Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

Ва р и а н т VIII

1.Упростите до числово,о значения выражение

 

 

(-------a---------------b------)3---+------2----a--------a-----+------b--------b- + 3---------ab-------------3----b-- .

 

 

 

 

 

 

a

a + b

b

 

 

 

 

a – b

 

 

2. Вычислите

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

2--

log6 4

1 –

3--

log327

 

 

log249

log

2

36

 

+ 9

 

 

 

 

– ( 2)

: 11

11 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Упростите до числово,о значения выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – 2 sin2 α

 

.

 

 

 

 

 

 

-------

--------

---π--------

-----

-----

---------

2------π----------

 

 

 

 

 

 

2 ctg

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

-- + α

 

-- –

α

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

4. Найдите решения уравнения

 

 

 

 

 

 

 

log

 

 

(2 – x) – log2

 

(2 – x) = 2 – log

4----x----2- .

 

1/2

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

2x/3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ответе запишите

оличество решений.

 

 

 

5. Найдите решения уравнения 3 sin2 x = 2 – cos2 x, принадлежа-

щие отрез

у [–π; π]. В ответе запишите

оличество решений.

6. Найдите множество решений неравенства

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 – x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

< (0,2)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вответе запишите наименьшее целое решение.

7.Найдите точ у минимума фун ции y = (x + 5)2(x – 1). В ответе запишите значение фун ции в этой точ е.

8. Учени прочитал 105 страниц ни,и. Отдохнув, он увеличил с орость чтения в 1,5 раза и прочитал еще 90 страниц за время, равное времени отдыха. Отдых и чтение после не,о заняли на 0,5 ч больше, чем прочтение 105 страниц. С оль о страниц в час читал учени до отдыха?

9. Длина стороны

вадрата ABCD равна 6 см. Пусть K — середина

стороны BC, а P — точ

а пересечения прямых AK и BD. Найдите пло-

щадь треу,ольни а BKP.

10. В правильной треу,ольной призме ABCA1B1C1 точ а M — середина стороны основания CB; точ а K — середина ребра A1C1. Разло-

жите ве тор MK по ве торам CA , CC1 и CB1 . В ответе запишите наибольший из оэффициентов разложения.

511

Ва р и а н т IX

1.Упростите до числово,о значения выражение

a–1 – b–1

:

 

a2 b2

a2 – b2

–1

+

ab

.

a----–3-------+------b---–3----

(---a-----+------b---)--2----------3----ab-----

-------------------

 

 

(---a-----+------b---)--2-

 

ab

 

 

 

2. Вычислите

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 – log 5

4

 

1 – 2-- lg 25

4 log49

7

 

5

 

 

– 10

 

: 7

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Упростите до числово,о значения выражение

 

cos2 α + cos2

π

+ α

+ cos2

 

π

– α .

 

--

--

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

4. Найдите решения уравнения

2 + log24 x + log4 x = log4x 16x2.

Вответе запишите оличество решений.

5.Найдите решения уравнения (sin x – cos x)2 = sin 2x, принадле-

жащие отрез у

 

0;

 

. В ответе запишите оличество решений.

 

 

 

------

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Найдите множество решений неравенства

 

 

 

 

 

 

1

 

6 – x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------

 

 

 

 

 

 

--

 

> 16

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Вответе запишите наименьшее целое решение.

7.Найдите точ у минимума фун ции y = (x – 1)2(x + 2). В ответе запишите значение фун ции в этой точ е.

8.Туристы прошли 30 м и сделали привал. Если бы это расстояние они прошли с удвоенной с оростью, то затратили бы время, равное времени отдыха на привале. Весь обратный путь туристы проеха-

ли на автобусе, с орость оторо,о в 10 раз больше с орости, с оторой туристы шли пеш ом. Время пеше,о перехода на 1 ч больше, чем время, затраченное на отдых и на обратный путь. Определите с орость, с оторой туристы шли пеш ом.

9. В прямоу,ольном треу,ольни е ABC длина атета CA равна 4 см, длина атета CB равна 3 см. Найдите площадь треу,ольни а BMH, ,де CH — высота, а AM — медиана треу,ольни а ABC.

