Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3. Пола$ая sin 2x = y, получим неравенство (2 + 3y)y l 0. Решив е$о методом интервалов, придем сово упности неравенств

4. Решим неравенство (1). Учитывая область определения исходно$о неравенства, имеем

2πk < 2x < π + 2πk, или πk < x < π + πk.

--

2

5. Решим неравенство (2) двумя способами.

I способ. а) Известно, что если повернуть начальный радиус о оло точ и O по часовой стрел е, то у$ол поворота считается отрицательным.

б) Положим 2x = t, то$да неравенство (2) примет вид

или

II способ. а) Известно, что если повернуть начальный радиус о о- ло точ и O против часовой стрел и, то у$ол поворота считается положительным.

б) Пола$ая 2x = t, запишем неравенство (2) в виде (3). в) Решение неравенства (3) иллюстрирует рис. 172, б.

Рис. 172

381

$) Запишем решение неравенства (3):

или

К упражнению 10м

З а м е ч а н и е. Специфи а рассматриваемых ниже систем обусловлена наличием по азательных и три$онометричес их фун - ций, входящих в аждое уравнение системы.

1. Пола$ая u = 3–x , v = tg2 y, перепишем данную систему:

2. Учитывая, что a — параметр, а u и v — неизвестные, запишем систему (1) в виде

3.Умножив второе уравнение системы (2) на 3 и сложив результат

спервым уравнением, получим

382

4. Анало$ично, умножив первое уравнение системы (2) на (–2) и сложив результат со вторым уравнением, получим

–7u = –7a, или u = a.

5. Вернемся первоначальным переменным и запишем систему

равносильную системе (2).

6. Левые части уравнений системы (3) удовлетворяют следующим о$раничениям:

7. Отсюда получаем систему неравенств для параметра a:

0 m a –1 ,

--

2

0 < a m 1.

8. Решим эту систему:

0 < a m 1,

9. Ита , наименьшим значением параметра, при отором данная

система уравнений совместна, является a = 1 .

--

2

К упражнению 11б

1. Пусть u = sin x, v = 2y2 . То$да получим систему

u + 2v = 3a + 4, –3u + 4v = a + 3.

2. Ис лючив из этой системы u, имеем

3. Анало$ично ис лючив v, получим

–5u = –5a – 5, или u = a + 1.

383

4. Та им образом, приходим системе

2y2 = a + 3 ,

--

2

sin x = a + 1.

5. Учитывая, что 1 m 2y2 , –1 m sin x m 1, запишем систему неравенств для параметра a:

К упражнению 11

1. Пола$ая ctg2 x = u, 3–y = v, получим систему

2. Ис лючив из этой системы u, имеем

4. Следовательно, приходим системе

ctg2 x = a – 1 ,

--

2

3–y = a.

5. Та а 0 m ctg2 x, 1 m 3–y , то получаем систему неравенств для параметра a:

Ответ: a = 1.

384

К упражнению 14

1.Пусть в первом слит е содержится x ( $) золота, то$да в нем имеется 2x ( $) меди.

2.Пусть во втором слит е содержится y ( $) золота, то$да в нем

имеется 2 y ( $) меди.

--

3

3. После то$о а сплавили 1 перво$о слит а и 5 второ$о, в полу-

-- --

3 6

385

6.На онец, та а числа x, y, z образуют $еометричес ую про- $рессию, то y2 = xz.

7.Ита , приходим системе

2x + 3y + 4z = 9 · 32, 3x + 2y + z = 6 · 22, y2 = xz,

от уда находим x = 12%.

К упражнению 16б

1. Пусть a ] b, $де символ ] означает либо зна «>», либо зна «<», либо зна «=». Здесь a > 0 и b > 0, значит, после возведения обеих частей неравенства в вадрат зна неравенства сохранится:

Та а 70 > 66 и в процессе преобразований неравенства a ] b е$о зна не менялся, то в исходном неравенстве символ ] нужно заменить зна ом «>». Ита , a > b.

К упражнению 17

1.Нужно найти sin α sin β, $де α и β — острые у$лы прямоу$ольно$о треу$ольни а ABC (рис. 174).

