Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

Значит, если положить δ = ε , то выполнение неравенства

--

2

|x – 2| < δ влечет за собой выполнение неравенства |(2x – 1) – 3| < < ε. Та им образом, со ласно определению, за лючаем, что lim (2x – 1) = 3.

x º 2

4°. ТЕОРЕМА. Если фун ция f(x) имеет предел при x º a, то этот предел — единственный.

5°. Пра тичес и предел фун ции находят не на основании е о определения, а с помощью теорем о пределе фун ции, анало ичных теоремам о пределе числовой последовательности.

6°. Теоремы о пределе суммы, произведения и частно о. Если при x º a существуют пределы фун ций f и g, то:

1) lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x);

x º a

2)lim

xº a

3)lim

xº a

 

x º a

x º a

(f(x)g(x)) = lim

 

f(x) ·

lim g(x);

 

x º a

 

x º a

f(x)

lim f(x)

 

 

 

x → a

,

де

lim g(x) − 0;

-----------

= -----------------------

g(x)

lim g(x)

 

 

x º a

x → a

4) lim kf(x) = lim k · lim f(x) = k · lim

f(x), де k — постоян-

x º a

x º a

 

x º x0

ный множитель.

 

 

 

 

Из этих теорем выте ает, в частности, что предел мно очле-

на P(x) при x º x0 равен P(x0), т. е. lim

P(x) = P(x0).

 

 

 

x º x0

 

Пример. Найти: а)

lim

x4 + 2

; б)

x3 + 1

-------------------

lim ---------------- .

 

x º –2 3x3 – 1

x º –1 x + 1

Р е ш е н и е. а) Та а

lim

(x4 + 2) = (–2)4 + 2 = 18,

x º –2

а lim (3x3 – 1) = 3(–2)3 – 1 = –25, то по теореме о пределе ча-

x º –2

 

 

стно о получаем, что lim

x4 + 2

18

-------------------

= ------ .

x º –2

3x3 – 1

25

б) Здесь при x = –1 и числитель, и знаменатель обращаются в нуль; поэтому теоремой о пределе частно о пользоваться

нельзя. Заметим, что x3 + 1

----------------

x + 1

=(x2 – x + 1)(x + 1) . Та а при

---------------------------------------------------

x+ 1

вычислении предела при x º –1 предпола ается, что x − –1, то дробь можно со ратить на x + 1. В результате получим

lim x-----3----+-----1--

=

lim (x2 – x + 1) = (–1)2 – (–1) + 1 = 3.

x º –1 x + 1

 

x º –1

391

3. Непрерывность функции

1°. Фун цию f(x) называют непрерывной в точ е x0, если

она определена в не оторой о рестности этой точ и и если предел фун ции при x º x0 равен значению фун ции в этой точ е,

т.е. lim f(x) = f(x0).

xº x0

2°. Фун цию f(x), непрерывную в аждой точ е заданно о промежут а, называют непрерывной на всем промеж т е.

3°. Любые рациональные и иррациональные фун ции непрерывны при всех значениях независимой переменной, приоторых они определены.

Например, фун ция y = x2 непрерывна в любой точ е числовой прямой, а фун ция y = x непрерывна в любой точ е x l 0.

4°. Если фун ция в а ой-либо точ е x0 не определена или ее предел в точ е x0 не равен значению фун ции в этой точ е, то оворят, что фун ция имеет разрыв в точ е x0, а точ у x0 называют точ ой разрыва.

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

Например, фун ция y = -- непрерывна в любой точ е x 0,

 

 

 

 

 

 

 

x

 

а в точ е x = 0 имеет разрыв.

 

 

Примеры. 1. Дана фун ция

 

 

 

 

 

 

f(x) =

 

x + 3 при x > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x – 1 при x m 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти точ у разрыва и значение фун -

 

 

 

 

 

ции в этой точ е.