10. В тетраэдре ABCD точ а M — середина ребра AB; точ а K ле-

жит на ребре DC, причем DK = 3KC. Разложите ве тор MK по ве то-

рам AB , AC и AD . В ответе запишите сумму оэффициентов разложения.

512

Ва р и а н т X

1.Решите уравнение logx – 4 (x2 – 10x + 26) = 1.

2.Преобразуйте до числово,о значения выражение

 

1 – --1---

 

 

 

 

 

a2

a – a–2

 

2

.

a + -----

----------------------

a----1---/--2---------a----–1------/--2-

+

----------

 

a + a–1

 

a a

 

 

 

 

 

 

 

3. Найдите сумму орней уравнения

log

 

x------+-----10------

+ log (x – 2) = 3.

 

4

x – 5

4

4. Найдите наименьшее из чисел, составляющих решение системы уравнений

x1 + 4x2 + 8x3 = 1,

x2 + 2x3 = 2,

x1 + 5x2 + 9x3 = 2.

5.Вычислите y = 4 tg2 α + sin 2α, если sin α = 0,6, а cos α = –0,8.

6.Из всех прямоу,ольни ов, имеющих периметр 10 см, найдите

тот, площадь

оторо,о наибольшая. В ответе запишите площадь это,о

прямоу,ольни

а.

 

 

 

 

 

 

15

= 11 – 2cos x. В ответе у

ажите о-

7. Решите уравнение -----------------------

 

cosx + 1

 

 

 

 

 

личество орней это,о уравнения, принадлежащих отрез у

 

 

.

 

 

 

0; ------

 

 

 

 

4

 

 

8. Найдите наибольшее целое положительное число, для оторо,о выполняется неравенство 2x – 2 < 23 – x.

9.Радиус се тора с центральным у,лом α равен 3, а радиус о - ружности, вписанной в этот се тор, равен 1. Найдите у,ол α (в ,ра-

дусах).

10.Основанием прямо,о параллелепипеда служит ромб. Диа,онали ромба имеют длину 6 и 8 см. Длина диа,онали бо овой ,рани равна 13 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Ва р и а н т XI

1.Стоимость руч и была на 20% больше стоимости тетради. Стоимость руч и возросла на 40%, а общая стоимость руч и и тетради возросла на 50%. На с оль о процентов возросла стоимость тетради?

513

2. Найдите все значения a, при оторых система

y – 4x > 4,

y = a(x + 0,5)2

имеет хотя бы одно решение. В ответе у ажите наименьшее целое значение a.

3. Высота, проведенная основанию AC равнобедренно,о тре- у,ольни а ABC, равна 12, а cos A = 0,6. Найдите расстояние от точ и пересечения медиан до точ и пересечения биссе трис треу,ольни а.

4. Апофема правильной треу,ольной пирамиды равна 123 , а

3

тан,енс у,ла на лона бо ово,о ребра плос ости основания равен ------- .

2

Найдите расстояние между центрами вписанно,о и описанно,о шаров. 5. Решите неравенство

[log6 (x2 – x) – 1](4x2 – 8x – 5) > 0.

В ответе у ажите наибольшее целое отрицательное решение.

6.

Среди точе , лежащих на параболе y = x----2-

– 1, найдите ближай-

 

 

 

4

 

шую

точ е (8; 1). В ответе у ажите ординату этой точ и.

7.

Решите систему уравнений

 

 

 

 

sin x – sin y =

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

cos x + cos y =

3 .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

В ответе запишите (в ,радусах) наименьшее значение x, принадлежащее отрез у [0°; 180°].

8. Решите неравенство

x----3----------8-- + 6x(2 – x)---------------------------------

m 4x – 3 .

 

3 – 4x

 

 

Вответе у ажите наибольшее решение.

9.Решите уравнение

2(1 – 2x)/(2x + 1) – 12 · 2–2x/(2x + 1) – 32 = 0.

10. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, построенном на ве торах

AB = (1; 0; 1), AD = (0; 1; 1) и AA1 = (1; 1; 1), известно, что AP =

1

 

 

 

 

 

 

1

 

AC1 ,

B1Q

=

B1D. Найдите наибольшую оординату ве тора

= --

--

4

 

 

 

 

 

 

8

 

PQ .

