|
π |
|
πx |
πx |
; |
в) y = sin 2x – 2 tg x – -- |
; ) y = sin ------ |
+ tg ------ |
|
6 |
|
6 |
30 |
|
|
x |
д) y = cos πx + sin 2x; е) y = tg -- + sin 2πx; |
|
3 |
ж) y = 2 sin 3x sin 2x; з) y = 2 sin 3x cos 7x. |
5. |
В а ом треу ольни е е о у лы α и β связаны соотноше- |
|
3 |
нием cos α + cos β – cos (α + β) – -- = 0? |
|
2 |
6. |
Преобразуйте в произведение: |
а) cos2 α – sin2 β; б) 3 tg α – 1; |
в) |
1 + cosα + 1 – cosα , если α — у ол I четверти; |
) 1 + sin α + cos α + tg α; д) 1 – sin α + cos α – tg α; е) sin α + sin β + sin (α + β); ж) 3 – 4 cos2 α.
Задания для повторения
7.Если сплаву меди с цин ом добавить 20 меди, то ее содержание в сплаве увеличится на 10%. Если же первоначальному сплаву добавить 100 цин а, то содержание меди уменьшится на 20%. Найдите первоначальную массу сплава.
8.Если раствору серной ислоты добавить 100 воды, тоонцентрация ислоты уменьшится на 40%. Если же первоначальному раствору добавить 100 серной ислоты, то ее онцентрация увеличится на 10%. Найдите первоначальную онцентрацию ислоты.
З а м е ч а н и е. Прежде чем решать задачи на сплавы, растворы, смеси, усвойте следующее:
если смесь, раствор, сплав имеет массу m и состоит из трех ве-
ществ, массы оторых равны m1, m2, m3, то величины |
m1 |
m2 |
m3 |
------- |
, ------- , |
------- |
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
называют онцентрациями соответствующих веществ; |
|
|
|
m1 |
m2 |
· 100, |
m3 |
· 100 называют процентным со- |
величины ------- |
· 100, ------- |
------- |
m |
m |
|
m |
|
|
|
|
держанием этих веществ; |
|
|
|
|
|
|
справедливо равенство |
m1 |
m2 |
m3 |
|
|
|
------- + |
------- |
+ ------- = 1, т. е. онцентрации |
|
|
m |
m |
m |
|
|
|
двух веществ определяют онцентрацию третье$о вещества.
При составлении уравнений прослеживают содержание а о$о- либо одно$о вещества из тех, оторые смешиваются или сплавляются.
9. Может ли синус остро о у ла быть равным:
а) |
-4- |
; б) |
8-- |
; в) ---- |
-10----- |
; ) a + |
1-- |
? |
|
5 |
|
7 |
|
3 |
|
a |
|
10. Может ли осинус остро о у ла быть равным:
а) -----3-----–---------2-- ; б) |
3------3- ; в) |
--------1---------- |
; ) sin2 3x + cos2 3x? |
2 – 1 |
2 |
sin18° |
|
11. Найдите область определения фун ции: а) y = 
sinxcosx ; б) y = 
x · tg x;
в) y = 
sin2 x – cos2 x ; ) y = 
sinx + 
cosx . 12. Найдите период фун ции:
а) y = cos2 x; б) y = |cos x|; в) y = sin4 x + cos4 x;) y = sin3 x; д) y = sin 2πx.
