Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

4.Решив последнее уравнение, находим y1 = –1 (не подходит); y2 = 9,

т.е. 3x = 9. Ита , x = 2.

К упражнению 14

1. Имеем b2 = b1q, b4 = b1q3, b6 = b1q5. То$да, со$ласно условию, получаем систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1q

3

– b1q

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ------ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1q

5

– b1q

3

= –

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

512

 

 

2. Перепишем эту систему та :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1q(q

2

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– 1) = –------ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(q

2

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1q

 

 

– 1) = --------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

512

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3. Разделив почленно второе уравнение на первое, получим q

= ------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

Следовательно, q1

=

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

--

, q2 = – -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Подставим поочередно эти значения q в первое уравнение системы:

 

 

1 1

– 1

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) b1 · --

------

 

= –------ , от уда b1 = 6;

 

 

 

 

4

16

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) b1

 

1

1

– 1

 

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

------

 

= – ------ , от уда b1 = –6.

 

 

 

4

16

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Ита , получаем два решения: а) b1

1

; б) b1 = –6, q

1

= 6, q = --

= – -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

К упражнению 15

1. Та а b2 = b1q, b5 = b1q4, b6 = b1q5, то, используя условие, получаем систему

b1(1 + q4) = 51, b1q(1 + q4) = 102.

2.Решив эту систему, находим q = 2, b1 = 3.

3.Теперь воспользуемся формулой суммы членов $еометричес ой про$рессии:

S = b1(qn – 1) . n --------------------------

q – 1

251

Подставив в эту формулу значения q = 2 и b1 = 3, получим

3069 = 3(2n – 1) , или 1024 = 2n, или 210 = 2n,

------------------------

2 – 1

от уда n = 10.

К упражнению 16

1. Перепишем условие та :

а) òò b1, b2, b3; б) ò b1, b2 + 2, b3; в) òò b1, b2 + 2, b3 + 9.

2. Используя хара теристичес ие свойства арифметичес ой и $еометричес ой про$рессий, запишем систему

2(b2 + 2) = b1 + b3,

(b2 + 2)2 = b1(b3 + 9).

3. Выразим теперь b2 и b3 через b1 и q и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

2(b1q + 2) = b1 + b1q2, (b1q + 2)2 = b1(b1q2 + 9).

4. Решив эту систему, найдем b1 = 4, q = 2 или b1

4

, q = –4.

= ------

 

 

 

 

25

 

Ответ: 4, 8, 16 или

4

16

64

 

 

------

, ------

, ------ .

 

 

 

25

25

25

 

 

К упражнению 18

1. Пусть b — первый член ис омой про$рессии, а q — ее знаменатель. По условию числа b, bq, bq2 – 4 образуют арифметичес ую про- $рессию с разностью 2; следовательно,

bq – b = bq2 – 4 – bq = 2.

(1)

2. Из равенств (1) составим систему с двумя неизвестными b и q:

b(q – 1) = 2,

(2)

bq(q – 1) = 6.

 

3.Решив систему (2), найдем q = 3, b = 1.

4.Ита , ис омая про$рессия имеет вид 1, 3, 9, ... .

К упражнению 22

1. Пусть S — сумма всех членов $еометричес ой про$рессии, а S1 — сумма членов этой про$рессии, находящихся на нечетных местах.

252

2.Члены $еометричес ой про$рессии, находящиеся на нечетных местах, образуют $еометричес ую про$рессию со знаменателем q2, $де q — знаменатель данной про$рессии.

3.По условию S = 3S1, т. е.

 

 

b1(q2n – 1)

b1 (q2n – 1)

 

 

 

 

 

 

----------------------------- = 3

----------------------------- .

 

 

 

 

 

 

q

– 1

q2

– 1

 

 

 

 

4.

Решив это уравнение, находим q = 2.

 

 

 

 

К упражнению 23

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Представим данную дробь в следующем виде:

 

 

 

 

7

7

+

7

7

1 +

1

1

+ ... .

 

0,(7) = ------

+ ---------

------------- + ... = ------

------ +

---------

 

10

100

 

1000

10

 

10

102

 

 

2.

Выражение в с об ах представляет собой сумму бес онечно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

убывающей $еометричес ой про$рессии со знаменателем ------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

3.