514

Ва р и а н т XII

1.Добыча у,ля на второй шахте была на 40% больше, чем на первой. На первой шахте добыча уменьшилась на 18%, а общая добыча на двух шахтах уменьшилась на 25%. На с оль о процентов уменьшилась добыча у,ля на второй шахте?

2. Найдите все значения a, при оторых система

x – ay < –4, x = y2 – 2y

не имеет решений. В ответе у ажите наименьшее значение a.

3.Основание AC равнобедренно,о треу,ольни а ABC равно 24,

аtg A = 0,75. Найдите расстояние от точ и пересечения высот до точ-

ипересечения медиан треу,ольни а.

4.Апофема правильной четыреху,ольной пирамиды равна сторо-

не ее основания и равна 163 . Найдите расстояние между центрами вписанно,о и описанно,о шаров.

5. Решите неравенство

(6x2 + 31x + 18)[log2 (x2 + 4x + 3) – 3] > 0.

Вответе у ажите наименьшее целое положительное решение.

6.Среди точе , лежащих на параболе y = 1 – 2x2, найдите бли-

жайшую точ е

 

1;

3

. В ответе у ажите абсциссу этой точ и.

 

4--

 

 

 

7. Решите систему уравнений

sin x + sin y = 1, cos x – cos y = 3 .

В ответе запишите (в ,радусах) наименьшее значение x, принадлежащее отрез у [0°; 180°].

8. Решите неравенство

x----2---(---x-----+----6) + 2(7x – 6)----------------------------------------

m 20 – 2x – 1.

 

2x – 20

 

 

Вответе у ажите наибольшее решение.

9.Решите уравнение

5(x + 1)/(x – 3) – 23 · 5(x – 1)/(x – 3) – 250 = 0.

10. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, построенном на ве торах

AB = (1; –1; 2), AD = (2; 1; –3) и AA1 = (3; –2; 4), известно, что AP =

1 3

=-- AB1 , B1Q = -- B1C . Найдите наибольшую оординату ве тора PQ .

8 4

515

В а р и а н т XIII

1. Сезонная цена на овощи снизилась на 20%, бла,одаря чему на сумму 150 р. было приобретено овощей на 5 , больше, чем до снижения. С оль о ило,раммов овощей было приобретено по новой цене?

2.

Вычислите

 

log2112 – 4 log27 + log214 – 2 log27 .

3.

Решите уравнение sin x sin 3x + cos 4x = 0. В ответе у ажите

(в ,радусах) наименьшее из решений, принадлежащих интервалу (0; π).

4.

 

x

5 x – 1

=

5

–1

Решите уравнение (0,3) ·

--

------

.

 

 

 

3

 

24

 

5.

 

 

2

< 0. В ответе у ажите сумму

Решите неравенство –7 m 3x + --

 

 

 

x

 

 

 

целых решений неравенства.

 

 

 

 

6.

Решите систему неравенств

 

 

 

 

 

log1/3 (3x – 9) > –2,

 

 

 

 

 

 

x2 + 3

m 4.

 

 

 

 

 

----------------

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

Вответе у ажите наибольшее решение.

7.Для а их значений k точ а минимума фун ции

f(x) = 2x3 + 3kx2 – 6(k + 5)x + 3

лежит на отрез е [2; 5]? В ответе у ажите наименьшее значение k.

8.

3

< α < π.

Найдите 7 tg 2α, если |sin α| = --

и ------

 

5

4

 

9.

В правильной треу,ольной пирамиде сторона основания равна

65 , а площадь бо овой ,рани в 3 раза больше площади основания. Найдите объем пирамиды.

10. В равнобедренный треу,ольни MNP, у оторо,о основание MP равно высоте NO, вписан прямоу,ольни ABCD, площадь оторо- ,о равна 12. Вершины A и B лежат на бо овой стороне NP, вершина C — на основании MP та , что MC : CP = 1 : 3, а вершина D лежит на MN. Найдите площадь треу,ольни а MNP.