13. Решите систему уравнений:
а) 
6 y – 4 (x + y – 3) = 0, (в ответе запишите значение x); x3 + x2y = 12
б) 
3
– x – 0,8 (y – 7 – 3x) = 0, (в ответе запишите значение y). xy + x2 + 3 = 0
О Т В Е Т Ы
1. а) x = –3; б) x = –4. 2. а) 3-- |
; – 4-- |
; – 3-- |
; б) ä4----n-----(--1-----–-----n----2----) |
; ä---4----n----(--1-----–-----n-----2---)-- ; |
|
|
|
|
5 |
5 |
4 |
(1 + n2)2 |
6n2 – n4 – 1 |
в) 3-- ; $) 1-----–------a----2 ; д) –24------ |
; е) 11,4. 3. а) 1-- ; б) 2; в) 17; $) 3-- ; д) –3,16; е) –1; |
4 |
|
2a |
7 |
|
4 |
2 |
|
1 |
. 4. |
а) 2π; б) 12π; в) π; $) 60; д) не существует; е) не существует; |
ж) -- |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) 2π; з) π. 5. В правильном треу$ольни е. 6. а) cos (α – β) cos (α + β);
|
2 sin(α – 30°) |
|
|
|
α |
– 45° ; $) |
2 2 cos2 α--- cos(α – 45° ) |
|
б) |
; в) 2cos |
|
2 |
|
; |
--------- |
----cos----------α-------------- |
--- |
--------------------- |
-----cos----------α--------------------------- |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 cos2 α--- sin(45° – α) |
|
е) 4 sin α + β |
cos α |
|
β ; ж) 4 sin (α + 30°) × |
д) |
--------- |
----------------2---------------- |
--------------------- |
; |
|
cos |
|
|
cos α |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
× sin (α – 30°). 7. 100 |
$. 8. 80%. 9. а) Да; б) нет; в) нет; $) нет. 10. а) Да; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
293 |
π |
+ πk, k Ý Z; б) x Ý |
|
|
π |
+ πk |
|
0; |
|
б) нет; в) нет; $) да. 11. а) πk m x m -- |
-- |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
3π |
|
|
π |
|
3π |
+ πk, k Ý Z; $) x Ý |
|
2πk; |
|
|
|
|
|
|
|
-- |
+ πk; ------ + πk |
, k Ý N; в) -- |
+ πk m x m ------ |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
π |
+ 2πk |
|
, k Ý Z. 12. |
|
π |
; $) 2π; д) 1. 13. а) –2; б) 4. |
|
|
|
|
|
|
-- |
|
а) π; б) π; в) -- |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решения и методичес ие у азания
К упражнению 1а
1. Обозначим через A число, записанное под зна ом ло$арифма, т. е.
A = sin 10° sin 50° sin 70°. (1)
2. Умножив и разделив правую часть равенства (1) на 2 cos 10°, получим
A = |
2-----cos---------10--------°---sin---------10-------°----sin---------50-------°----sin---------70-------°- |
= |
- sin - - - - - - - - - 20 - - - - - - - ° - - - - sin- - - - - ----50-------°---sin----------70-------°- . |
(2) |
|
2 cos10° |
|
2 cos10° |
|
3. Та а sin 70° = cos 20°, sin 50° = cos 40°, то равенство (2) преобразуется та :
A = -sin---------20-------°----cos---------20-------°----cos---------40--------° |
= |
2-----sin---------20-------°----cos---------20-------°----cos---------40--------° |
= |
2 cos10° |
|
2 2 cos10° |
|
= -sin---------40-------°----cos---------40-------°- |
= |
-------sin---------80-------°------- |
= 1-- . |
|
4 cos10° |
|
2 4 cos10° |
8 |
|
4. Теперь вернемся данному уравнению и решим е$о:
log2 |
1-- |
= x, или log2 2–3, т. е. x = –3. |
|
8 |
|
К упражнению 2а |
|
|
|
|
|
1. |
Нам известен тан$енс половинно$о ар$умента. |
2. |
Связь между sin α и tg |
α--- |
выражается формулой |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 tg |
α |
|
|
|
|
sin α = ----- |
-2--------- |
, |
т. е. sin α = --2--------3--- |
= 3-- . |
|
1 |
+ tg |
2 α |
|
1 + 9 |
5 |
|
--- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3. Связь между cos α и tg α--- |
выражается формулой |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 – tg |
2 α |
|
|
|
|
|
--- |
|
т. е. cos α = 1 – 9 |
|
4 . |
cos α = ----------------- |
---- |
-2-- |
, |
= – |
1 + tg |
2 |
α |
|
1 + 9 |
5 |
|
--- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4. Связь между tg α и tg |
α--- |
выражается формулой |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
tg α = -----2-----tg-------α---- |
-- |
, т. е. tg α = -2---------3--- |
= –3-- . |
1 – tg |
2 α |
|
1 – 9 |
4 |
|
|
--- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
К упражнению 2д |
|
|
|
|
|
|
1. Требуется найти tg 4α, если известно, что tg α = |
1-- . |
|
|
|
|
|
|
2 |
2.Сначала воспользуемся формулой тан$енса двойно$о ар$умента
инайдем tg 2α:
tg 2α = 2 tg α |
2 |
1-- |
|
, т. е. tg 2α = ---------- |
2--- |
= 4-- . |
1 – tg2 α |
1 – |
1 |
3 |
|
4-- |
|
|
|
|
3. Теперь снова используем формулу двойно$о ар$умента и найдем tg 4α:
tg 4α = 2 tg 2α |
|
2 |
4-- |
= –24 . |
α-- |
, т. е. tg 4α = ----------- |
-3---- |
1 – tg2 2 |
1 – |
16 |
7 |
|
|
--9---- |
|
|
|
|
|
К упражнению 3
1. Воспользуемся формулой понижения степени:
cos2 α = 1 + cos2α .
