Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение инте,- рала.

2. Что означают в записи

b

b

f(x) dx: а) числа a и b; б) зна

;

a

a

в) f(x); ,) x; д) f(x) dx? Может ли быть a = b; a > b?

3.Зависит ли приращение F(b) – F(a) от выбора первообразной?

4.Ка ое со ращенное обозначение принято для приращения первообразной F(b) – F(a)?

5.Вычислите:

 

2

 

а)

x2 dx;

 

–1

 

 

π

 

б)

sin x dx;

 

0

 

 

π/4

в)

dx

--------------- .

 

cos2 x

 

0

 

6. Вычислите инте,рал:

 

4

x2

 

 

3

 

5

 

 

а)

+

dx;

--

-----------

 

 

 

 

 

4

 

x x

 

 

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2π

 

dx

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

------------------------------- ;

 

 

 

–π

sin

2

π

 

x

 

 

 

 

 

 

--

+ --

 

 

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

 

–4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x

 

 

dx.

 

 

 

---------------------

 

 

 

 

0

1 – 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. В чем за лючается ,еометричес ий смысл инте,рала?

8.В чем за лючается разница между понятиями «перемещение точ и» и «путь, пройденный точ ой»?

9.Пружина растя,ивается на 1 см под действием силы 10 Н. Ка ую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 4 см?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите инте рал:

а)

д)

2

 

π/2

x4 dx; б)

–1

 

0

2

dx

 

; е)

-------------------------

(2x + 1)2

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

cos x dx; в)

x3 dx;

 

 

 

1

 

10 dx

π

 

x

 

 

3cos

2

dx; ж)

x2

 

--

 

------

0

 

 

 

 

1

 

 

π/4

dx

 

)

;

---------------

 

cos2 x

 

 

0

 

 

π/2

;з) sin 2x dx.

π/4

2. До ажите справедливость равенства:

π/4

d x 2

 

1

а)

=

 

cos x

 

00

π/2

в) cos x dx =

0

π/3

1/4

dx

 

dx; б)

sin x dx =

;

-------

0

 

1/16

x

 

33 1 2

x2 dx; ) (2x + 1) dx = (x3 – 1) dx.

0 0 0

491

3. Вычислите площадь фи уры, о раниченной линиями: а) y = x4; y = 1; б) y = x2 – 4x + 4; y = 0, x = 4;

в) y = x2 – 4x + 5, y = 5; ) y = –x2 – 4x; y = 0, x = –3, x = –1; д) y = –x2 – 4x; y = 1, x = –3, x = –1; е) y = x3; y = 8; x = 1;

ж) y = 2 – x3, y = 1; x = –1, x = 1; з) y = 1 ; y = x; x = 2;

-----

x2

и) y = x , y = x; ) y = –(x –1)3, y = 0, x

3π 3π

л) y = 3 sin(x + ------ ), y = 0, x = –------ , x =

4 4

= 0;

------ .

4

4. Вычислите площадь фи уры, о раниченной линиями:

а) y = x2 – 4x + 4, y = 4 – x2; б) y = x2 – 2x + 2; y = –x2 + 6x + 2; в) y = x2, y = 2x – x2; ) y = x2; y = x3.

5. Вычислите площадь фи уры, о раниченной рафи ом фун ции:

а) y = 8x – 2x2, асательной этой параболе в ее вершине и прямой x = 0;

б) y = 8 – 1 x2, асательной нему в точ е с абсциссой x =

--

2

= –2 и прямой x0 = 1.

Задания для повторения

6.Для составления бу етов за упили 60 роз и возди . Если бы роз за упили в 2 раза больше, то общее число цветов было бы меньше 88, а если бы за упили в 2 раза больше возди , то общее число цветов было бы меньше 94. С оль о роз было за уплено?

7.На из отовление 20 порций перво о блюда расходуется 0,5 мяса и 1 риса, а на из отовление одной порции второ-о блюда — 100 мяса и 150 риса. Требуется из отовить вторых блюд в 1,5 раза больше, чем первых, при этом израсходовать не менее 11,1 мяса и не более 17,7 риса. С оль о все-о порций блюд было из отовлено?

8.Найдите площадь фи уры, задаваемой на плос ости множеством решений системы неравенств:

|x2 + y2 + 2x – 6y + 5| m 1, а) 3x – y + 6 l 0,

x + 3y – 8 m 0;

|x2 + y2 – 4x + 2y + 1,5| m 0,5, б) 4x – y – 9 m 0,

x + 4y + 2 m 0.

