Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

4.Решив последнее уравнение, находим y1 = –1 (не подходит); y2 = 9,

т.е. 3x = 9. Ита , x = 2.

К упражнению 14

1. Имеем b2 = b1q, b4 = b1q3, b6 = b1q5. То$да, со$ласно условию, получаем систему уравнений

К упражнению 15

1. Та а b2 = b1q, b5 = b1q4, b6 = b1q5, то, используя условие, получаем систему

b1(1 + q4) = 51, b1q(1 + q4) = 102.

2.Решив эту систему, находим q = 2, b1 = 3.

3.Теперь воспользуемся формулой суммы членов $еометричес ой про$рессии:

S = b1(qn – 1) . n --------------------------

q – 1

251

2.Члены $еометричес ой про$рессии, находящиеся на нечетных местах, образуют $еометричес ую про$рессию со знаменателем q2, $де q — знаменатель данной про$рессии.

3.По условию S = 3S1, т. е.

К упражнению 25

1. Пусть ABCD — данный вадрат, A1B1C1D1 — вписанный в ABCDвадрат, A2B2C2D2 — вписанный в A1B1C1D1 вадрат и т. д. (рис. 132).

2. Положим B1C1 = x и B2C2 =

4. В равнобедренном прямоу$ольном треу$ольни е B2B1C2 имеем

253

5. Ита , нам известны периметры трех вадратов: PABCD = P = 4k,

PA1B1C1D1 = P1 = 22 k, PA2B2C2D2 = P2 = 2k.

6. Ле$ о установить, что числа P, P1 и P2 являются тремя последовательными членами $еометричес ой про$рессии. Действительно, для

этих чисел выполняется ее хара теристичес ое свойство: P21 = PP2,

та а (22 k)2 = 4k · 2k, или 8k2 = 8k2. 7. Найдем знаменатель про$рессии:

8. Чтобы найти сумму периметров всех вписанных вадратов, вос-

9. Рассуждая анало$ично, найдем сумму площадей всех вписанных вадратов. Пусть F — площадь вадрата ABCD, т. е. F = k2; да-

щадь вадрата A2B2C2D2 и т. д. Последовательность этих площадей

образует $еометричес ую про$рессию со знаменателем q = 1 . Та им

--

2

образом, сумма площадей всех вписанных вадратов составит

К упражнению 27

1. Пусть v ( м/ч) — первоначальная с орость мотоци листа.

2. То$да на поезд у от A до B (рис. 133) он затратил 120 (ч).

---------

v

Рис. 133

254

3. Путь от B до C (пун та, $де он остановился) мотоци лист в течение 1 ч ехал со с оростью v ( м/ч), т. е. расстояние между B и C равно v · 1 = v ( м).

4. Следовательно, расстояние между C и A равно 120 – v ( м).

5. Это расстояние мотоци лист проехал со с оростью v + 6 ( м/ч).

8. Решив е$о, находим v = 48 ( м/ч).

К упражнению 29

З а м е ч а н и е. Напомним не оторые теоретичес ие сведения, позволяющие, не решая систему линейных уравнений, определить о- личество ее решений по известным оэффициентам при неизвестных и свободным членам.

Пусть дана система

a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2,

$де a1, a2, b1 и b2 — оэффициенты при неизвестных, а c1 и c2 — свободные члены. Возможны три случая.

порциональны между собой, но не пропорциональны свободным членам, то система не имеет решений.

бодные члены пропорциональны между собой, то система имеет бес о- нечное множество решений.

Решение пражнения 29а. I способ. Система имеет единственное

II способ. 1. Сложив оба уравнения системы, получим x(k + 1) = 5.

255

–x + y = 2, x – y = 3,

оторая не имеет решений.

Решение пражнения 29б. I способ. 1. Система не имеет решений, если

(в этом случае система имеет бес онечное множество решений, см. замечание).

4. Подставив значение k2 = –2 в (1), получим

3 = –3 –1 ,

------ ------ − ------

–1 1 3

т.е. при k = –2 система не имеет решений.

