в) фун ция нечетная, т. е. arctg (–x) = –arctg x;) фун ция возрастающая.
Пример. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos –---2---- + arcsin – ---2---- |
+ arctg |
– |
3 . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. arccos – ---2---- |
+ arcsin –---2---- |
+ arctg |
|
– 3 |
|
= |
3 |
|
|
3 |
– arctg |
|
|
π |
π |
|
π |
π |
|
= π – arccos ------- – arcsin |
------- |
3 = π – -- |
– -- |
– -- = |
-- . |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
3 |
|
3 |
6 |
|
9. Решение уравнения tg x = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°. Формула орней уравнения tg x = a имеет вид |
|
|
|
|
|
x = arctg a + πk, k Ý Z. |
|
|
|
|
|
|
|
2°. Частные случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) tg x = 0 _ x = πk, k Ý Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
πk, k Ý Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) tg x = 1 _ x = -- + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ |
πk, k Ý Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) tg x = –1 _ x = –-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3°. Формула орней уравнения tg2 x = a имеет вид |
|
|
|
|
|
x = äarctg |
a + πk, k Ý Z. |
|
|
|
|
|
|
Пример. Решить уравнение 3 tg2 3x – 1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ tg 3x = |
1 |
_ |
|
|
|
1 |
|
+ |
Р е ш е н и е. tg2 3x = -- |
ä------- |
3x = äarctg ------- |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
π |
π |
|
|
π |
|
1), k Ý Z. |
+ πk _ 3x = ä-- |
+ πk _ x = ä------ |
+ -- k _ x = |
------ (6k ä |
6 |
|
|
|
18 |
3 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
10.Свойства функции y = ctg x и ее график
1°. Отметим основные свойства фун ции y = ctg x:
а) область определения — множество всех действительных чисел, роме чисел вида πk, k Ý Z;
б) множество значений — вся числовая прямая, т. е. E(ctg) = = R; та им образом, отан енс — фун ция нео раниченная;
в) фун ция нечетная: ctg (–x) = –ctg x при всех x Ý D(ctg);) фун ция периодичес ая с наименьшим положительным
периодом π, т. е. ctg (x + π) = ctg x при всех x Ý D(ctg);
|
|
|
|
|
π |
+ πk, k Ý Z; |
|
|
|
|
|
д) ctg x = 0 при x = -- |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ πk), |
|
|
|
|
|
е) ctg x > 0 при всех x Ý (πk; -- |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k Ý Z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
ж) ctg x < 0 при всех x Ý (–-- + πk; πk), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k Ý Z; |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) фун ция убывает |
в аждом |
проме- |
|
|
|
|
|
жут е (πk; π + πk), k Ý Z. |
|
|
|
|
|
|
|
2°. Все перечисленные свойства отан- |
|
|
|
|
|
|
Рис. 156 |
енса позволяют построить е о рафи на |
|
промежут е (0; π), т. е. на промежут е, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длина оторо о равна периоду фун ции |
|
|
|
|
|
(рис. 156). |
|
|
Рис. 157
3°. Та а период фун ции y = ctg x равен π, то ее рафи переходит в себя при параллельном переносе r (π; 0). Поэтомурафи фун ции y = ctg x на (πk; π + πk) получается из рафи-а, изображенно о на рис. 156, с помощью параллельно о переноса r (πk; 0), k Ý Z (рис. 157).
11. Функция y = arcctg x и ее график
1°. На промежут е (0; π) отан енс убывает (см. рис. 156) и принимает все числовые значения, т. е. E(ctg) = (–×; +×). Поэтому фун ция y = ctg x на промежут е (0; π) обратима, т. е.
имеет обратную фун цию, оторую называют ар отан енсом и обозначают y = arcctg x. Геометричес и arcctg x означает величину у ла (ду и), за люченно о в промежут е (0; π), отан-енс оторо о равен x.