492

9. При а их значениях a имеет два различных орня уравнение:

а) 4x + 2(a – 2)2x – 3a2 + 8a – 5 = 0;

б) 9x – (4a + 2) · 3x – 5a2 + 34a – 24 = 0? 10. Решите уравнение:

 

 

а) log

 

 

 

 

 

2πx

+ sin

πx

+ 1

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

sin ----------

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ------

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) log

 

 

 

2

 

2 cos2

πx

+

 

 

x – 2

 

cos

 

πx

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

πx

 

 

 

------

 

 

 

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

------

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Решите неравенство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x2 – 8

 

x

 

+ 7 > x + 2; б) x2 – 9

 

x

 

+ 14 > 1 – x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О Т В Е Т Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. а) 6,6; б) 1; в) 20; ,) 1; д)

 

1

; е) 6; ж) 0,9; з) 0,5. 3. а) 1,6

в. ед.;

 

 

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

16

в. ед.; в)

32

в. ед.;

 

22

 

в. ед.;

 

16

 

 

17

 

в. ед.;

------

------

,) ------

 

 

д) ------

в. ед.; е) ------

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

ж) 2

в. ед.;

 

з) 1

в. ед.;

 

и)

1

 

в. ед.;

 

 

 

 

1

в. ед.;

л) 9

в. ед.

 

 

--

 

 

) --

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4. а)

8

в. ед.; б)

64

в. ед.; в)

1

 

 

 

 

1

 

в. ед. 5. а)

16

 

в. ед.;

--

------

--

в. ед.; ,) ------

 

------

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

12

 

 

 

 

3

 

 

 

 

б)

9

в. ед. 6. 27. 7.

160. 8. а)

π

 

в. ед.; б)

π

в. ед. 9. а) a Ý

 

1;

3

 

--

--

 

--

 

 

 

--

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

5

; б) a Ý

 

 

 

4

5

 

5

; 6 . 10. а) 2 + 6n, n Ý Z; б) 4 + 6n, n Ý Z.

 

--

; --

 

 

--

; --

--

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

< x

<

1

; б) –

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. а) –× < x m –7, –--

--

------ < x m2, 7 m x < +×.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

Для фун ции f(x) = x4 первообразной служит фун ция ----- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2.

Следовательно, по формуле Ньютона—Лейбница находим

 

2

 

 

x5

 

2

25

(–1)5

 

 

x

4

 

= 6,6.

 

 

dx = -----

 

 

= -----

--------------

 

–1

 

 

5

 

–1

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

493

К упражнению 1б

1.Для фун ции f(x) = cos x первообразной является фун ция sin x.

2.Та им образом, по формуле Ньютона—Лейбница имеем

π/2

cos x dx = sin x π ⁄ 2

0

0

К упражнению 1д

1. Для заданной фун ции f(x) =

π

= sin -- – sin 0 = 1.

2

1

первообразной является

(---2----x-----+------1----)--2-

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фун ция – --

· ----------------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Значит, со,ласно формуле Ньютона—Лейбница, получаем

2

dx

1

1

 

2

1

 

1

1

 

1

 

 

 

-------------------------

= –--

· -----------------

 

 

= –--

--

--

= ------ .

(2x + 1)2

2

2x + 1

1

2

 

5

3

 

15

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 1е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Для фун ции

f(x) =

3 cos

x

первообразная

есть фун ция

--

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 sin -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Следовательно, по формуле Ньютона—Лейбница находим

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cos

x

= 6sin

x

 

π

= 6sin

π

 

 

 

-- dx

--

 

 

-- – 6sin 0 = 6.

 

0

 

2

 

2

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 2а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Требуется до

азать справедливость равенства

 

 

 

 

π/4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

=

dx.

(1)

 

 

 

---------------

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2. Для фун

 

 

1

 

первообразная есть фун

ция tg x.

ции f(x) = ---------------

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Та им образом, в левой части равенства (1) имеем

 

 

π/4

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

dx

= tg x

 

π ⁄ 4

 

 

– tg 0 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

---------------

 

 

 

 

= tg --

 

 

cos2 x

 

 

0

 

 

 

 

4

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

494

4. Вычислим теперь правую часть равенства (1):

1

 

 

 

 

dx = x

 

1

= 1 – 0 = 1.

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

5. Ита , равенство (1) справедливо.

К упражнению 2б

1. До ажем справедливость равенства

π/3

1/4

 

 

sin x dx =

dx

 

------- .