Эту сумму найдем по формуле

 

b1

 

 

1

10

S = ------------ , т. е. S =

-------- =

------ .

 

 

 

 

 

1 – q

 

 

0,9

9

4.

 

7

10

7

 

 

 

 

 

 

Ита , 0,(7) = ------ ·

------

= -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

10

9

9

 

 

 

 

 

 

К упражнению 25

1. Пусть ABCD — данный вадрат, A1B1C1D1 — вписанный в ABCDвадрат, A2B2C2D2 — вписанный в A1B1C1D1 вадрат и т. д. (рис. 132).

2. Положим B1C1 = x и B2C2 =

= y; то$да P1 = PA1B1C1D1

= 4x, а P2 =

= PA2B2C2D2

= 4y.

 

3. В равнобедренном прямоу$оль-

ном треу$ольни е B1CC1 имеем B1C1 =

= 2 B1C =

2

k

------ BC, т. е x

= ------ . То$да

 

2

2

 

 

P1 = 4x = 2

2 k.

 

4. В равнобедренном прямоу$ольном треу$ольни е B2B1C2 имеем

B2C2 = 2 B1C2 =

2

B1C1

=

------

 

 

2

 

 

k

. То$да P2

= 4y = 2k.

т. е. y = --

2

 

 

 

 

1

BC,

--

2

 

Рис. 132

253

5. Ита , нам известны периметры трех вадратов: PABCD = P = 4k,

PA1B1C1D1 = P1 = 22 k, PA2B2C2D2 = P2 = 2k.

6. Ле$ о установить, что числа P, P1 и P2 являются тремя последовательными членами $еометричес ой про$рессии. Действительно, для

этих чисел выполняется ее хара теристичес ое свойство: P21 = PP2,

та а (22 k)2 = 4k · 2k, или 8k2 = 8k2. 7. Найдем знаменатель про$рессии:

q =

P1

=

P2

=

1

, т. е. 0 < q < 1.

--P----

P-----1-

--2-

 

 

 

 

8. Чтобы найти сумму периметров всех вписанных вадратов, вос-

пользуемся формулой S =

-----P------

- . То$да получим

 

 

 

1 – q

S = ------

4----k-------

= --4--------

2----k---

= 4 2 ( 2 + 1)k = 4(2 + 2 )k.

 

1

 

 

 

1 –

2 – 1

--

 

2

9. Рассуждая анало$ично, найдем сумму площадей всех вписанных вадратов. Пусть F — площадь вадрата ABCD, т. е. F = k2; да-

лее, F1 = x

2

k2

= y

2

k2

 

= ----- — площадь вадрата A1B1C1D1; F2

 

= ----- — пло-

 

 

2

 

 

4

щадь вадрата A2B2C2D2 и т. д. Последовательность этих площадей

образует $еометричес ую про$рессию со знаменателем q = 1 . Та им

--

2

образом, сумма площадей всех вписанных вадратов составит

F

k2

 

2

S = ------------

= -------------

= 2k .

1 – q

1 –

1

 

 

--

 

 

 

2

 

К упражнению 27

1. Пусть v ( м/ч) — первоначальная с орость мотоци листа.

2. То$да на поезд у от A до B (рис. 133) он затратил 120 (ч).

---------

v

Рис. 133

254

3. Путь от B до C (пун та, $де он остановился) мотоци лист в течение 1 ч ехал со с оростью v ( м/ч), т. е. расстояние между B и C равно v · 1 = v ( м).

4. Следовательно, расстояние между C и A равно 120 – v ( м).

5. Это расстояние мотоци лист проехал со с оростью v + 6 ( м/ч).

6.

Значит, на поезд у от C до A он затратил 120------------------v-

(ч).

 

 

 

v + 6

 

7.

Та а на поезд у от A до B мотоци лист затратил столь о же

времени, что и на поезд у от B до A, то получаем уравнение

 

120---------

= 1 + 1--

+ 120------------------v- .

 

 

v

6

v + 6

 

8. Решив е$о, находим v = 48 ( м/ч).

К упражнению 29

З а м е ч а н и е. Напомним не оторые теоретичес ие сведения, позволяющие, не решая систему линейных уравнений, определить о- личество ее решений по известным оэффициентам при неизвестных и свободным членам.