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Фун ция имеет разрыв

 

 

 

 

 

в точ е x = 0, та а при x º 0 предел

 

 

 

 

 

этой фун ции не существует

(рис. 177).

 

 

 

 

 

Значение фун ции при x = 0 есть f(0) =

 

 

 

 

 

= 0 – 1 = –1.

x + 3

 

 

 

 

 

2. Вычислить предел lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--------------------------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x º –3

x + 4 – 1

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Здесь при x = –3 и числи-

 

 

 

 

 

тель, и знаменатель обращаются в нуль,

 

Рис. 177

т. е. применить теорему о пределе частно-

392

о нельзя. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

lim

- - - - - - - - ( - - x - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 ) ( x +----4-----+------1---)-------- =

lim (---x-----+------3----)--(-------x-----+------4-----+-----1----)

=

x º –3 ( x + 4 – 1)( x + 4 + 1)

x º –3

(x + 4) – 1

 

= ----------------------

lim ( x + 3 ) (-----x-----+------4-----+-----1----)

= lim (

x + 4 + 1).

 

 

x º – 3

x + 3

x º –3

 

 

Фун ция x + 4 + 1 определена в точ е x = –3 и, следовательно, непрерывна в этой точ е. Поэтому ее предел при x º –3 равен значению фун ции при x = –3. В результате получаем

lim (x + 4 + 1) = – 3 + 4 + 1 = 2.

x º –3

4. Определение производной

1°. Производной фун ции f(x) в точ е x0 называют предел отношения приращения ∆f фун ции в точ е x0 приращению ∆x ар умента, о да последнее стремится нулю. Это можно

записать та :

lim

∆f(x)

= f′(x0) (читается: «эф штрих от x0»).

--------------

 

∆x º 0

∆x

 

 

 

 

2°. Из определения производной следует, что фун ция может иметь производную в точ е x0 толь о в том случае, если

фун ция определена в не оторой о рестности точ и x0, в лючая эту точ у.

3°. Необходимым условием существования производной фун ции в данной точ е является непрерывность фун ции в этой точ е.

Заметим, одна о, что обратное утверждение является неверным. Например, фун ция f(x) = |x – 1| непрерывна на (–×; +×), но в точ е x = 1 производной не имеет: можно по азать, что

lim

∆f(x)

=

 

1 при ∆x l 0,

 

 

∆x º 0

∆x

 

 

–1 при ∆x < 0,

 

 

 

 

 

 

т. е. данная фун ция не имеет предела при ∆x, стремящемся нулю.

4°. Нахождение производной f′(x) от данной фун ции f(x) называют дифференцированием этой фун ции.

393

5°. Вычисление производной фун ции y = f(x) производится по общему правилу дифференцирования:

а) дают ар ументу x приращение ∆x и, подставив вместо x значение x + ∆x, находят значение фун ции:

y + ∆y = f(x + ∆x);

б) находят приращение фун ции, вычитая из значения фун ции f(x + ∆x) ее первоначальное значение:

∆y = f(x + ∆x) – f(x);

в) делят приращение фун ции ∆y на приращение ар умента ∆x, т. е. составляют отношение

-----y-

= f---(---x-----+----------x----)---------f--(---x----)

;

∆x

∆x

 

) находят предел это о отношения при ∆x º 0:

lim -----y-

=

lim

f---(---x-----+----------x----)---------f--(---x----) .

∆x º 0 ∆x

 

∆x º 0

∆x

Найденный предел и есть производная от фун ции y = f(x). Пример. Дана фун ция y = x . Найти y′x = 4.

