Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

Задания для повторения

7.Два спортсмена стартовали один за дру'им с интервалом

в2 мин. Второй спортсмен до'нал перво'о на расстоянии 1 м от точ и старта, а пробежав от точ и старта 5 м, он повернул обратно и встретился с первым. Эта встреча произошла через 20 мин после старта перво'о спортсмена. Найдите с орость второ'о спортсмена.

8.Два лыжни а стартовали на дистанцию 10 м дру' за дру'ом с интервалом в 6 мин. Второй лыжни до'нал перво'о через 2 м от точ и старта. Дойдя до поворота на отмет е 5 м, второй лыжни повернул обратно и встретил перво'о на расстоянии 1 м от точ и поворота. Найдите с орость перво'о лыжни а.

9.До ажите, что:

а) a3 – a ('де a Ý N) делится нацело на 6;

б) a4 + 2a3 – a2 – 2a ('де a Ý N) делится нацело на 24; в) число 1015 – 1 делится нацело на 3, на 9 и на 11.

О Т В Е Т Ы

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1. После упрощения имеем (a – 2)x < 4. 2. а) Если a – 2 = 0, т. е. a = 2, то x Ý R.

б) Если a – 2 > 0, т. е. a > 2, то x < 4 .

------------

a – 2

131

2. Та а данное неравенство стро)ое, то е)о числитель, а тем более знаменатель не может быть равен нулю.

3. Очевидно, что (1 – x)2 > 0 при любом значении x, роме x = 1,

а (3x – 20)2 > 0 при любом значении x, роме x = 20 .

------

3

4.Поэтому данная дробь отрицательна при условии (76x – 532)3 <

<0, или 76x – 532 < 0, т. е. x < 7.

5.Для записи ответа из промежут а (–×; 7) нужно ис лючить

значения x = 1 и x = 20 .

------

3

Ответ: x < 7, x − 1 и x − 20 .

------

3

К упражнению 3б

1. Рассмотрим разность между левой и правой частями до азываемо)о неравенства:

x3 + y3 – x2y – xy2 = x2(x – y) + y2(y – x) =

=x2(x – y) – y2(x – y) = (x – y)(x2 – y2) = (x + y)(x – y)2.

2.Та а при x > 0, y > 0 имеем x + y > 0, а (x – y)2 l 0, то x3 + y3 l l x2y + xy2.

К упражнению 3ж

1.Для до азательства неравенства используем зависимость между средним арифметичес им и средним )еометричес им двух положительных чисел.

2.Имеем a + 1 > 2a 1 , b + 1 > 2b 1 , a + c l 2ac и b + c l

l 2bc . Перемножив эти неравенства, получим

(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 2a · 2b · 2ac · 2bc ,

или

(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc.

132

К упражнению 3и

1.Упростим левую часть до азываемо)о неравенства:

x2 + 2y2 + 2xy + 6y + 10 = x2 + y2 + y2 + 2xy + 6y + 9 + 1 =

=(x + y)2 + (y + 3)2 + 1.

2.Суммой трех чисел, из оторых два неотрицательны, а третье равно 1, является число положительное, т. е. (x + y)2 + (y + 3)2 + 1 > 0.

3.Ита , x2 + 2y2 + 2xy + 6y + 10 > 0.

К упражнению 4а

1.Дис риминанты вадратных уравнений x2 + 3x + 9 = 0 и x2 – 2x +

+4 = 0 отрицательны (D1 = –27 и D2 = –12), следовательно, эти урав-

нения не имеют решений.

2. Отсутствие решений означает, что вадратные трехчлены не разла)аются на линейные множители и на всем промежут е изменения x имеют постоянный зна , совпадающий со зна ом старше)о члена. В данном случае x2 + 3x + 9 > 0 и x2 – 2x + 4 > 0.

3.Та им образом, данное неравенство равносильно неравенству x – 3 m 0, от уда x m 3.

К упражнению 5в

1.Дис риминант вадратно)о уравнения x2 – x + 20 = 0 отрицателен, значит, x2 – x + 20 > 0 при x Ý R.

