразных

4. Ита , –-------------

--

x + 1

 

2

 

 

 

 

заданной фун ции.

З а м е ч а н и е. а) Известно, что дифференцирование — это операция отыс ания фун ции f′(x) по заданной фун ции f(x). При этом фун цию f′(x) называют производной фун ции f(x).

б) Существует та же и обратная операция, оторую называют инте,рированием.

в) Инте,рирование фун ции f(x) — это операция отыс ания для данной фун ции f(x) та ой фун ции F(x), по отношению оторой исходная фун ция f(x) является производной. Фун цию F(x), для

оторой на заданном промежут

е X выполняется равенство F′(x) =

= f(x), а известно, называют первообразной фун ции f(x) на проме-

жут е X.

 

К упражнению 2а

 

1. Запишем общий вид первообразных данной фун ции:

5x2

x

F(x) = ---------

+ -- + C, C Ý R.

8

4

2.

Нужно определить C. Для это,о воспользуемся тем, что ,рафи

первообразной проходит через точ у M(–3; –5). Это означает, что

F(–3) = –5.

 

 

 

 

 

 

 

3.

Та

а

 

 

 

 

 

 

 

 

F(–3) =

5 (–3)2

3

39

 

 

 

 

 

----------------------

--

+ C = ------ + C,

 

 

 

 

 

 

8

4

8

 

 

 

 

 

39

 

 

79

 

 

 

то получаем уравнение ------

+ C = –5, от уда C = –------ .

 

 

 

 

 

8

 

 

8

 

 

 

4.

Ита

, ис омой первообразной является F(x) =

5x2

x

79

---------

+ --

------ .

 

 

 

 

 

 

8

4

8

К упражнению 2в

1. Записав данную фун цию в виде f(x) = 2x3 – x2, найдем общий вид ее первообразных:

x4

x3

F(x) = -----

----- + C.

2

3

471

2.Воспользуемся тем, что F(1) = 2.

3.Имеем

 

 

F(1) =

1

1

1

+ C,

 

 

 

 

 

--

--

+ C = --

 

 

 

 

 

 

2

3

6

 

 

 

 

1

+ C = 2, от

11

 

 

 

 

 

 

 

т. е. --

уда C = ------ .

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

4. Ита , ис омая первообразная есть F(x) =

x4

x3

11

-----

-----

+ ------ .

 

 

 

 

 

 

 

2

3

6

К упражнению 3а

1. Найдем общий вид первообразных заданной фун ции:

 

F(x) = x3 + 5x2 – 5x + C, C Ý R.

 

2. Та а

,рафи первообразной пересе ает ,рафи

данной фун -

ции f(x) в точ

е, ордината оторой равна 3, то получаем систему

 

 

3x2+10x–5=3,

(1)

 

 

 

 

 

 

x3 + 5x2 – 5x + C = 3.

(2)

 

 

3. Решим эту систему:

а) уравнение (1) имеет орни x1

= –4, x2

2

;

= --

 

 

3

 

б) подставив x1 = –4 в уравнение (2), имеем (–4)3 + 5 · (–4)2 – 5 · (–4) + C = 3,

от уда C = –33;

2

в) подставив x2 = -- в уравнение (2), имеем

3

2

3

+ 5

2

2

2

+ C = 3, от

103

--

 

--

 

– 5 · --

уда C = --------- .

3

 

3

3

 

27

4. Теперь запишем ис омые первообразные:

 

F

(x) = x3 + 5x2 – 5x – 33,

F

(x) = x3 + 5x2

– 5x +

1

 

2

 

 

103

--------- .

27

К упражнению 4а

 

 

1.

Запишем общий вид первообразных заданной фун ции:

 

 

 

F(x) = 5x2 – 3x + C, C Ý R.

2.

То,да орнями первообразной являются следующие числа:

 

x

1

= 3---------------9----------20--------C-- , x

2

= 3------+---------9-----------20-------C-- .

 

 

10

10

 

 

 

 

472

3.

Найдем расстояние между

орнями первообразной:

 

x

2

– x

1

= 3-----+----------9-----------20-------C--

3–-------------9-----------20------C--- = -----9----------20-------C--- .

 

 

 

10

10

5

 

 

 

 

 

4.