2.Положим AB = x; то$да AC = 14 – x. Со$ласно теореме Пифа$о- ра, имеем

102 = x2 + (14 – x)2,

или

386

т.е. x1 = a + 1, x2 = 2.

2.Найдем орни второ$о уравнения:

т.е. x3 = 1 – a, x4 = –4.

3.Уравнения имеют общий орень в следующих трех случаях: а) a + 1 = 1 – a, от уда a1 = 0;

387

б) a + 1 = –4, от уда a2 = –5; в) 1 – a = 2, от уда a3 = –1.

4. Сумма найденных значений a есть a1 + a2 + a3 = –6.

К упражнению 21а

1. Воспользуемся хара теристичес им свойством $еометричес ой про$рессии ( вадрат ее средне$о члена равен произведению предыдуще$о и последующе$о членов):

(1 – y)2 = 5y(1 + 29y), $де y = 4–x > 0.

от уда x = 2.

К упражнению 22а

1. Найдем орни уравнения, входяще$о в систему:

2.Теперь найдем решение неравенства |x + 1| m 2; это множество –3 m x m 1.

3.Очевидно, что данная система имеет хотя бы одно решение, если орень уравнения принадлежит множеству –3 m x m 1.

4.Все ис омые значения k определяются из сово упности уравнений

–3 m k – 1 m 1, –3 m k + 1 m 1,

от уда находим –4 m k m 2.

К упражнению 23а

1.Рассмотрим три случая: x = 3; x > 3; 0 < x < 3.

2.Если x = 3, то уравнение имеет орень x = 3.

3.Если x > 3, то уравнение примет вид

от уда x = 1, x = 5. Условию x > 3 удовлетворяет толь о орень x = 5. 4. Если x < 3, то уравнение примет вид

от уда x = 4, x = 2. Условию x < 3 удовлетворяет толь о орень x = 2. 5. Сумма орней уравнения есть 3 + 5 + 2 = 10.

388

Т е м а 18

À

Приращение аргумента и приращение функции. Предел функции. Непрерывность функции.

Определение производной. Производная суммы. Производная произведения. Производная частного. Производная степенной функции.

Производная сложной функции

Теоретичес ие сведения

1. Приращение аргумента и приращение функции

1°. Пусть x и x0 — два значения независимой переменной из D(f); то да их разность x – x0 называют приращением неза-

висимой переменной (или приращением ар мента) и обозначают через ∆x (читается: «дельта и с»). Та им образом,

т. е. первоначальное значение переменной получило приращение ∆x. Вследствие это о значение фун ции изменится на величину

389

Пример. Для фун ции y = x2 найти ∆y, если x = 2,5; x0 = 2.

Ре ш е н и е. Имеем ∆x = x – x0 = 2,5 – 2 = 0,5; ∆y = ∆f(x0) =

=f(x0 + ∆x) – f(x0) = f(2,5) – f(2) = 6,25 – 4 = 2,25.

5°. Понятия приращения фун ции и приращения ар умента позволяют дать следующие определения возрастающей и убывающей фун ций.

Фун цию называют возрастающей, если ∆f(x0) > 0 при любых ∆x > 0; фун цию называют бывающей, если ∆f(x0) < 0 при любых ∆x > 0.

2. Предел функции

1°. Число b называют пределом ф н ции f(x) при x, стремящемся a, если для любо о положительно о числа ε найдется та-ое положительное число δ, что при всех x − a, удовлетворяющих неравенству |x – a| < δ, справедливо неравенство |f(x) – b| < ε.

При этом употребляют запись lim f(x) = b.

x º a

3°. Из определения предела фун ции следует, что фун ция должна быть определена на промежут е (a – δ; a + δ), роме, возможно, самой точ и a.

Пример. До азать, что lim (2x – 1) = 3.

x º 2

Р е ш е н и е. Зададим произвольное ε > 0 и по ажем, что существует δ > 0 та ое, что из неравенства |x – 2| < δ выте ает неравенство |(2x – 1) – 3| < ε. Имеем

|(2x – 1) – 3| < ε _ 2|x – 2| < ε _ |x – 2| < ε .

--

2

390