Пусть дана система

a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2,

$де a1, a2, b1 и b2 — оэффициенты при неизвестных, а c1 и c2 — свободные члены. Возможны три случая.

1. Если

a1

 

b1

, т. е. оэффициенты при неизвестных не пропор-

-----

-----

 

a2

 

b2

 

циональны, то система имеет единственное решение.

2. Если

a1

=

b1

c1

-----

-----

---- , т. е. оэффициенты при неизвестных про-

 

a2

 

b2

c2

порциональны между собой, но не пропорциональны свободным членам, то система не имеет решений.

a1

b1

c1

, т. е. оэффициенты при неизвестных и сво-

3. Если -----

= -----

= ----

a2

b2

c2

 

бодные члены пропорциональны между собой, то система имеет бес о- нечное множество решений.

Решение пражнения 29а. I способ. Система имеет единственное

k

1

, т. е. если k − –1.

решение, если --

------

1

–1

 

II способ. 1. Сложив оба уравнения системы, получим x(k + 1) = 5.

255

2.

Если k − –1, то система имеет единственное решение x =

------5-------

,

 

 

 

 

k + 1

 

y = x – 3 =

------5-------

– 3 = 2-----------3----k- .

 

 

 

 

k + 1

k + 1

 

 

3.

Если k = –1, то получим систему

 

 

–x + y = 2, x – y = 3,

оторая не имеет решений.

Решение пражнения 29б. I способ. 1. Система не имеет решений, если

 

 

 

------3-------

=

k------------1 k-----+------1-- .

(1)

 

 

 

k + 1

 

1

 

3

 

2.

Из равенства

------3-------

= ------k -----1-

следует, что k1 = 2, k2 = –2.

 

 

 

k + 1

 

1

 

 

 

 

 

3.

Подставив значение k1 = 2 в (1), получим

 

 

 

 

 

3

=

1

=

3

 

 

 

 

 

--

1--

3--

 

 

 

 

 

3

 

 

 

(в этом случае система имеет бес онечное множество решений, см. замечание).

4. Подставив значение k2 = –2 в (1), получим

3 = –3 –1 ,

------ ------ ------

–1 1 3

т.е. при k = –2 система не имеет решений.

II способ. 1. Из второ$о уравнения системы выразим y = 3 – (k + 1)x и подставим это выражение в первое уравнение:

3x + (k – 1)(3 – (k + 1)x) = k + 1, или x(k – 2)(k + 2) = 2(k – 2).

2. Последнее уравнение, а, значит, и данная система не имеют решений при k = –2.

Решение пражнения 29в. 1. Система имеет бес онечное множество решений, если

 

2----k--

=

--1----

= 6----k----2---------5----k-----+------1-- .

 

(1)

 

1

 

2k

0

 

 

 

2. Из равенства 2----k--

= --

1----

следует, что k1

= –1--

, k2

= 1-- .

1

2k

 

 

2

 

2

3. Равенство --1---- =

6----k----2---------5-----k----+--------1 следует понимать та , что числитель

2k

 

0

 

 

 

 

 

второй дроби та же равен нулю, т. е.

 

 

 

 

 

6k2 – 5k + 1 = 0.

 

 

(2)

256

4. Из уравнения (2) находим k1

1

, k2

1

. Ита , система имеет

= --

= --

 

2

 

3

 

бес онечное множество решений при k = 1 .

--

2

К упражнению 31а

1. Сначала определим множество значений x, для оторых данное неравенство существует:

x2 – x l 0,

2 – x2 – x l 0, x l 0,

x – 1 l 0,

или

x(x – 1) l 0,

(x + 2)(x – 1) m 0,

Рис. 134

x l 1.

2. Решив эту систему неравенств (рис. 134), за лючаем, что ОДЗ неравенства состоит толь о из двух чисел: x1 = 0 и x2 = 1.

3. Провер а по азывает, что решением данно$о неравенства является лишь одно число, а именно x = 1.

257

Т е м а 14

À

Поворот точки вокруг начала координат. Градусное и радианное измерение угловых величин. Тригонометрические функции числового аргумента. Знаки тригонометрических функций.

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов.

