Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3. Далее имеем

К упражнению 3ж

1.Находим ОДЗ: x > 0.

2.Перепишем данное уравнение та :

Учитывая, что x > 0, освободимся от зна а модуля, после че$о уравнение (1) примет вид

3.Находим орни уравнения (2): (lg x)1, 2 = –1 ä lg 2.

4.Далее имеем:

а) lg x = –1 – lg 2, или lg x + lg 2 = –1, т. е. lg 2x = –1, от уда x1 = 0,05;

К упражнению 3з

1. Найдем ОДЗ: обе части уравнения имеют смысл при lg x l 0, от-уда x l 1.

2. Учитывая, что lg x = lg x1/2 = 1 lg x, получим уравнение

--

2

lgx = 1 lg x.

--

2

3. Возведя обе части последне$о уравнения в вадрат, имеем

lg x = 1 lg2 x.

--

4

4. Следовательно, lg x = 0, от уда x1 = 1, и lg x = 4, от уда x2 = 104.

231

5. Решив уравнение (2), находим x1 = – 3 (посторонний орень), x2 = 2. Ита , x = 2.

К упражнению 3

1. Находим ОДЗ:

x − 0, x − 3,

т.е. x > 1, x − 3.

2.Упростим правую часть данно$о уравнения:

232

или

4.Для решения это$о уравнения нужно рассмотреть две системы

сучетом ОДЗ:

Обе системы не имеют решений. Значит, не имеет орней и данное уравнение.

За м е ч а н и е. Любое ло$арифмичес ое неравенство сводится

вонечном счете неравенству вида

$де a > 0 и a − 1.

При переходе от неравенства (*) неравенству, связывающему f(x) и g(x), нужно обязательно учитывать, что ло$арифмичес ая фун - ция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.

Та им образом, в случае a > 1 от неравенства (*) нужно перейти неравенству то$о же смысла, т. е. f(x) > g(x), а в случае 0 < a < 1 от неравенства (*) — неравенству противоположно$о смысла, т. е. f(x) < g(x).

Разумеется, и в том и в дру$ом случае следует учитывать, что должны та же выполняться неравенства f(x) > 0 и g(x) > 0.

К упражнению 4а

1. Для отыс ания ОДЗ решим неравенство

x2 – 3x + 2 > 0,

от уда следует, что x < 1 или x > 2.

2. Та а –1 = log1/6 6, то данное неравенство можно переписать та :

4. Очевидно, что система (2) равносильна неравенству x2 – 3x + 2 > 6, решая оторое находим x < –1; x > 4.

233

К упражнению 4в

1.Здесь нужно рассмотреть два случая: а) x – 6 > 1; б) 0 < x – 6 < 1.

2.Та им образом, задача сводится решению следующей сово-упности двух систем неравенств:

3. Система а) имеет решение x > 6, а система б) не имеет решений. Ита , x > 6.

К упражнению 4е

1. Воспользуемся тем, что 2x + 1 = log3 32x + 1, и перепишем данное неравенство та :

2. Здесь основание ло$арифма равно 3, т. е. a > 1, и, следовательно, неравенство (1) равносильно системе

3.Разделим обе части неравенства (2) на 32x > 0 и положим t = 4 x ;

-3-

то$да получим следующую систему ал$ебраичес их неравенств:

0 < t2 – 2t m 3. (3) 4. Система (3) имеет решение 2 < t m 3. Отсюда следует, что

К упражнению 4

1.Находим ОДЗ: x − 0.

2.Заметим, что обе части данно$о неравенства положительны, следовательно, определены ло$арифмы этих выражений.

3.Проло$арифмируем обе части неравенства, например по основанию 2 (можно и по основанию 3).

4.Со$ласно свойству ло$арифмичес ой фун ции, данное неравенство равносильно неравенству

5. Преобразуем неравенство (1) и получим

234

6. Решим неравенство (2) методом интервалов; имеем

З а м е ч а н и е. Если бы мы проло$арифмировали обе части данно$о неравенства по основанию 0 < a < 1, то зна неравенства должны

решением системы является интервал –8 < x < –1. Ответ: –8 < x < –1.

235

К упражнению 6

1.Пусть v (м3/ч) — с орость, с оторой работал первый э с аватор; то$да v + 4 (м3/ч) — с орость, с оторой работал второй э с аватор.

2.Пусть t (ч) — время, за оторое второй э с аватор вы опал 27 м3.

3.Используя условие, составим систему уравнений

v t + 1 = 28,

--

2

(v + 4)t = 27.

4. Выразив из второ$о уравнения t и подставив это выражение в первое уравнение, получим вадратное уравнение

v2 + 2v – 224 = 0,

имеющее орни v1 = –16, v2 = 14.

5. Положительный орень v = 14 служит решением задачи. Ответ: 14 и 18 м3/ч.