Р е ш е н и е. а) y + ∆y = x + ∆x ;

 

 

 

б) ∆y = x + ∆x – x ;

 

 

 

 

 

в) -----y- =

-----x-----+----------x-- ------------x-- ;

 

 

 

 

 

 

 

∆x

∆x

 

 

 

 

 

 

 

) y′ =

lim -----y- =

lim

-----x-----+----------x------------

--x-- =

 

 

∆x º 0 ∆x

∆x º 0

 

∆x

 

 

 

=

lim (-------x-----+----------x--- ------------

x----)--(-----

--x------+---------x-----+----------x----) =

lim

-----------x-----+----------x-----------x------------ =

 

∆x º 0

∆x( x + ∆x + x)

 

 

∆x º 0 ∆x( x + ∆x + x)

=

lim

------------------1----

 

-----------

---- = -----

-----------1----------------

=

-----1-----

;

 

∆x º 0

x + ∆x + x

 

x + 0 + x 2 x

 

д) y′x = 4

= 1

 

 

= 1 =

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

x = 4

2

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Производная суммы

1°. Пусть u и v — две фун ции, определенные на одном и том же промежут е. То да производная суммы этих фун ций равна сумме их производных, т. е.

(u(x) + v(x))′ = u′(x) + v′(x).

394

2°. Методом математичес ой инду ции до азывается, что эта формула справедлива для любо о онечно о числа сла аемых:

(u1 + u2 + ... + uk)′ = u′1 + u′2 + ... + u′k.

3°. Производная постоянной равна нулю: (C)′ = 0, де C = = const.

Пример. Найти f′(x) если f(x) = x + 5.

Ре ш е н и е. f′(x) = (x + 5)′ = (x)′ + (5)′ = 1 + 0 = 1.

6.Производная произведения

1°. Производная произведения двух фун ций u и v вычисляется по формуле

(uv)′ = u′v + uv′

в предположении, что производные u′ и v′ существуют.

2°. Постоянный множитель можно выносить на зна производной:

(kf(x))′ = kf′(x).

Пример. Найти f′(x), если f(x) = (2x – 3)(3x + 1).

Р е ш е н и е. f′(x) = (2x – 3)′(3x + 1) + (2x – 3)(3x + 1)′ = = 2(3x + 1) + (2x – 3) · 3 = 6x + 2 + 6x – 9 = 12x – 7.

Этот же пример можно решить иначе: f(x) = (2x – 3)(3x + 1) = = 6x2 + 2x – 9x – 3 = 6x2 – 7x – 3; f′(x) = (6x2 – 7x – 3)′ = 12x – 7.

7. Производная частного

Если фун ции u и v имеют в точ е x производные и если

v(x) − 0, то в этой точ е существует производная их частно о u--

,

 

 

 

 

v

 

оторая вычисляется по формуле

 

 

 

u

u′v – uv′

 

 

 

-v-

=

----------v---2-----------

.

 

 

Пример. Найти f′(x), если f(x) = 3------+-----5----x-- .

 

 

 

 

1 – 3x

 

 

Р е ш е н и е. 3------+-----5----x-- = (---3-----+------5---x-----)′(------1----------3----x----)---------(---3----+------5----x----)--(---1----------3----x----)′--

=

1 – 3x

 

 

(1 – 3x)2

 

 

= (---3-------+-----(---5----x----)′----)--(---1----------3----x----)---------(--3-----+------5----x-----)-(---1------------(--3----x----)′-----) =

 

 

(1 – 3x)2

 

 

 

 

 

= 5----(---1----------3----x----)---------(--3-----+------5----x----)--(---–3-------)

= -----

-----14-------------- .

 

 

 

(1 – 3x)2

(1 – 3x)2

 

 

 

395

8. Производная степенной функции

1°. Производная степенной фун ции xk, де k Ý Q, x > 0, равна произведению по азателя k на степень xk – 1, т. е.

(xk)′ = kxk – 1.

(1)

2°. Заметим, что если k Ý Z, то формула (1) справедлива при всех значениях x Ý (–×; +×), роме x = 0. Если же при этом k > 1, то формула (1) справедлива при любом x.

3°. Из формулы (1) выте ают, в частности, формулы для на-

 

1

и y =

x .