---------------------------
2
2. То$да данное выражение преобразуется следующим образом:
cos |
2 |
x + cos |
2 π |
+ x |
|
+ cos |
2 π |
– x |
|
= |
|
-- |
|
-- |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 + cos2 |
π |
|
|
1 + cos2 |
π |
|
|
|
|
3-- |
+ x |
--3 |
– x |
= 1 + cos2x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
---------------- |
2---- |
------- |
----- |
------ + |
-------------- |
-------2--- |
------ |
--- |
---------- . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К упражнению 4ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Воспользуемся формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x sin y = -cos---------(---x-----–-----y----)----–-----cos---------(---x-----+------y----) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
и запишем данную фун цию в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin 3x sin 2x = cos x – cos 5x. |
|
|
|
2. |
Период фун ции cos x равен T1 = 2π, а период фун ции cos 5x |
равен T2 = 2----π-- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Ясно, что НОК чисел T1 и T2 равно 2π. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Ита , фун ция имеет период 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
К упражнению 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Та а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α + cos β = 2 cos |
α------+------β- |
cos |
α------–------β- , cos (α + β) = 2 cos2 α------+------β- |
– 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
то данное соотношение можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
2 cos |
α------+-------β cos |
α------–-------β – 2 cos2 α------+------β- |
– 1-- |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2. |
Преобразуем левую часть это$о равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
α + β |
|
1 |
|
|
α – β 2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 α – β |
= 0, |
|
|
cos |
------ |
2------ |
- |
– -2- cos |
----- |
-2------ |
- |
+ |
4-- |
– |
4-- cos ------ |
2----- |
-- |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
α + β |
– |
1 |
cos |
α – β |
2 |
+ |
1 |
sin |
2 |
α – β |
= 0. |
|
|
|
----- |
-2---- |
--- |
2-- |
----- |
-2------- |
|
4-- |
|
------2------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Учитывая, что сумма вадратов действительных чисел равна нулю то$да и толь о то$да, о$да аждое из этих чисел равно нулю, имеем:
а) sin α – β = 0; б) cos α + β – 1 cos α – β = 0.
------------- ------------- -- -------------
2 2 2 2
Но α и β — у$лы треу$ольни а, поэтому из равенства а) следует, что α = β.
5. Теперь, подставив α = β в равенство б), получим cos α = 1 , т. е.
--
2
α= 60°.
6.Ита , α = β = 60°, а, значит, и третий у$ол равен 60°, т. е. тре- у$ольни правильный.
К упражнению 6а
1. Воспользуемся тем, что данное выражение представляет собой разность вадратов и разложим е$о на множители:
cos2 α – sin2 β = (cos α – sin β)(cos α + sin β). |
(1) |
2 Правая часть равенства (1) в явной форме не выражает сумму или разность одноименных три$онометричес их фун ций.