К упражнению 8а

1. Рассмотрим первое уравнение системы а вадратное относительно x и решим е$о:

2. Перейдем от данной системы сово упности систем:

3. Решаем систему а):

y2 – 2y + 4 = 0

Ответ: x = 1, y = –2.

236

= |x – 1|(x – 5), находящейся в левой части уравнения (1). При x l 1 — это часть параболы y = (x – 1)(x – 5) = x2 – 6x + 5, а при x < 1 — часть параболы y = (1 – x) × × (x – 5) = –x2 + 6x – 5 (рис. 131).

3. Графи ом фун ции y = –k является прямая, параллельная оси Ox.

4.Из рис. 131 видно, что прямая y =

=–k пересе ает $рафи , составленный из частей парабол, в трех точ ах при ус-

К упражнению 10а

1.Для решения данно$о неравенства освободимся от зна ов модулей.

2.Точ и x = –3 и x = 0 разбивают числовую прямую на три промежут а: (–×; –3]; (–3; 0] и (0; +×).

3.Решим исходное неравенство на аждом из этих промежут ов: а) на (–×; –3] имеем

т. е. x Ý (–3; –2) [–1; 0];

в) на (0; +×) имеем

4.Объединив найденные решения, запишем решение данно$о неравенства: x Ý [–5; –2) [–1; 2).

5.Найдем сумму целых решений: –5 –4 –3 – 1 + 0 + 1 = –12.

237

Т е м а 13

À

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1

Теоретичес ие сведения

1. Арифметическая прогрессия

1°. Числовую последовательность, аждый член оторой, начиная со второ о, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметичес ой про-рессией. Обозначение: òa1, a2, a3, ..., an, ... .

2°. Из определения арифметичес ой про рессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. a2 – a1 = a3 – a2 = ... = ak – ak – 1 = = ... . Это число называют разностью арифметичес ой про-рессии и обычно обозначают бу вой d.

3°. Для то о чтобы задать арифметичес ую про рессию (an), достаточно знать ее первый член a1 и разность d.

4°. Если разность арифметичес ой про рессии — положительное число, то та ая про рессия является возрастающей; если отрицательное число, то — убывающей. Если разность арифметичес ой про рессии равна нулю, то все ее члены равны между собой, и про рессия является постоянной последовательностью. Та ую про рессию обычно не рассматривают.

5°. Хара теристичес ое свойство арифметичес ой про рессии. Любой ее член, начиная со второ о, является средним арифметичес им предшествующе о и последующе о членов, т. е.

238

6°. Формула n- о члена арифметичес ой про рессии имеет вид

7°. Формула суммы n первых членов арифметичес ой про-рессии имеет вид

8°. Если в формулу (3) подставить вместо an е о выражение по формуле (2), то получится соотношение

9°. Из определения разности арифметичес ой про рессии следует, что a1 + an = a2 + an – 1 = ..., т. е. сумма членов, равноуда-

ленных от онцов про рессии, есть величина постоянная.

Примеры. 1. Найти сумму двадцати членов арифметиче- с ой про рессии (an), если a6 + a9 + a12 + a15 = 20.

Р е ш е н и е. Со ласно свойству арифметичес ой про рессии (см. п. 9°), имеем a1 + a20 = a6 + a15 = a9 + a12. Следователь-

2.Последовательность задана формулой ее n- о члена: yn =

=2n – 5. До азать, что (yn) — арифметичес ая про рессия.

Р е ш е н и е. Для до азательства воспользуемся хара теристичес им свойством арифметичес ой про рессии (см. п. 5°). Таа yn – 1 = 2(n – 1) – 5 = 2n – 7, yn + 1 = 2(n + 1) – 5 = 2n – 3, то

т. е. (yn) — арифметичес ая про рессия.

3. Найти арифметичес ую про рессию, если a1 + a5 = 24, a2a3 = 60.

239

Р е ш е н и е. Со ласно условию, получаем систему уравнений

Ита , получаем ответ: ò –2, 5, 12, ... .

2. Геометрическая прогрессия

1°. Числовую последовательность, первый член оторой отличен от нуля, а аждый член, начиная со второ о, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называют еометричес ой про рессией. Обозначение: òò b1, b2, b3, ..., bn, ... .

2°. Из определения еометричес ой про рессии следует, что отношение любо о ее члена предшествующему равно одному

называют знаменателем еометричес ой про рессии и обычно обозначают бу вой q.

3°. Для то о чтобы задать еометричес ую про рессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 4, q = –3 (q < 0) задается еометричес ая

про рессия 4, –12, 36, –108, ... . Эта про рессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

4°. Если q > 0 (q − 1), то про рессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = –2, q = 3; то да

еометричес ая про рессия –2, –6, –18, ... есть монотонно убывающая последовательность.

Если q = 1, то все члены про рессии равны между собой. В этом случае про рессия является постоянной последовательностью. Та ую про рессию обычно не рассматривают.

5°. Хара теристичес ое свойство еометричес ой про рессии. В еометричес ой про рессии, все члены оторой — поло-

240