2°. Графи фун ции y = arcctg x изображен на рис. 158. Этот рафи симметричен рафи у фун ции y = = ctg x, x Ý (0; π), относительно прямой y = x.
|
3°. Отметим свойства фун ции y = |
|
|
= arcctg x: |
|
|
а) D(arcctg) = (–×; +×); |
|
|
б) E(arcctg) = (0; π); |
Рис. 158 |
|
в) фун ция убывающая; |
|
|
|
) arcctg (–x) = π – arcctg x. |
|
Пример. Вычислить sin (arcctg (–
3 ) + arcctg 1). Р е ш е н и е. sin (arcctg (–
3 ) + arcctg 1) =
= sin |
π – arcctg |
3 + |
-π- - |
|
= sin |
π – |
-π- |
+ |
-π- |
- |
= sin |
13--------π- |
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
12 |
|
=sin π + π = –sin π .
------ - ------
12 12
12.Решение уравнения ctg x = a
1°. Формула орней уравнения ctg x = a имеет вид x = arcctg a + πk, k Ý Z.
2°. Частные случаи:
а) ctg x = 0 _ x = π + πk, k Ý Z;
--
2
б) ctg x = 1 _ π + πk, k Ý Z;
--
4
в) ctg x = –1 _ x = 3π + πk, k Ý Z.
------
4
3°. Формула орней уравнения ctg2 x = a имеет вид x = äarcctg 
a + πk, k Ý Z.
Пример. Решить уравнение ctg |
2 |
|
2x – |
π |
= 3. |
|
|
|
3-- |
|
Р е ш е н и е. ctg |
|
π |
= ä |
|
3 |
_ 2x – |
π |
3 + |
|
2x – -- |
|
|
-- = äarcctg |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
π |
π |
π |
π |
πk |
, k Ý Z. |
+ πk _ 2x = ä-- |
+ -- + πk _ x = ä ------ |
+ -- |
+ ------ |
6 |
3 |
12 |
6 |
2 |
|
13. Некоторые соотношения для аркфункций
Сведем вместе уже выведенные соотношения и дополним их новыми.
1 |
° |
π |
π |
, равносильны. |
|
. Записи y = arcsin x и x = sin y, –-- |
m y m -- |
|
|
2 |
2 |
|
Следовательно, для любо о x, взято о на отрез е –1 m x m 1, имеем
π |
π |
; |
(1) |
–-- |
m arcsin x m -- |
2 |
2 |
|
|
sin (arcsin x) = x. |
(2) |
2°. Записи y = arccos x и x = cos y, 0 m y m π, равносильны. Поэтому для любо о x та о о, что –1 m x m 1, имеем
|
|
0 m arccos x m π; |
|
|
(3) |
|
|
cos (arccos x) = x. |
|
(4) |
3 |
° |
. Записи y = arctg x |
π |
|
π |
, равносильны. |
|
и x = tg y, –-- |
|
< y < -- |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Значит, для любо о x та о о, что –× < x < +×, имеем |
|
|
π |
π |
; |
|
(5) |
|
|
–-- |
< arctg x < -- |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
tg (arctg x) = x. |
|
|
(6) |
4°. Запись y = arcctg x и ctg y = x, 0 < y < π, равносильны. Та им образом, для любо о x та о о, что –× < x < + ×, имеем
0 < arcctg x < π; |
(7) |
ctg (arcctg x) = x. |
(8) |
5°. Фун ции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y = arcctg x
называют обратными три онометричес ими ф н циями (или ар ф н циями).
6°. Приведем еще не оторые формулы, позволяющие находить значения три онометричес их фун ций от ар фун ций.