Ва р и а н т XIV

1.В связи с увеличением надежности работы изделия е,о цена поднялась на 5%, бла,одаря чему при реализации 100 изделий доход предприятия возрос на 12 500 р. Ка ова новая цена изделия?

516

2. Вычислите

log2 48 – 4log2 3 – 3 – 2.

--------------------------------------------------------------

log2 6 + 2log2 3

3. Решите уравнение sin 5x – sin x cos 4x = 0. В ответе у ажите (в ,радусах) наименьшее из решений, принадлежащих интервалу (–π; 0).

4.

Решите уравнение 22x – 3 · 53x –2 = 50x + 1.

5.

Решите неравенство 1 m ---

x----------1---- < 2. В ответе у ажите наимень-

 

 

2x + 1

шее решение.

 

6.

Решите систему неравенств

 

 

log4

(3x + 9) < 2,

 

 

 

 

x2

31 l 5.

 

 

 

 

x – 5

Вответе у ажите наименьшее решение.

7.Для а их значений k точ а ма симума фун ции

f(x) = –2x3 + (9k + 6)x2 – 36kx – 1

лежит на отрез е [6; 12]? В ответе у

ажите наибольшее значение k.

 

 

8. Найдите (3 3 + 4) sin

π

, если |cos α| =

1

π

π

 

 

2α + --

----------

и -- < α

< -- .

 

6

 

 

 

 

10

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Высота правильной треу,ольной пирамиды 2

26 , а ее бо

овое

ребро равно 2 30 . Найдите площадь бо

овой поверхности пирамиды.

10. В равнобедренный треу,ольни

ABC

 

AB = BC = 6, AC =

12

,

 

-------

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вписан прямоу,ольни KLMN. Вершины K и L лежат на стороне BC, причем BK = KC, вершина M лежит на AC, а вершина N — на AB. Найдите площадь прямоу,ольни а.

Ва р и а н т XV

1.Из пун та A в пун т B выезжает велосипедист. Через 2 ч вслед за ним выезжает мотоци лист, а еще через 2 ч он об,оняет велосипе-

диста на

1

часть расстояния от A до B. За а ое время проедет рас-

--

 

6

 

стояние от A до B велосипедист, если мотоци листу на это требуется на 3 ч 36 мин меньше?

517

2. При а их значениях a уравнения

x2 + (a – 7)x + 6 = 0 и x2 + (1 – a)x – 2 = 0

имеют общий орень? В ответе у ажите наибольшее значение a.

x

4

, x Ý

 

3. Найдите tg --

, если tg x = –--

------ ; 2π .

2

3

 

2

 

4.Основания трапеции равны 4 и 25, а бо овые стороны — 10 и 17. Найдите площадь трапеции.

5.Найдите ординату точ и пересечения с осью Oy общей аса-

тельной

 

 

x + 1

и y = 1 – x2.

 

 

 

 

 

 

ривым y = -------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Решите уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log

 

sin x +

π

 

+ log

sin x –

π

 

= –1.

 

 

--

------

 

 

2

 

4

 

2

 

12

 

 

 

 

 

В ответе у

ажите

 

оличество

 

орней на отрез

е

 

0;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

7. Решите неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 log5 x + log2 x < log2 x · log5 x.

Вответе у ажите наименьшее целое решение.

8.Решите неравенство

|2x – 4| + |2x – 6| m 2x + 4. В ответе у ажите наибольшее целое решение.

9. Найдите сумму орней уравнения 345 – x + 320 + x = 5.

10. Сторона основания правильной треу,ольной пирамиды SABC

равна 23 , а высота пирамиды равна 26 . Точ а D лежит на бо овом ребре SC и делит е,о в отношении 2 : 1, считая от вершины S. Найдите площадь сечения ABD.

Ва р и а н т XVI

1.Из пун тов A и B одновременно навстречу дру, дру,у выехали

два автомобиля. Через 1 ч расстояние между ними составило

2

рас-

--

 

3

 

стояния от A до B (встреча состоялась позже). За а ое время проедет расстояние от A до B первый автомобиль, если второму для это,о требуется на 2,5 ч меньше?

2. При а их значениях a уравнения

x2 + (1 – a)x – 8 = 0 и x2 + (a – 8)x + 4 = 0 имеют общий орень? В ответе у ажите наименьшее значение a.