Та а

по условию это расстояние равно 1, то

 

 

 

 

 

-----9----------20-------C--- = 1,

 

 

 

 

 

 

5

 

от уда C = –4-- .

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5.

Значит, нужная нам первообразная имеет вид

 

 

 

 

 

F(x) = 5x2 – 3x –

-4- .

 

 

 

 

 

 

 

5

4

6. Остается найти ее значение при x = 0: F(0) = –-- , т. е.

5

ис омая точ а.

К упражнению 5б

0; – 4 -5-

1.Рассмотрим данную фун цию f(x) = x2 + 8x + 32. Квадратный трехчлен x2 + 8x + 32 имеет отрицательный дис риминант (D = 64 –

128 = –64 < 0), поэтому f(x) = x2 + 8x + 32 > 0 при всех x.

2.Найдем общий вид первообразных фун ции f(x):

x3

+ 32x + C, ,де C Ý R.

F(x) = ----- + 4x2

3

 

3. Та а производная первообразной F(x), т. е. заданная фун - ция f(x), положительна при всех x, то первообразная F(x) возрастает при всех x.

4.

Это означает, что наибольшее значение первообразной дости,а-

ется на правом

онце данно,о отрез

а — в точ е x = 0. Та им образом,

F(0) = 85, т. е. C = 85.

 

5.

Ита , ис

омая первообразная имеет вид

 

 

x3

 

 

 

F(x) = ----- + 4x2 + 32x + 85.

 

 

3

 

6.

Остается найти ее наименьшее значение, оторое дости,ается в

точ е x = –6:

 

 

 

 

63

– 32 · 6 + 85 = –35.

 

 

F(–6) = –----- + 4 · 62

 

 

3

 

473

К упражнению 6б

1.При x < 1 числитель дроби, равный 1 – x, положителен.

2.Найдем теперь значения x, при оторых знаменатель дроби, равный log4 (7x – 5), отрицателен. Для это,о решим неравенство

log4 (7x – 5) < 0. Имеем

5

6

0 < 7x – 5 < 1, т. е. --

< x < -- .

7

7

 

3.

Точ и x =

3

и x

=

7

принадлежат найденному интервалу

 

--

--

 

 

 

 

4

 

 

9

 

5

< x

6

(рис. 217).

 

 

 

 

--

< --

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

Рис. 217

4. Значит, на отрез е

3

;

7

 

дробь f(x) =

1

– x

отрица-

--

--

 

log---------4---(----

7---x----------5----)

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельна, т. е. первообразная F(x) данной фун ции убывает на этом отрез е.

5. Ита , F

3

> F

7

.

 

--

 

--

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 7а

 

 

 

 

 

 

 

1. Фи,ура, площадь

оторой нужно найти,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображена на рис. 218. Здесь a = 0, b = 3.

 

 

 

 

 

 

2. Для фун ции y = x2 одной из первообраз-

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

ных является фун ция F(x) = ----- .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3. Ис омую площадь находим по формуле

 

 

 

 

 

 

S = F(b) – F(a),

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

03

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = F(3) – F(0) = -----

----- = 9 ( в. ед.).

Рис. 218

 

 

 

 

3

3

474

К упражнению 7б

1. Предварительно изобразим данную фи,уру (рис. 219). Здесь a = 0,

π

b = -- .

2

2.Для фун ции y = cos x одной из первообразных является фун ция F(x) = sin x.

3.Следовательно,

S = F

π

 

– F(0) =

--

 

 

2

 

 

π

 

 

 

в. ед.).

= sin -- – sin 0 = 1 (

2

 

 

 

 

К упражнению 7

 

1. Фи,ура, площадь

оторой тре-

буется найти, изображена на рис. 220. Здесь a = 1, b = 2.

2. Для фун ции y =

1

одной

-----

 

x2

 

из первообразных является фун ция

1

 

F(x) = –-- .

 

x

 

3. Та им образом,

S = F(2) – F(1) =

1

1

= –--

+ 1 = -- ( в. ед.).

2

2

К упражнению 7д

1.Изобразим данную фи,уру (рис. 221). Здесь a = 0, b = 2.

2.Одной из первообразных для

фун ции y = x3 + 1 является фун -

x4

ция F(x) = ----- + x.

