Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

$) Область определения фун ции задается системой неравенств

2. Та а фун ция cos 2x имеет период π, то и данная фун ция имеет тот же период π.

К упражнению 12

1. Пусть T— период данной фун ции; то$да справедливо тождество

2. Разложив левую часть уравнения (1) по формуле разности у- бов, получим

4. Та а выражение (3) неотрицательно, т. е. оно тождественно не равно нулю, то из равенства (2) следует, что должно выполняться тождество

3.Выражение cos x + T тождественно не равно нулю, поэтому

-2--

sin T = 0. Наименьшее положительное значение T, при отором это

---

2

равенство справедливо, есть 2π. Ита , 2π — период данной фун ции.

301

К упражнению 13а

1. Та а y l 4, то 6y – 4 − 0; то$да систему можно переписать та :

3.Решениями системы (2) являются две пары чисел: x1 = 2, y1 = 1

иx2 = –2, y2 = 5.

4.Но y l 4, поэтому решение данной системы есть единственная

пара чисел: x = –2, y = 5. Ответ: –2.

302

Т е м а 16

À

Свойства функции y = sin x и ее график.

Функция y = arcsin x и ее график. Решение уравнения sin x = a. Свойства функции y = cos x и ее график.

Функция y = arccos x и ее график. Решение уравнения cos x = a. Свойства функции y = tg x и ее график.

Функция y = arctg x и ее график. Решение уравнения tg x = a. Свойства функции y = ctg x и ее график.

Функция y = arcctg x и ее график. Решение уравнения ctg x = a. Некоторые соотношения для аркфункций

Теоретичес ие сведения

1. Свойства функции y = sin x и ее график

1°. Отметим основные свойства фун ции y = sin x:

а) область определения — вся числовая прямая, т. е. D(sin) = = R;

б) множество значений — отрезо [–1; 1], т. е. E(sin) = [–1; 1]; значит, синус — фун ция о раниченная;

в) фун ция нечетная: sin (–x) = –sin x при всех x Ý R;

) фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом 2π, т. е. sin (x + 2π) = sin x при всех x Ý R;

д) sin x = 0 при x = πk, де k Ý Z;

е) sin x > 0 при всех x Ý (2πk; π + 2πk), k Ý Z;

ж) sin x < 0 при всех x Ý (π + 2πk; 2π + 2πk), k Ý Z;

303

) фун ция принимает наибольшее значение, равное 1, в точ-

ах x = π + 2πk, k Ý Z;

--

2

л) фун ция принимает наименьшее значение, равное –1,

Рис. 147 3π

в точ ах x = ------ + 2πk, k Ý Z.

2

2°. Все перечисленные свойства синуса позволяют построить е о рафи на промежут е [–π; π], т. е. на промежут е, длинаоторо о равна периоду фун ции (рис. 147).

Рис. 148

3°. Та а фун ция y = sin x имеет период 2π, то ее рафи переходит в себя при параллельном переносе r (2π; 0). Поэтомурафи фун ции y = sin x на [–π + 2πk; π + 2πk] получается израфи а, изображенно о на рис. 147, с помощью параллельно-о переноса r (2πk; 0), k Ý Z (рис. 148).

2. Функция y = arcsin x и ее график

нимает все значения из отрез а [–1; 1] (см. рис. 147). Поэтому

ратную фун цию, оторую называют ар син сом и обозначают y = arcsin x. Геометричес и arcsin x означает величину у ла

равен x.

304

2°. Графи фун ции y = arcsin x изображен на рис. 149. Этот рафи симметричен рафи у фун ции y = sin x, x Ý

Р е ш е н и е. Имеем:

305

4. Свойства функции y = cos x и ее график

1°. Отметим основные свойства фун ции y = cos x:

а) область определения — вся числовая прямая, т. е. D(cos) = = R;

б) множество значений — отрезо [–1; 1], т. е. E(cos) = = [–1; 1]; значит, осинус — фун ция о раниченная;

в) фун ция четная: cos (–x) = cos x при всех x Ý R;

) фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом 2π, т. е. cos (x + 2π) = cos x при всех x Ý R;

д) cos x = 0 при x = π + πk, k Ý Z;

--

2

з) фун ция убывает от 1 до –1 в промежут ах [2πk; π + 2πk], k Ý Z;

и) фун ция возрастает от –1 до 1 в промежут ах [–π + 2πk; 2πk], k Ý Z;

) фун ция принимает наибольшее значение, равное 1, в точ-ах x = 2πk, k Ý Z;

л) фун ция принимает наименьшее значение, равное –1, в точ ах x = π + 2πk, k Ý Z.

2°. Все перечисленные свойства осинуса позволяют построить е о рафи на промежут е [–π; π], т. е. на промежут е, длина оторо о равна периоду фун ции (рис. 150).

306

Рис. 150

Рис. 151

3°. В силу то о что период фун ции y = cos x равен 2π, еерафи переходит в себя при параллельном переносе r (2π; 0). Следовательно, рафи фун ции y = cos x на [–π + 2πk; π + 2πk] получается из рафи а, изображенно о на рис. 150, с помощью параллельно о переноса r (2πk; 0), k Ý Z (рис. 151).

307

симметричен рафи у фун ции y = = cos x, x Ý [0; π], относительно прямой y = x.

3°. Отметим свойства фун ции y = arccos x: а) D(arccos) = [–1; 1];

б) E(arccos) = [0; π];

в) фун ция убывающая;

) arccos (–x) = π – arccos x.

6. Решение уравнения cos x = a

1°. Формула орней уравнения cos x = a ( де |a| m 1) имеет

вид

x = äarccos a + 2πk, k Ý Z.

2°. Частные случаи:

а) cos x = 0 _ x = π + πk, k Ý Z;

--

2

б) cos x = 1 _ x = 2πk, k Ý Z;

в) cos x = –1 _ x = π + 2πk, k Ý Z.

3°. Формула орней уравнения cos2 x = a ( де a m 1) имеет

вид

x = äarccos a + πk, k Ý Z.

Пример. Решить уравнение

cos 2 x – 1 – 1 = 0.

-3- -2-

308

7. Свойства функции y = tg x и ее график

1°. Отметим основные свойства фун ции y = tg x:

а) область определения — множество всех действительных

чисел, роме чисел вида x = π + πk, k Ý Z;

--

2

б) множество значений — вся числовая прямая, т. е. E(tg) = = R; та им образом, тан енс — фун ция нео раниченная;

в) фун ция нечетная: tg (–x) = –tg x при всех x Ý D(tg);

) фун ция периодичес ая с наименьшим положительным периодом π, т. е. tg (x + π) = tg x при всех x Ý D(tg);

д) tg x = 0 при x = πk, k Ý Z;

е) tg x > 0 при всех x Ý (πk; π + πk), k Ý Z;

--

2

309

Рис. 154

из рафи а, изображенно о на рис. 153, с помощью параллельно о переноса r (πk; 0), k Ý Z (рис. 154).

8. Функция y = arctg x и ее график

и принимает все числовые значения, т. е. E(tg) = (–×; +×).

т. е. имеет обратную фун цию, оторую называют ар тан енсом и обозначают y = arctg x. Геометричес и arctg x означает

тан енс оторо о равен x.

2°. Графи фун ции y = arctg x изображен на рис. 155. Этот рафи симметричен рафи у фун ции y = tg x,

310