3. Используя формулы приведения, получим
cos α – sin β = cos α – cos (90° – β), |
(2) |
cos α + sin β = cos α + cos (90° – β). |
(3) |
4. Перепишем правую часть равенства (1) с учетом равенств (2) и (3):
(cos α – sin β)(cos α + sin β) = |
|
= (cos α – cos (90° – β))(cos α + cos (90° – β)). |
(4) |
5. Применяя правой части равенства (4) формулы суммы и разности осинусов, получим
–2 sin |
α------+------90-------°----–-----β-- |
sin |
α------–-----90-------°----+------β-- |
· 2 cos |
α------+------90-------°----–-----β-- |
cos |
α------–-----90-------°----+------β-- |
. (5) |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
6. Упростим выражение (5); используя формулу синуса двойно$о у$ла и формулы приведения, имеем
–sin (α – β + 90°) sin (α + β – 90°) = cos (α – β) cos (α + β).
К упражнению 6е
1. Первые два сла$аемых данно$о выражения преобразуем в произведение, используя формулу суммы синусов:
sin α + sin β = 2 sin |
α------+------β- |
cos |
α------–-----β-- . |
(1) |
|
2 |
|
2 |
|
2. Последнее сла$аемое данно$о выражения преобразуем а синус двойно$о ар$умента:
sin (α + β) = 2 sin |
α------+------β- |
cos |
α------+------β- . |
(2) |
|
2 |
|
2 |
|
3. Учитывая равенства (1) и (2), перепишем исходное выражение та :
|
2 sin |
α + β |
|
cos |
α – β |
+ cos |
α + β |
. |
(3) |
|
------2------- |
|
------2------- |
------2------- |
|
|
|
|
|
|
4. На онец, для упрощения выражения (3) воспользуемся формулой суммы осинусов и получим
2 sin α + β · 2 cos α cos β = 4 sin α + β cos α cos β .
------------- --- -- ------------- --- --
2 2 2 2 2 2
К упражнению 7
1.Пусть x ($) — оличество меди в сплаве, а y ($) — первоначальная масса сплава.
2.То$да, используя условия задачи, получим систему уравнений
x--------+---20------ |
– x-- = 0,1, |
(1) |
y + 20 |
y |
|
|
x |
– |
x |
= 0,2. |
(2) |
-- |
+------100--------- |
y |
y |
|
|
3. Решив эту систему, находим y = 100, т. е. первоначальная масса сплава равна 100 $.
К о м м е н т а р и й. 1. Рассмотрим уравнение (1) из записанной
системы. Что означают в нем дроби x и x + 20 ?
-- -----------------
y y + 20
2. За x было принято оличество меди в сплаве, а за y — первоначальная масса сплава.
3. Поэтому дробь x выражает онцентрацию меди (т. е. содержа-
--
y
ние меди в исходном сплаве).
4.Со$ласно условию, первоначальной массе меди в сплаве было добавлено 20 $ меди, т. е. оличество меди в новом сплаве составит x + 20 ($), но в то же время масса ново$о сплава будет равна y + 20 ($).
5.Следовательно, онцентрация меди в новом сплаве выразится
дробью x + 20 .
-----------------
y + 20
6.После добавления 20 $ меди первоначальному сплаву ее содержание в сплаве увеличилось на 10%, т. е. на 0,1. Этот фа т и выражает уравнение (1).
7.Анало$ичные рассуждения приводят уравнению (2).
К упражнению 9
4 |
|
4 |
< 1. |
а) Равенство sin α = -- |
возможно, та а 0 < -- |
5 |
|
5 |
|
8 |
невозможно, пос оль у |
8 |
б) Равенство sin α = -- |
-- > 1. |
7 |
|
|
7 |
|
10 |
|
10 |
в) Равенство sin α = ---------- |
невозможно, та а ---------- > 1. |
|
3 |
|
3 |
$) Равенство sin α = a + |
1 |
|
-- невозможно: если a = 0, то выраже- |
|
|
a |
|
1 |
|
1 |
l 2; если a < 0, то |
ние a + -- не имеет смысла; если a > 0, то a + -- |
a |
|
a |
|
1 |
|
|
|
a + -- m –2. |
|
|
|
a