Например, вычислим cos (arcsin x). Положим arcsin x = y.
|
|
π |
π |
|
|
|
То да sin y = x, –-- |
m y m -- ; нам нужно найти cos y. |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
а) Известно, что cos y = ä |
1 – sin2 y . |
|
|
б) Значит, cos y = ä 1 – x2 . |
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
в) Но – -- m y m |
-- , а на этом отрез е осинус принимает не- |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
отрицательные значения. |
|
|
|
) Та им образом, cos y = |
1 – x2 , т. е. |
|
|
|
|
cos (arcsin x) = |
1 – x2 , де –1 m x m 1. |
|
(9) |
7 |
° |
. Выведем еще одну формулу. Та а tg y = |
siny |
, то из |
|
------------ |
|
|
|
|
|
cosy |
|
формул (2) и (9) следует, что
tg (arcsin x) = |
x |
, де |
–1 < x < 1. |
(10) |
-------------------- |
|
1 – x2 |
|
|
|
|
8°. Анало ично получаются следующие формулы: |
|
1 – x2 |
де |
–1 m x m 1; x − 0; |
(11) |
ctg (arcsin x) = -------------------- , |
|
x |
|
|
|
|
sin (arccos x) = |
1 – x2 , |
де |
–1 m x m 1; |
(12) |
1 – x2 |
де |
–1 m x m 1; x − 0; |
(13) |
tg (arccos x) = -------------------- , |
x |
|
|
|
|
ctg (arccos x) = |
x |
|
де |
–1 < x < 1. |
(14) |
-------------------- , |
|
1 – x2 |
|
|
|
9°. Справедливы тождества: |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
а) arcsin x + arccos x = -- , x Ý [–1; 1]; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
б) arctg x + arcctg x = |
π |
|
|
|
|
-- , x Ý R. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ж) arcsin |
|
|
π |
; з) arctg |
|
|
|
11π |
; и) arcsin |
|
sin |
4π |
; |
|
sin -- |
|
|
ctg --------- |
|
|
------ |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
2π |
) arcsin |
–sin --3---- |
; л) arccos |
|
–cos --4---- ; м) arccos |
–tg |
--5---- . |
3. Найдите область определения фун ции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x – 1 |
; б) y |
= arcsin |
3x – 1 |
|
|
|
|
а) y = arccos ----------------- |
---------------- ; в) y = arcsin (x2 – 1); |
|
|
|
|
|
|
3x |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 – 5x + 6 . |
|
|
|
|
) y = arctg ---------------- ; д) y = arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 – 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) sin |
|
arcsin |
5 |
|
+ arcsin |
12 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
б) cos |
arcsin |
–13------ + arcsin |
5-- |
; |
|
|
|
|
|
|
в) tg |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg -- |
– arctg -- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) cos |
|
arcctg |
3 |
+ arcctg |
|
|
|
12 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
-- |
|
|
– ------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
д) sin |
|
2 arcsin |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) sin(2 arctg 4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) sin |
|
|
|
|
1 |
– |
1 |
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 arctg -- |
-- arccos |
-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
з) ctg |
|
2 arcsin |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) sin |
2 arccos |
5-- |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) cos(2 arccos x); л) sin (2 arctg x).
5. Найдите орни уравнения, принадлежащие заданному отрез у:
а) sin 4x + cos 3x – sin 2x = 0, |
|
|
π |
3π |
|
; |
|
|
|
-- |
; ------ |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
б) sin 4x + cos 3x – sin 2x = 0, |
|
|
|
π |
3π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
-- |
; ------ |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
в) |
3 ctg x + 2|cos x| = 0, |
|
|
|
3π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
0; ------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
) |
3 tg x – 2|sin x|, |
|
|
π |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- ; 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) --------------- + 2 cos2 x = 0, |
|
0; |
|
------ |
|
|
; |
|
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) 2|sin x| – tg x = 0, |
|
|
|
; 2π |
; |
|
|
|
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) 2 sin2 x – |
sinx |
= 0, |
|
π |
; |
3π |
|
. |
|
|
--------------cosx |
|
-- |
------2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
В ответе у ажите оличество орней.