2.То)да данное неравенство равносильно следующему:

x4 – 3x3 + 2x2 m 0. 3. Вынося x2 за с об и, получим

x2(x2 – 3x + 2) m 0. 4. Из последне)о неравенства следует, что:

а) x2 l 0, x Ý R, причем x = 0 является решением неравенства; б) x2 – 3x + 2 m 0.

5. Та а вадратный трехчлен x2 – 3x + 2 имеет орни x1 = 1, x2 = 2, то решениями неравенства x2 – 3x + 2 m 0 являются все значе-

ния x, для оторых 1 m x m 2. Ответ: 1 m x m 2, x = 0.

133

3. По условию второй спортсмен пробежал 1 м на 2 мин быстрее, чем первый. Следовательно,

Решив ее, находим, что с орость второ)о спортсмена равна 20 м/ч.

К упражнению 9а

1. Имеем

a3 – a = a(a2 – 1) = (a – 1)a(a + 1).

Это произведение трех последовательных натуральных чисел.

2. Та ое произведение делится нацело на 2 и на 3, т. е. оно делится и на 6.

К упражнению 9б

1. Имеем

a4 + 2a3 – a2 – 2a = a2(a2 – 1) + 2a(a2 – 1) =

=(a2 – 1)(a2 + 2a) = (a – 1)a(a + 1)(a + 2),

т.е. получили произведение четырех последовательных натуральных чисел.

2.Та ое произведение делится нацело на 2, на 3 и на 4. Значит, оно делится и на 24.

К упражнению 9в

Число 1015 – 1 содержит 15 девято , значит, оно делится на 3, на 9 и на 11.

134

Т е м а 9

À

Системы и совокупности неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Решение рациональных неравенств методом интервалов. Расположение корней квадратного трехчлена

Теоретичес ие сведения

1. Системы и совокупности неравенств

1°. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нес оль их неравенств, то оворят, что надо решить

систем неравенств.

2°. Значение переменной, при отором аждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

3°. Неравенства, входящие в систему, объединяют фи урной с об ой. Ино да вместо фи урной с об и используют запись системы в виде двойно о неравенства. Например, систему

3x – 1 > 2, 3x – 1 < 8

можно записать та им образом: 2 < 3x – 1 < 8.

4°. Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится следующим случаям:

В случае (1) решением системы служит промежуто (b; +×) (рис. 49, а); в случае (2) — промежуто (a; b) (рис. 49, б); в случае (3) — промежуто (–×; a) (рис. 49, в); в случае (4) система не имеет решений (рис. 49, ).

135

Рис. 49

5°. Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем неравенств обозначается та же, а и равносильность систем уравнений, т. е. с помощью зна а _.

Пример. Решить систему неравенств:

т. е. множество решений неравенства — полуот рытый промежуто [3,6; 8).

б) Имеем

Для перво о неравенства множеством решений служит промежуто (–×; 6), для второ о — промежуто (2; 7), а для третье о — объединение промежут ов (–×; 3] и [8; +×). С помощью числовой прямой (рис. 50) находим, что пересечением этих множеств служит промежуто (2; 3].

6°. Если ставится задача найти множество всех та их значений переменной, аждое из оторых является решением хотя бы одно о из данных неравенств, то оворят, что надо решить сово пность неравенств.

Рис. 50

136

7°. Значение переменной, при отором хотя бы одно из неравенств сово упности обращается в верное числовое равенство, называют решением сово пности неравенств. Множество решений сово упности неравенств есть объединение множеств решений входящих в нее неравенств.

Неравенства, образующие сово упность, ино да объединяют вадратной с об ой. Например, запись

3x – 5 < 1,

2x + 3 > 4

означает, что неравенства образуют сово упность. Пример. Решить сово упность неравенств

0,2(2x – 3) < x –2, 5x – 7 > x – 6.

Р е ш е н и е. Преобразовав аждое из неравенств, получим

Рис. 51

(рис. 51) находим, что объединением этих множеств является

промежуто 1 ; +× .

-4-

2. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1°. Неравенство с дв мя переменными имеет вид f(x, y) > > g(x, y), де f(x, y) и g(x, y) — выражения с переменными. Решением неравенства с дв мя переменными называют упорядоченную пару чисел (x0; y0), обращающую данное неравенство

в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти множество всех е о решений.