518

3.

 

x

, если sin x = –0,96, x Ý

 

 

.

 

 

Найдите cos --

π; ------

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4.

Высота трапеции равна 12, а ее диа,онали равны 15 и 20. Най-

дите площадь трапеции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найдите абсциссу точ

и пересечения с осью Ox общей асатель-

ной

 

 

 

 

3x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ривым y = x2 + 3 и y = ----------------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Решите уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log sin

π

– x + log

 

cos

 

π

+ x

= 1 – 2log

 

2.

 

--

 

--

 

 

3

 

4

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

В ответе у ажите

оличество

орней на отрез

е

; 2π

.

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

7.

Решите неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log3 x + log4 x > 2 log3 x · log4 x.

Вответе у ажите наибольшее целое решение.

8.Решите неравенство

|3x – 4| + |3x – 6| m 3x + 7. В ответе у ажите наибольшее целое решение.

9. Найдите сумму орней уравнения 350 + x – 3x – 22 = 6.

10. Сторона основания правильной четыреху,ольной пирамиды SABCD равна 62 , а бо овое ребро равно 37 . Точ а E лежит на боовом ребре SC и делит е,о в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

Найдите площадь сечения BDE.

Ва р и а н т XVII

1.Сумма трех чисел, составляющих возрастающую ,еометриче- с ую про,рессию, равна 39. Если сумму перво,о и третье,о чисел разделить на второе, то в частном и в остат е получится 3. Найдите третье число.

2. При а их значениях a орни уравнения

4x – 2x + 3 + 8a – a2 = 0

различны и удовлетворяют условию x > 1? В ответе у ажите сумму целых значений a.

3.Найдите sin3 x + cos3 x, если sin x + cos x = 0,4.

4.Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 8. Найдите радиус вписанной в нее о ружности.

519

2 π

+ sin

π

– 1 = 0. В ответе у ажите на-

5. Решите уравнение 2cos --

x--

x

 

 

 

 

 

ибольшее решение на интервале

 

1

;

1

.

 

--

2--

 

 

 

4

 

 

 

6.

Решите неравенство

x2 – x – 2 (2x + 24 – x – 10) m 0. В ответе

у ажите наименьшее решение.

 

 

 

 

 

7.

Найдите сумму орней уравнения log

2

36

– 3 = log

6

 

------

----- .

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x

 

6

x2

8.

Решите неравенство -----

3----------2----x-----+------6----x----------5-- > 2. В ответе у

ажите на-

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

ибольшее целое решение.

 

 

 

 

 

 

9.

Найдите наименьшее значение фун ции y = ----2-------2----x---------

-----1----------2----x-- на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – 2x

 

 

3 ;

3

 

 

 

 

 

 

 

 

отрез

е

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Конус вписан в шар. Найдите отношение площади поверхно-

сти шара

площади основания онуса, если высота

онуса равна диа-

метру е,о основания.

 

 

 

 

 

 

Ва р и а н т XVIII

1.Сумма трех чисел, составляющих убывающую ,еометричес ую про,рессию, равна 63. Если сумму перво,о и третье,о чисел разделить на второе, то в частном получится 4, а в остат е 3. Найдите знаменатель про,рессии.

2. При а их значениях a орни x1 и x2 уравнения

9x – (2a + 6)3x + a2 + 6a = 0

удовлетворяют условию x1 < 2 < x2? В ответе у ажите сумму целых значений a.

3.Найдите sin4 x + cos4 x, если sin x + cos x = 1,2.

4.Разность оснований равнобедренной трапеции равна 12, а радиус вписанной в нее о ружности равен 4. Найдите площадь трапеции.

5.

Решите уравнение 2sin2

π

– cos

π

– 1 = 0. В ответе у ажите на-

--

--

 

 

x

 

 

x

 

ибольшее решение на интервале

1

3

 

.

--

; --

 

 

 

4

4

 

 

6.

Решите неравенство

 

 

 

 

 

– x2 + 4x – 3 (3x + 36 – x – 90) l 0. В ответе у ажите наибольшее решение.

520

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]