(1)

 

 

x

 

01/16

2.Для фун ции f(x) = sin x первообразная есть фун ция (–cos x).

3.Значит, в левой части равенства (1) имеем

π/3

sin x dx = –cos x

 

π ⁄ 3

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

1

+ 1 =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= –cos --

 

+ cos 0 = –--

-- .

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

0

 

 

1

первообразной является фун

ция 2 x .

 

 

 

4. Для фун ции f(x) = -------

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Поэтому в правой части равенства (1) имеем

 

 

 

 

 

 

1/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

= 2

1

1

= 2

1

1

1

 

 

 

 

1/ 4

 

 

 

------- = 2 x

 

 

 

--

------

 

--

--

= -- .

 

 

x

 

1/16

 

 

 

4

 

16

 

 

2

 

4

2

 

 

1/16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Ита , справедливость равенства (1) до

азана.

 

 

 

 

 

К упражнению 3а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Построив данные линии, полу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чим фи,уру, площадь

оторой нужно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найти (на рис. 241 эта фи,ура заштри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хована).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пределы инте,рирования най-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дем из равенства x4 = 1, от

 

 

уда x

1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= –1, x2 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Ис омая площадь равна разнос-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти между площадью прямоу,ольни а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCD и площадями двух равных фи-

 

 

 

 

 

 

Рис. 241

 

 

495

,ур ABO и DCO. В силу симметрии заданной фи,уры относительно оси Oy можно найти половину ис омой площади и результат удвоить. Имеем

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx –

= 2

x

 

1

x5

 

1

 

= 2

 

1

 

8

( в. ед.).

 

 

S = 2

x4 dx

 

 

-----

 

 

1 – --

= --

 

 

 

 

 

 

 

0

5

 

0

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 3б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Фи,ура, площадь

 

 

оторой тре-

 

 

 

 

 

 

 

 

буется определить, заштрихована на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 242.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найдем ис омую площадь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = (x2 – 4x + 4) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

+ 4x

 

4

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ----- – 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

64

16

(

в. ед.).

 

Рис. 242

------ – 32 + 16 = ------

 

 

3

3

 

 

 

К упражнению 3в

1. Построим заданные линии и изобразим фи,уру, площадь ото-

рой нужно определить (рис. 243).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пределы инте,рирования най-

 

 

 

 

 

 

 

 

дем из равенства x2 – 4x + 5 = 5, или

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 – 4x = 0, т. е. x

1

= 0, x

2

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычислим ис омую площадь:

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = 5 dx – (x2 – 4x + 5) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (5 – x2 + 4x – 5) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

x3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (4x – x2) dx = 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

-----

=

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

=

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 32 – ------

------ ( в. ед.).

 

 

 

 

Рис. 243

3

 

 

3

 

 

 

496

К упражнению 3

1.Фи,ура, площадь оторой требуется найти, заштрихована на рис. 244.

2.Вычислим ис омую площадь:

–1

S = (–x2 – 4x) dx =

–3

=

 

x3

 

2

 

–1

 

 

(1)3

– 2(–1)

2

 

----- – 2x

 

-

= – ----------

 

 

3

 

 

–3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(–3)3

– 2

 

–3-

2

 

22

( в. ед.).

--------------

 

= ------

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

К упражнению 3д

1.Изобразим заданные линии и получим фи,уру, площадь оторой нужно найти (эта фи,ура на рис. 245 заштрихована).

2.Ис омая площадь равна разности между площадью риволинейной трапеции ACDEM и площадью прямоу,ольни а ABKM.

3.Та им образом,

–1 –1

S = (–x2 – 4x) dx – dx =

–3

 

 

 

 

–3

 

= –

x3

– 2x2

 

–1

–1

=

-----

-

 

– x-

 

3

 

 

–3

–3

 

22

+ 1 – 3 =

 

16

( в. ед.).

= ------

 

------

3

 

 

 

3

 

 

К упражнению 3е

1.Фи ура, площадь оторой нужно

определить, заштрихована на рис. 246.

2.Чтобы найти верхний предел инте,рирования, решим уравнение

x3 = 8, от уда x = 2. 3. Следовательно,

2

2

 

 

 

x4

 

2

S =

 

 

 

 

 

8 dx – x3 dx = 8x – -----

=

1

1

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

= 16 – 4 – 8 +

1

17

(

в. ед.).

--

= ------

 

 

4

4

 

 

 

 

Рис. 244

Рис. 245

Рис. 246

497

К упражнению 3л

 

 

 

 

1. Построим ,рафи фун

ции y = 3sin x +

(рис. 247).