хождения производных фун ций y = --

 

x

 

 

1

получаем:

 

 

При k = –1 и k = --

 

 

2

 

 

 

1

 

1)′ = (–1)x

2

1

(x −

0);

(2)

--

 

= (x

 

 

= -----

x

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

( x )′ = (x1/2)′ =

1

=

1

 

1

(x > 0).

(3)

-- x1/2 – 1

-- x–1/2 = ----------

 

 

 

2

 

2

 

2 x

 

 

9. Производная сложной функции

Производная сложной фун ции h(x) = g(f(x)) находится по формуле

h′(x) = g′(f(x))f′(x),

т. е. производная сложной фун ции равна произведению производных фун ций, ее составляющих.

Пример. Найти производную фун ции y = (3 – 5x + x2)100. Р е ш е н и е. y′ = 100 (3 – 5x + x2)99 · (3 – 5x + x2)′ =

= 100(3 – 5x + x2)99 · (–5 + 2x).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Пусть x и x0 — два значе-

ния независимой переменной из D(f). Ка называют и а обозначают разность x – x0?

2. Ка называют разность между новым значением фун ции

f(x0 + ∆x) и ее первоначальным значением f(x0)? Ка им симво-

лом обозначают эту разность?

3. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей фун ции, используя понятия

396

приращения ар:умента и приращения фун ции.

4.Что означает запись ∆y =

=f(x2) – f(x1)?

5.Для фун ции y = 2x + 5

найдите: а) x, если x0 = 3 и ∆x =

=0,2; б) ∆y, если x0 = 4 и ∆x = 0,1.

6.Сформулируйте теоремы

о пределе суммы, произведения

ичастно:о фун ций.

7.Найдите предел:

а)

lim

(–x3 + 9x2 + x –1);

 

x 2

 

 

б)

lim

(---x----------4----)---(--x-----+------3----) ;

 

x º –3 x2 + 2x – 3

 

в)

lim

--3----x----2---------8----x-----+------4----

;

 

x º 2 8 – 14x + 5x2

 

:)

lim

---9----------x---- ;

 

 

x º 9

3 –

x

 

д)

lim

-----x---------

-----5-- ;

 

 

x º 5

x – 5

 

 

 

 

 

е)

lim

3------x----------1-- .

 

 

x º 1

x – 1

 

8.Дайте определение непрерывности фун ции в точ е.

9.Почему рациональная фун ция непрерывна в любой точ е, :де она определена?

10.В а ом случае фун ция имеет разрыв в данной точ е? Ка называют та ую точ у?

11.Постройте :рафи фун -

ции

0,5x при x l 1, y =

1 – 3x при x < 1.

Найдите значение фун ции в точ е разрыва.

12.Дайте определение производной фун ции в данной точ е.

13.Ка ие существуют обозначения для производной фун - ции y = f(x)?

14.Сформулируйте необходимое условие существования производной в данной точ е.

15.Если не оторая фун ция f не является непрерывной в точ-

еx0, то она в этой точ е не имеет

производной (это следует из утверждения п. 4). Верно ли обратное утверждение: «если фун ция непрерывна в точ е x0, то она имеет в этой точ е производную»? Если не верно, то приведите пример.

16.Что называют дифференцированием?

17.Назовите по поряд у все операции, оторые следует произвести при вычислении производной по общему правилу дифференцирования.

18.Дана фун ция y = 2x2

3x. Применяя общее правило дифференцирования, найдите y′(x) и y′(3).

19.Найдите производную фун ции:

а) y = 2x – 5; б) y = 0,6x(x – 2);

в) y = (0,7x + 1)(0,5x – 2); :) y =

 

 

 

1

;

= (3 – 2x)(5x + 4); д) y = -----------------

 

 

 

3 + 4x

 

1 – 3x

; ж) y

5x + 1

 

е) y = -----------------

= ----------------- .