II способ. 1. Из второ$о уравнения системы выразим y = 3 – (k + 1)x и подставим это выражение в первое уравнение:

3x + (k – 1)(3 – (k + 1)x) = k + 1, или x(k – 2)(k + 2) = 2(k – 2).

2. Последнее уравнение, а, значит, и данная система не имеют решений при k = –2.

Решение пражнения 29в. 1. Система имеет бес онечное множество решений, если

256

бес онечное множество решений при k = 1 .

--

2

К упражнению 31а

1. Сначала определим множество значений x, для оторых данное неравенство существует:

x2 – x l 0,

2 – x2 – x l 0, x l 0,

x – 1 l 0,

или

x(x – 1) l 0,

(x + 2)(x – 1) m 0,

Рис. 134

x l 1.

2. Решив эту систему неравенств (рис. 134), за лючаем, что ОДЗ неравенства состоит толь о из двух чисел: x1 = 0 и x2 = 1.

3. Провер а по азывает, что решением данно$о неравенства является лишь одно число, а именно x = 1.

257

Т е м а 14

À

Поворот точки вокруг начала координат. Градусное и радианное измерение угловых величин. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки тригонометрических функций.

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов.

Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций.

Свойства тригонометрических функций. Формулы сложения. Формулы приведения

Теоретичес ие сведения

1. Поворот точки вокруг начала координат

1°. В теме 3 было отмечено, что между множеством действительных чисел R и множеством точе числовой прямой можно установить соответствие, при отором аждой точ е числовой прямой соответствует единственное действительное число и, наоборот, аждому действительному числу соответствует единственная точ а числовой прямой.

2°. Между действительными числами и точ ами о ружности та же можно установить соответствие, что позволяет опреде-

258

из них является ратчайшая ду а, соединяющая эти две точ-и, а все остальные получаются из ратчайшей ду и прибавлением или вычитанием цело о числа полных оборотов.

5°. а) Если точ а, дви аясь по числовой о ружности от точ-и A против часовой стрел и, прошла путь длиной α (рис. 136), то принято считать, что α > 0. Конечную точ у пути обозначим через P.

В этом случае оворят, что точ а P получена из точ и A поворотом (обходом) во ру начала оординат на у ол α.

Отметим, что если 0 < α m π, то у ол AOP равен α а центральный у ол числовой о ружности.

б) Если точ а, дви аясь по числовой о ружности от точ и A по часовой стрел е, прошла путь длиной α (рис. 137), то принято считать, что α < 0.

в) Поворот на 0° означает, что точ а A остается на месте.

2. Градусное и радианное измерение угловых величин

1°. Из урса еометрии известно, что у лы можно измерять в радусах. Например, развернутый у ол равен 180°, прямой у ол равен 90°.

2°. За единицу измерения у лов и ду принимают у ол в один рад с (обозначение: 1°).

3°. У ол в 1° — это у ол, оторый опишет начальный радиус,

совершив 1 часть полно о оборота во ру своей начальной

---------

360

точ и против часовой стрел и.

4°. Мин той (обозначение: 1′) называют 1 часть радуса.

------

60

259

5°. Се ндой (обозначение: 1′′) называют 1 часть минуты.

------

60

6°. Кроме радусной меры существуют и дру ие единицы измерения у лов. В математи е и физи е обычно используют радианную меру у ла.

7°. Центральный у ол, опирающийся на ду у, длина оторой равна радиусу, называют у лом в один радиан (рад).

9°. Один радиан приближенно равен 57° 18′.

10°. Из равенства (1) следует, что у ол в α радианов содер-

3. Тригонометрические функции числового аргумента

1°. Пусть задано не оторое число x; отметим соответствующую ему точ у K(x) числовой о ружности.

2°. Ординату точ и K(x) называют син сом числа x и обозначают sin x, а абсциссу этой точ и называют осин -

сом числа x и обозначают cos x.

3°. Дру ими словами, sin x равен ве-

личине (т. е. длине, взятой с соответствующим зна ом) отрез а KE, а cos x — величине отрез а OE (рис. 138).

4°. При вращении радиуса о ружности он будет «пробе ать» через точ у K(x) бес онечное множество раз ( а по ча-

260