6. Решите уравнение (в ответе у ажите в радусах суммуорней, принадлежащих заданному отрез у):
а) sin 3x – |sin x| = 0, |
|
|
|
3π |
7π |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ |
; ------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) tg 3x + |tg x| = 0, |
|
3π |
7π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ ; |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) cos 3x + |cos x| = 0, |
|
|
5π |
|
9π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ ; |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) sin 3x + |sin x| = 0, |
|
|
|
3π |
; |
7π |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) tg 3x – |tg x| = 0, |
|
|
5π |
9π |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ ; |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) cos 3x – |cos x| = 0, |
|
|
|
5π |
; |
9π |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ |
------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
7π |
|
|
ж) sin 4x + cos 3x – sin 2x = 0, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
------ ; ------ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
7. Вычислите:
а) 15(sin 2x – cos 2x), если sin x – 6 = 3 tg x – 2 cos x;
б) 8 cos 2x + 4 cos2 x, если 2 sin 2x + 3 cos x – 20 sin x = 15; в) 10(cos 2x – sin 2x), если 2 ctg x – 3 sin x = 6 – cos x;
) 4 cos 2x + 3 sin 2x, если 2 + 4 tg x = cos x + 2 sin x;
д) sin α – 
3 cos α, если 2 cos 2α + 4
3 cos α + 5 = 0. 8. Решите уравнение:
а) 
3 cos x – cos 2x = 1; найдите сумму орней удовлетворяющих неравенствам 6 < x < 13;
б) sin 3x – sin x + cos 2x = 1; с оль о орней удовлетворяют неравенствам 3 m x < 10?
5x |
|
3x |
; с оль о орней удовлетворя- |
в) cos x – cos ------ = 1 – cos ------ |
2 |
|
2 |
|
ют неравенствам 3 < x < 7? |
|
|
|
) sin 3x – 2 cos2 2x = sin x; с оль о орней удовлетворяют |
неравенствам –7 < x < –5? |
|
|
|
|
2 |
π |
|
д) sin x cos 3x = 1 – 2 cos |
|
4-- |
– x ; с оль о орней удовлет- |
воряют неравенствам 6 < x < 10?
е) 
2 sin x = 1 – cos 2x; в ответе запишите в радусах наименьший орень на отрез е [–5; –3].
9. Определите, при а их значениях a имеет решение уравнение:
а) cos2 x + 6 sin x = 4a2 – 2;
б) sin4 x + 2 sin x cos x + cos4 x = a;
в) sin 2x + 2a
2 (sin x – cos x) = 4a – 1;) sin2 x + 4 sin x = a;
д) cos2 x – 3 cos x + a = 0.
10.Решите уравнение sin 4x = a tg x ( де 0 < a < 4).
11.Найдите все решения уравнения:
а) sin |
4 |
πsin x |
|
1 |
; б) sin |
11 |
π cos x |
|
= |
2 |
; |
|
-- |
|
= -- |
|
------ |
|
------ |
|
3 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
2 |
|
в) sin |
3 |
π |
|
|
1 |
; ) ctg (3 cos x) = 1. |
|
|
|
------ cos x |
|
= –-- |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Найдите все значения x, для оторых величина:
а) y = 4 π sin x cos x удовлетворяет уравнению
--
3
log4 (ctg 2y + tg y) = 1 + 0,5 log0,5 (9 ctg y – tg y);
б) y = π (sin x + 3 cos x) удовлетворяет уравнению
--
3
log4 (tg 2y – 3 ctg y) = 1 – 0,5 log2 (ctg y – tg y);
в) y = 
2 π(sin x + cos x) удовлетворяет уравнению
------
3
0,5 log2 (ctg y + tg 2y) = 1 – log4 (9 ctg y – 5 tg y);
3 .
3
3 ).
3 .
3 = 30°;
3 ) = 
3 ; в) ctg (arcctg x) = x;