 

1 + 2x

 

2 – 3x

 

20. Найдите

производную

фун ции:

 

 

 

 

а) y = (x – 5)4;

 

 

б) y = 7 – 2x2 + x3 – 3x4;

 

в) y =

1

;

4

 

-----

:) y = -- ;

 

 

x2

 

x

 

д) y =

6

;

е) y = 3x–5;

 

-----

 

 

x3

 

 

 

ж) y = 3 x2 ;

2

 

з) y = ---------- .

 

 

 

 

x3

 

397

21. Найдите область определения сложной фун ции:

а) y =

1

– x2 ;

б) y = lg (9 – x2);

в) y =

4

– x ;

 

 

1

:) y =

1-----+------lg------(---3----------x----) .

22. Ка находится производная сложной фун ции h(x) =

=g(f(x))?

23.Найдите производную сложной фун ции:

а) y = (x2 – 3x + 1)4; б) y = 43x3 – 2x + 3 .

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите предел:

а) lim (x3 – 3x2 + 8x + 5); б)

lim

 

x2

– 2x – 3

; в)

lim

x2 – 9

;

 

x-----------------------------2

– 5x + 6-

----------------x – 3

x º 2

 

 

 

 

 

 

 

x º 3

 

x º 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) lim

x

 

;

 

 

 

 

x

 

 

 

е)

lim

x2 – 5x + 4

;

 

 

д) lim ------------------------------- ;

---------------------------------

-

x º 0

1 + x – 1

 

x º 0

1 + 3x – 1

 

x º × 2x2 – 3x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) lim

x + x

; з)

lim

3x2

 

+ 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

-----------------

 

---------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x º 0

x – x

 

x º × x2 + x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найдите производную фун ции:

 

 

 

 

 

 

 

а) f(x) =

x +

 

-------1 ; б) f(x) = 7 x3 ; в) f(x) = x2(5x – 4);

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) f(x) =

3x2 – 2x + 1

; д) y =

 

3x

 

; е) y

=

 

x

;

 

 

---------------------------------7x

+ 1

-

 

 

 

--------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 – 1

 

 

 

x2 + 4

 

 

ж) y = --------------------

9 + x2

; з) y = 3 (x3 + 1)2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для заданных фун ций f(x) и g(x) найдите значение выражения (g(x)f(x))′ – g(x)f′(x) в у азанной точ е x0, если:

а) f(x) = 2x + 4, g(x) = x2 – 8, x0 = 2,5; б) f(x) = x + 3, g(x) = x2 – 5, x0 = 3,5; в) f(x) = x2 – 8, g(x) = 2x + 4, x0 = 3. 4. Решите уравнение f′(x) = 0, если:

а) f(x) = x4 – 2x2 + 1; б) f(x) = –x5 + 10x3 – 9x.

----- -------------

5 3

Задания для повторения

5. Сначала зарплату повысили на k%, а затем новую зарплату повысили на 2k%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На с оль о процентов зарплата была повышена во второй раз?

398

6.В лад, положенный в бан два ода назад, дости 23 328 р. Ка ов был первоначальный в лад при 8% одовых?

7.Сравните числа:

а) a = 47 и b = 26 + 6 + 1;

б) 4 9 – 15 и b = -----

30------------------2- .

 

2

8. Вычислите:

а) bb, если ab = 81, bc = 2, ac = 3; б) ca, если bc = 25, cc = 36, ba = 5; в) ac, если ba = 64, aa = 27, bc = 4.

9. Решите неравенство:

 

а)

2x – x2 < 5 – x;

б) 2x + 14 > x + 3;

в) -----

8----------10-------x-- l -----

-x-----------5------- ;

) log (6 – x) m 4.

 

x – 2

8 – 10x

x

В ответе запишите наибольшее целое решение. 10. Решите уравнение:

а) 14x – x2 – 40 (cos 2x + 73 sin x + 11) = 0; б) – x2 + 9x – 20 (cos 2x – 53 sin x – 7) = 0;

в) log0,(3)(x – 2) + 1 (5 + cos 2x + 9 cos x) = 0. В ответе у ажите оличество орней.