137

2°. Множество решений неравенства с двумя переменными можно изобразить рафичес и на оординатной плос ости. Например, множеством решений линейно о неравенства ax + + by + c l 0 является полуплос ость, расположенная над прямой ax + by + c = 0, причем сама прямая принадлежит этому множеству (рис. 52), а множеством решений неравенства x2 + + y2 m r2 — ру с центром в начале оординат и радиусом r, причем о ружность принадлежит этому множеству (рис. 53).

3°. Если задана система неравенств с двумя переменными

f1(x, y) > g1(x, y),

f2(x, y) > g2(x, y),

то решением системы называют упорядоченную пару чисел, удовлетворяющую аждому из неравенств этой системы. Поэтому множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

4°. Пусть, например, задана система

138

3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

При решении неравенств, содержащих переменную под зна ом модуля, используют определение модуля:

Кроме то о, ино да бывает полезно пользоваться еометричес ой интерпретацией модуля числа, со ласно оторой |x| означает расстояние точ и x числовой прямой от начала отсчета, а |x – a| означает расстояние на числовой прямой между точ а- ми x и a.

Пример. Решить неравенство: а) |x – 1| < 3; б) |x + 1| > 2 – x. Р е ш е н и е. а) На основании определения модуля получа-

ем сово упность двух систем неравенств:

Из первой системы находим, что 1 m x < 4, а из второй — что –2 < x < 1. Объединив решения этих систем, получаем ответ: (–2; 4).

Заметим, что данное неравенство можно решить иначе. Таа |x – 1| есть расстояние на числовой прямой между точ ами x и 1, то нам нужно найти на числовой прямой та ие точ и x,оторые удалены от 1 меньше, чем на 3 ед. Отсюда находим ис-омое множество решений: (–2; 4) (рис. 55).

Рис. 55

б) Используя определение модуля, приходим следующей сово упности систем неравенств:

Для первой системы множеством решений служит промежуто (0,5; +×), а для второй это множество — пустое. Значит, (0,5; +×) — множество решений данно о неравенства.

139

4. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Решение рациональных неравенств (т. е. неравенств вида

P(x) > 0 или P(x) < 0, де P(x) и Q(x) — мно очлены) основано

------------ ------------

Q(x) Q(x)

на следующем свойстве непрерывной фун ции: если непрерывная фун ция обращается в нуль в точ ах x1 и x2 (x1 < x2) и меж-

ду этими точ ами не имеет дру их орней, то в интервале (x1; x2) фун ция сохраняет зна .

Поэтому для нахождения интервалов зна опостоянства фун - ции y = f(x) поступают та . На числовой прямой отмечают все точ и, в оторых фун ция f(x) обращается в нуль или имеет разрыв. Эти точ и разбивают числовую прямую на нес оль о интервалов, внутри аждо о из оторых фун ция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т. е. сохраняет зна . Чтобы определить этот зна , достаточно найти зна фун ции в а ойлибо точ е рассматриваемо о интервала числовой прямой.

Изменение зна ов фун ции f(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной ривой, оторую чертят справа налево. На тех интервалах, де ривая проходит выше числовой прямой, выполняется неравенство f(x) > 0; на тех же интервалах,де ривая проходит ниже, — неравенство f(x) < 0.

Примеры. 1. Решить неравенство

(x + 3)(x + 2)x(x – 1) > 0.

Р е ш е н и е. Мно очлен P(x) = (x + 3)(x + 2)x(x – 1) обращается в нуль в точ ах x = –3, x = –2, x = 0 и x = 1. Эти точ и разбивают числовую прямую на интервалы (–×; –3), (–3; –2), (–2; 0), (0; 1) и (1; +×) (рис. 56), внутри аждо о из оторых фун ция P(x) сохраняет зна .

Рис. 56

Та а в интервале (1; +×) все сомножители положительны, то и их произведение положительно, т. е. P(x) > 0; в интервале (0; 1) последний сомножитель x – 1 отрицателен, а осталь-

140