4

3. Значит,

S = F(2) – F(0) =

24

=----- + 2 = 6 ( в. ед.).

4

Рис. 219

Рис. 220

Рис. 221

475

Рис. 222

Рис. 223

Рис. 224

К упражнению 7е

1. Данная фи,ура изображена на

π

рис. 222. Здесь a = 0, b = -- .

2

2.Одна из первообразных фун - ции y = 1 + 2sin x — это фун ция F(x) = x – 2cos x.

3.Поэтому

 

S = F

π

 

– F(0) =

 

--

 

 

2

 

 

π

– 2cos

π

– 0 + 2cos 0 =

= --

--

2

 

2

 

 

 

= 2 +

π

(

в. ед.).

 

--

 

 

2

 

 

К упражнению 8а

1.Изобразим данную фи,уру (рис. 223). Здесь a = –2, b = 0.

2.Одной из первообразных фун -

 

1

x + 2

 

2

 

1

 

 

 

ции y =

=

x2

+ 2x + 2 яв-

--

--

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

ляется фун ция F(x) =

x3

+ x2 + 2x.

-----

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

3. Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = F(0) – F(–2) =

 

= 0 –

 

4

 

 

 

 

4

(

в. ед.).

 

-- + 4 – 4

 

= --

 

3

 

 

 

3

 

 

К упражнению 8б

 

 

 

1. Изобразим

 

данную

фи,уру

(рис. 224). Здесь a = 0, b = 2.

2. Для фун ции y =

 

1

--------------------- + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 1)2

одна из первообразных есть фун ция

(x + 1)–1

1

+ x.

F(x) = ------------------------

+ x = -------------

–1

x + 1

 

3. Следовательно,

S = F(2) – F(0) =

1 8

=-- + 2 + 1 = -- ( в. ед.).

3 3

476

К упражнению 8д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Построим ,рафи

данной фун ции (рис. 225). Очевидно, что по-

лученная фи,ура симметрична относительно оси Oy.

2.

Одной из первообразных фун -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции y = 1 – cos x является фун ция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x) = x – sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Учитывая симметрию фи,уры,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 2 F

π

 

– F

0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

π

π

 

= π – 2 (

в. ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-- – sin

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 225

К упражнению 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Пусть x (

 

,) — масса перво,о раствора; то,да 10 – x ( ,) — масса

второ,о раствора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Процентное

 

содержание

ислоты в первом растворе равно

0,8 100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6 100

-----------------------

, а во втором растворе оно равно ----------------------- .

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 – x

3.

Со,ласно условию, составим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

80

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------

---------------- = 10,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

10 – x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от уда находим x1 = 20 (не подходит), x2 = 4.

Ответ: 4 и 6

,.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Это — задача на производительность.

2.

Пусть x —

 

оличество деталей,

 

оторое обрабатывает первый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

рабочий за 7 ч. То,да одну деталь он обрабатывает за -- ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3.

Анало,ично, второй рабочий обрабатывает x – 8 деталей за 7 ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому одну деталь он обрабатывает за ------------- ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x – 8

4.

Со,ласно условию, имеем уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------

-- =

------ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x – 8

x

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от уда x = 28.

Ответ: 28 и 20 деталей.

477

К упражнению 12

1. Пусть x ( м) — протяженность доро,и по равнине, а y ( м) —

в,ору.

2.То,да, используя условия, составим систему

y

+

x

+

11,5 – (x + y)

--

-4-

------------------5----------

---------

3

 

 

 

11,5--------------------(--x-------+----y----) + x--

+ -y-

 

 

3

 

4

5

9

= 2------ ,

10

1

= 3 ------ .

10

3. Решив эту систему, находим x = 4.

К упражнению 13а

1. Используя формулу синуса двойно,о у,ла, перепишем уравнение в виде

sin2 x – 5|sin x| |cos x| + 4cos2 x = 0.

(1)

2. Разделив обе части уравнения (1) на cos2 x, получим

|tg x|2 – 5|tg x| + 4 = 0,

от уда |tg x| = 1, |tg x| = 4 (не подходит, та а по условию должно выполняться неравенство |tg x| m 3).