Четность и нечетность тригонометрических функций. Периодичность тригонометрических функций.

Свойства тригонометрических функций. Формулы сложения. Формулы приведения

Теоретичес ие сведения

1. Поворот точки вокруг начала координат

1°. В теме 3 было отмечено, что между множеством действительных чисел R и множеством точе числовой прямой можно установить соответствие, при отором аждой точ е числовой прямой соответствует единственное действительное число и, наоборот, аждому действительному числу соответствует единственная точ а числовой прямой.

2°. Между действительными числами и точ ами о ружности та же можно установить соответствие, что позволяет опреде-

лить три онометричес ие фун ции чис-

 

лово о ар умента.

 

3°. О ружность единично о радиу-

 

са с выбранными началом отсчета и на-

 

правлением обхода называют числовой

 

о р жностью.

 

4°. Каждой точ е M о ружности со-

 

ответствует бес онечное множество

 

ду , начинающихся в точ е A (рис. 135)

 

и за анчивающихся в точ е M. Одной

Рис. 135

258

Рис. 136

Рис. 137

из них является ратчайшая ду а, соединяющая эти две точ-и, а все остальные получаются из ратчайшей ду и прибавлением или вычитанием цело о числа полных оборотов.

5°. а) Если точ а, дви аясь по числовой о ружности от точ-и A против часовой стрел и, прошла путь длиной α (рис. 136), то принято считать, что α > 0. Конечную точ у пути обозначим через P.

В этом случае оворят, что точ а P получена из точ и A поворотом (обходом) во ру начала оординат на у ол α.

Отметим, что если 0 < α m π, то у ол AOP равен α а центральный у ол числовой о ружности.

б) Если точ а, дви аясь по числовой о ружности от точ и A по часовой стрел е, прошла путь длиной α (рис. 137), то принято считать, что α < 0.

в) Поворот на 0° означает, что точ а A остается на месте.

2. Градусное и радианное измерение угловых величин

1°. Из урса еометрии известно, что у лы можно измерять в радусах. Например, развернутый у ол равен 180°, прямой у ол равен 90°.

2°. За единицу измерения у лов и ду принимают у ол в один рад с (обозначение: 1°).

3°. У ол в 1° — это у ол, оторый опишет начальный радиус,

совершив 1 часть полно о оборота во ру своей начальной

---------

360

точ и против часовой стрел и.

4°. Мин той (обозначение: 1′) называют 1 часть радуса.

------

60

259

Рис. 138

5°. Се ндой (обозначение: 1′′) называют 1 часть минуты.

------

60

6°. Кроме радусной меры существуют и дру ие единицы измерения у лов. В математи е и физи е обычно используют радианную меру у ла.

7°. Центральный у ол, опирающийся на ду у, длина оторой равна радиусу, называют у лом в один радиан (рад).

8

°

. У ол в один радиан содержит

180

радусов:

 

---------

 

 

 

 

 

π

 

 

 

1 рад =

180

 

°

(1)

 

 

---------

.

 

 

 

π

 

 

 

9°. Один радиан приближенно равен 57° 18′.

10°. Из равенства (1) следует, что у ол в α радианов содер-

180

 

 

 

 

 

 

жит --------- α радусов, т. е.

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

α рад =

180

 

°

 

 

 

 

 

(2)

--------- α .

 

 

 

π

 

 

 

 

11°. Из равенства 180° = π выте ает, что:

 

 

π

 

 

π

20°π

π

а) 360° = 2π; б) 90° = --

; в) 30° = --

; ) 20° = ------------

= -- .

2

 

 

6

180

°

9

3. Тригонометрические функции числового аргумента

1°. Пусть задано не оторое число x; отметим соответствующую ему точ у K(x) числовой о ружности.

2°. Ординату точ и K(x) называют син сом числа x и обозначают sin x, а абсциссу этой точ и называют осин -

сом числа x и обозначают cos x.

3°. Дру ими словами, sin x равен ве-

личине (т. е. длине, взятой с соответствующим зна ом) отрез а KE, а cos x — величине отрез а OE (рис. 138).

4°. При вращении радиуса о ружности он будет «пробе ать» через точ у K(x) бес онечное множество раз ( а по ча-

260

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]