 

 

 

 

 

------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Для фун ции y = 3 sin

 

 

 

одной из первообразных являет-

 

 

 

 

 

x + ------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ся фун ция F(x) = –3 cos

 

x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Значит,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = F(x)-

 

π/ 4

 

 

– F(x)-

 

3π/4 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–3π/4

 

 

 

 

π/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

π

-

 

– F –

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

--

 

------ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

– F

π

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

------ -

 

 

--

-

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (–3 cos π + 3 cos 0) –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3 cos π-

= 9 (

в. ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 247

 

 

 

 

 

 

 

–3 cos ------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 4б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Построим заданные линии и получим фи,уру, площадь

оторой

требуется определить (на рис. 248 эта фи,ура заштрихована).

2. Для нахождения пределов инте,рирования решим уравнение

x2 – 2x + 2 = –x2 + 6x + 2, или 2x2 – 8x = 0, от уда x

1

= 0, x

2

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Ис омую площадь находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по известной формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = f1(x) dx – f2(x) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(–x2 + 6x + 2) dx –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 – 2x + 2) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (–2x2 + 8x) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

=

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-- x3 + 4x2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

64

в. ед.).

 

 

 

Рис. 248

= –--

· 64 + 64 = ------ (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

498

К упражнению 5б

1. Кроме у азанных в условии линий, необходимо найти еще одну —

асательную ,рафи у фун ции f(x) = 8 –

1

в точ

е с абсциссой

-- x2

 

 

 

 

2

 

 

x0 = –2.

 

 

 

 

 

2.

Запишем уравнение

асательной в общем виде:

 

 

 

f(x) – f(x0) = f′(x0)(x – x0).

 

(1)

3.

Находим:

 

 

 

 

а) f(x

1

 

 

 

 

) = f(–2) = 8 – -- (–2)2 = 6;

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) f′(x) = –x, от уда

f′(x0) = f′(–2) = 2.

 

 

 

4.

Подставив эти значения в урав-

 

 

 

нение (1), получим уравнение асательной:

f(x) – 6 = 2(x + 2),

или

f(x) = 2x + 10.

5. Построим все эти линии и изобразим фи,уру, площадь оторой требуется определить (на рис. 249 эта фи- ,ура заштрихована).

6. Имеем

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

(2x + 10) dx –

 

 

8 –

2

x -

 

dx =

 

 

 

 

--

 

 

–2

 

 

 

 

 

 

–2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x2

4

 

1

 

 

8x –

x3

4

 

1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 10x)-

 

 

 

----- -

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–2

 

 

 

 

 

6

 

 

 

–2

 

 

 

Рис. 249

 

 

 

9

(

в. ед.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= --

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 6

1.Обозначим ис омое число роз через x, а число ,возди — через y (,де x, y Ý N).

2.Используя условие задачи, составим и решим систему уравнений

x + y = 60,

 

y = 60 – x,

 

x < 28,

 

 

2x + y < 88, или

 

2x + 60 – x < 88, или

 

 

 

x > 26.

x + 2y < 94,

 

x + 2(60 – x) < 94,

 

 

 

 

Учитывая, что x — натуральное число, получим x = 27.

499

К упражнению 8а

1. Исходная система неравенств равносильна следующей:

–1 m x2 + 2x + 1 – 1 + y2 – 6y + 9 – 9 + 5 m 1 y m 3x + 6,

1

8

,

y m –--

x + --

3

3

 

или

 

 

 

 

4 m (x + 1)2 + (y – 3)2 m 6,

(1)

 

 

 

 

y m 3x + 6,

 

(2)

 

 

1

8

(3)

 

 

 

y m – -- x +

-- .

 

 

3

3

 

2. Неравенство (1) задает на оординатной плос ости

ольцо

(рис. 250), образованное онцентричес ими о ружностями с общим

центром C(–1; 3) и радиусами r1 = 2 и r2 =

6 .

1

x +

8

перпенди улярны, та а

3. Прямые y = 3x + 6 и y = –--

--

3

 

3

 

произведение их у,ловых оэффициентов k1k2

= 3(–

1

) = –1, и пересе-

--

 

 

3

 

аются в точ е C(–1; 3).

4. Ита , находим площадь фи,уры, заштрихованной на рис. 250:

1

 

π r

2

– π r

2

 

 

1

π

(

в. ед.).

S = --

 

2

1

-

 

= --

(6π – 4π) = --

4

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 250

 

 

500

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]