11. Решите уравнение (в ответе запишите орень, удовлетворяющий данному неравенству):

а)

x

=

2 + x

, log1/3 log8

2x2 + 12

< 0;

x-----------2--

2----x-----------5-

------x-----+------1------

 

 

 

 

б)

106------------------11-------x-- = x + 1, log1/9 x + log3 9x < 3;

 

10 – x

 

 

 

 

в)

2

=

x + 1

, log1/2 log6

x(x + 1)

< 0.

x-----------5--

x------+-----11------

-----4-----+------x------

12. Упростите выражение до числово о значения:

а)

x – 1

:

 

x + 1

 

x + 7;

-------------------------

--------

--------

----------------

 

 

4 x3 + x

( x + 4 x)4 x

 

 

 

 

 

 

б)

cos(2π – α)

 

: 2sin

 

π

+ α

;

-cos---------α-----------sin---------α-----ctg----------0,5----------

--

 

α

 

 

 

2

 

 

 

в)

1 – x–0,5

+

1 + (

x)–1

 

·

x – 1

– 3.

1------+---------x----–1----

---1-----

-----x----–0,5-----------

 

x------

+-------1

 

 

 

 

 

399

О Т В Е Т Ы

 

1. а) 17;

б) 4;

в) 6;

:) 2; д)

2--

;

е)

1-- ; ж) –1; з) 3.

2. а) -----1----

--

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

2

x

1

; б)

3

; в) 15x2 – 8x; :)

21x2 + 6x – 9

; д) –

3

;

---------------

--------------

-------(--

7----x-----+------1----)--2--------

-----------------------------

 

2x x

 

77 x4

 

 

 

 

 

 

x2 – 1(x2 – 1)

е)

 

4

;

ж) –

9

;

 

з)

2x2

. 3.

а) 45;

б) 45,5;

в) 2.

-------------------

----------------

--------------------

 

---------

------------

 

x2 + 4(x2 + 4)

x2 x2 + 9

 

 

 

3 x3 + 1

 

 

 

 

4. а) x1 = 0, x2, 3 = ä1; б) x1, 2 = ä1, x3, 4 = ä3. 5. На 20%. 6. 20 000 р. 7. а) a < b; б) a > b. 8. а) 16; б) 6; в) 3. 9. а) 2; б) 0; в) 1; :) 5. 10. а) Четыре орня; б) три орня; в) 3. 11. а) 4; б) 8; в) 9. 12. а) 6; б) –0,5; в) –1.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1. Сначала применяем теорему о пределе ал:ебраичес ой суммы и выносим постоянные множители за зна предела, а затем подставляем вместо x е:о предельное значение x = 2:

lim (x3 – 3x2 + 8x + 5) = lim x3 – 3 lim x2 + 8 lim x + 5 =

x º 2

x º 2

x º 2

x º 2

=23 – 3 · 22 + 8 · 2 + 5 = 17.

2.Этот предел можно найти проще, если вместо x сразу подставить е:о предельное значение:

lim (x3 – 3x2 + 8x + 5) = 23 – 3 · 22 + 8 · 2 + 5 = 17.

x º 2

К упражнению 1б

1. При x º 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частно- :о здесь невозможно.

2. Одна о данную дробь можно со ратить:

x2 – 2x – 3

------------------------------

x2 – 5x + 6

=(x – 3)(x + 1)

-------------------------------------

(x – 3)(x – 2)

=x + 1 .

-------------

x – 2

3. Теперь находим ис омый предел:

lim

------------------------------x2 – 2x – 3 = lim

x-------------+ 1

= 3-------------+ 1

= 4.

x º 3

x2 – 5x + 6

x – 2

3 – 2

 

x º 3

 

 

 

400

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]