3. Решим уравнение |tg x| = 1. Имеем:

 

 

π

 

 

 

 

а) tg x = 1, x = -- + πk, k Ý Z;

 

 

 

4

 

 

 

 

б) tg x = –1, x = –

π

+ πk, k Ý Z.

 

--

 

 

 

 

4

 

 

 

Объединив эти решения, имеем

 

 

 

 

 

π

π k

, k Ý Z.

 

 

 

 

x = --

+ ------

 

 

 

 

4

2

 

4. Теперь найдем

 

орни, принадлежащие отрез у [π; 3π], — это

 

11π

 

 

значения ------ , ------ , ------ ,

---------- . Их сумма равна 8π, т. е. 1440°.

4

4

4

 

4

 

 

К упражнению 14

З а м е ч а н и е. а) Напомним, что ло,арифмом числа b по основанию a называется по азатель степени, в оторую надо возвести число a, чтобы получить число b (здесь a > 0, a − 1, b > 0).

б) Со,ласно определению ло,арифма, справедливо тождество

alogab = b,

оторое называется основным ло,арифмичес им тождеством.

478

в) Графи и фун ций, заданных в упр. 14 а)—е), построены с учетом области определения ло,арифма и основно,о ло,арифмичес о,о тождества. Эти ,рафи и изображены соответственно на рис. 226—231.

Рис. 226

Рис. 227

Рис. 228

Рис. 229 Рис. 230 Рис. 231

К упражнению 15

1. Пусть первая труба наполняет бассейн за x (ч), а вторая — за

1

1

y (ч). То,да производительность первой трубы составит --

, а второй — --

x

y

(объем бассейна примем за 1).

2. Из условия следует, что первая труба наполнила

1

1

x часть бассейна.

бассейна, а вторая — --

· --

y

4

 

1

·

1

y часть

--

--

x

 

4

 

3. Та а вместе обе трубы наполнили 1 –

11------

=

13------

бассейна, то

 

24

 

24

 

получаем уравнение

1

1

1

1

x =

--

· --

y + --

· --

x

4

y

4

 

13

(1)

------ .

24

 

4. Кроме то,о, обе трубы при одновременной работе наполняют бассейн за 2 ч 24 мин, поэтому можно записать уравнение

1

1

 

 

12

= 1.

(2)

--

+ --

-

 

------

x

y

 

5

 

 

479

5. Решим систему уравнений (1) и (2). Имеем

 

1

 

1

y

1

1

 

=

13

,

 

 

--

· --

+ --

· -- x

------

 

 

x

 

4

 

y

4

 

 

24

 

или

 

1

 

1 12

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

+ --

------

 

 

 

 

 

x

 

y

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= t, приходим

 

системе

Пола,ая --

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

+ 6t = 13,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

--

= ------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

12

6

y

+ 6

x

= 13,

--

--

 

x

 

 

y

 

1

 

1

 

 

5

--

+ --

= ------ .

x

 

y

 

 

12

(3)

Из перво,о уравнения системы (3) находим t1

3

, t2

2

. То,да из

= --

= --

 

2

 

3

 

второ,о уравнения этой системы следует, что x1 = 4, y1 = 6 или x1 = 6,

y1 = 4.

Ответ: 4 и 6 ч или 6 и 4 ч.

К упражнению 17а

1. Определим промежут и зна опостоянства выражений, записанных под зна ом модуля. Имеем

x2 – 4x – 5 = 0,

от уда x

1

= –1, x

2

= 5;

x –

4 = 0,

от уда

x3 = 4.

 

 

Учитывая, что фун ция

задана на отрез

 

е [–2; 6], получаем четыре

промежут а зна опостоянства, в оторых зна и выражений x2 – 4x + 5 и x – 4 изменяются та :

 

x

[–2; –1]

(–1; 4]

(4; 5]

 

(5; 6]

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 – 4x – 5

+

 

+

 

x – 4

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

2. Будем рас рывать модули на аждом промежут е, а затем вы-

числять значения данной фун ции на

онцах заданно,о отрез а и

в

ритичес их точ ах, принадлежащих этим промежут ам (отметим,

что точ и x = –1, x = 4 и x = 5 та же являются

ритичес ими, по-

с

оль у в них производная не существует).

 

 

480

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]