Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

отделить справа запятой столь о цифр, с оль о их имеется после запятой в обоих множителях вместе. Например, 12,27 · 0,021 = = 0,25767.

4°. Деление десятичных дробей.

а) Разделим 4,46 на 2. Делим на 2 сначала целую часть числа, потом десятые и, на онец, сотые доли, т. е. 4,46 : 2 = 2,23.

б) Разделим 1,2345 на 5. В целой части частно$о получим нуль (та а единица не делится на 5), т. е. 1,2345 : 5 = 0,2469.

в) Разделим 1,25 на 1,6. Увеличим делимое и делитель в 10 раз, т. е. 12,5 : 16 = 0,78125.

5°. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столь о раз, во с оль о раз увеличился делитель при отбрасывании в нем запятой, после че$о выполнить деление по правилу деления на целое число.

З а м е ч а н и е. При умножении (делении) десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. достаточно перенести запятую вправо (влево) на столь о цифр, с оль о нулей во множителе (делителе). Например, 3,576 · 100 = 357,6; 2,53 : 10 = 0,253.

9. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби

1°. Чтобы обратить десятичную дробь в обы новенную, достаточно в числителе дроби записать число, находящееся после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столь о, с оль о цифр справа от запятой. Например,

2°. Чтобы обратить обы новенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления

7

десятичной дроби на целое число. Например, для дроби ------

25

имеем

–70 25

50 0,28

200

–200

0

21

Заметим, что при этом может получиться бес онечная де-

3

сятичная дробь. Например, для дроби -- имеем

7

–30 7

28 0,428571...

20

–14

– 5660

–4035

50

–49

10

– 7 3

Та им образом, мы вернулись началу деления числа 3 на 7, следовательно, этот процесс будет продолжаться бес онечно.

3°. Бес онечную десятичную дробь, в оторой, начиная с не-оторо$о разряда, цифры повторяются, называют периодичес-ой. Например, 0,333...; 2,6777...; 4,0424242... .

Любую обы новенную дробь можно записать в виде либоонечной десятичной дроби, либо бес онечной периодичес ой дроби.

Правило перевода бес онечной периодичес ой дроби в обы - новенную та ово:

Чтобы обратить периодичес ую дробь в обы новенную, надо из числа, находяще$ося до второ$о периода, вычесть число, находящееся до перво$о периода, и записать эту разность в числитель, а в знаменателе написать цифру 9 столь о раз, с оль о цифр в периоде, и после девято дописать столь о нулей, с оль-о цифр между запятой и первым периодом.

Например:

10. Отношение. Пропорция

1°. Отношением числа x числу y называют частное чисел

x

x и y, т. е. -- (или x : y). y

22

2°. Отношение x означает, во с оль о раз x больше y, или

--

y

а ую часть числа y составляет число x.

3°. В отношении x число x называют предыд щим членом,

--

y

y — послед ющим.

4°. Пропорцией называют равенство двух отношений, т. е.

5°. Числа a и y называют райними членами, а числа x

и b — средними членами пропорции.

11.Свойства пропорций

1°. Произведение райних членов пропорции равно произ-

если ay = bx.

пропорции:

т. е. в пропорции можно менять местами райние и средние члены или те и дру ие одновременно.

4°. Чтобы найти неизвестный средний (или райний) член пропорции, надо произведение райних (средних) членов разделить на известный средний ( райний) член пропорции:

23

т. е. сумма (или разность) членов перво о отношения та относится своему последующему члену, а сумма (разность) членов второ о отношения своему последующему.

то

т. е. сумма предыдущих членов та относится сумме последующих, а аждый из предыдущих своему последующему.

13. Процент. Основные задачи на проценты

1°. Процентом называют сотую часть а о$о-либо числа. Процент обозначают зна ом %. Например, 5%; 100%.

2°. Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01

Та им образом, чтобы число процентов выразить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125% = 1,25; 2,3% = 0,023.

3°. Нахождение процентов данно$о числа. Чтобы найти a%

4°. Нахождение числа по е$о процентам. Если известно, что a% числа x равны b, то число x можно найти по формуле

b

x = -- · 100. a

Например, если 3% в лада в сбербан составляют 150 р.,

150

то этот в лад равен ----3----- · 100 = 5000 (р.).

5°. Нахождение процентно$о отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение

a

этих чисел умножить на 100, т. е. вычислить -- · 100%. b

24

Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 90 автомобилей; то$да он выполнил план

90

на ------ · 100%, т. е. на 150%.

60

14. Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам

1°. Чтобы разделить не оторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить нааждое из них.

Пусть, например, данный отрезо длиной в 15 см требуется

15 15

разделить в отношении 2 : 3. Имеем ------ · 2 = 6 (см); ------ · 3 = 9 (см).

5 5

2°. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

Пусть, например, требуется разделить число 27 обратно пропорционально числам 4 и 5. Числа, обратные данным, отно-

25

2.По плану завод должен из$отовить 2000 тра торов. С оль о тра торов составляет 1% от плана? 13% от плана?

3.Фабри а выпус ала аждый день 1000 $ онфет. Администрация фабри и решила увеличить производство онфет ежедневно на 5%. С оль о ило$раммов онфет должна выпус ать фабри а через 1 день; через 2 дня; через 3 дня?

4.В ладчи положил в бан 20 000 р. при 8% $одовых. Ка-ова будет величина в лада через 3 $ода?

5.Цена не оторо$о товара снижается еже$одно на 10%. На с оль о процентов по сравнению с первоначальной понизится цена товара через 4 $ода?

26

6. Найдите число, 3,6% оторо$о равны значению выражения

О Т В Е Т Ы

1.Да. 2. 20; 260. 3. 1050 "; 1102,5 "; 1157,625 ". 4. 25 194 р. 24 .

5.На 34,39%. 6. 4000. 7. а) 24,5; 49; 122,5; б) 14; 56; 126.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1

1.Ка известно, пропорцией называют равенство двух отношений.

2.Перепишем данное условие, исходя из определения пропорции:

3. Воспользуемся следующим свойством пропорции: произведение ее райних членов равно произведению средних членов, т. е.

4. Упростим сначала левую часть равенства (2), а затем и е"о правую часть:

Ита , данная пропорция является верной.

К упражнению 2

1.Ка известно, процентом данно"о числа A называют число 0,01a. Обозначение: 1%(a) = 0,01a.

2.То"да 1% от плана составляет

1%(2000) = 0,01 · 2000 = 20 тра торов.

27

3. Значит, 13% от плана составляют 13%(2000) = 0,13 · 2000 = 260 тра торов.

К упражнению 3

1.Фабри а выпус ала аждый день 1000 " онфет, что составляло 100% от плана.

2.При увеличении плана на 5% он станет равным 105%.

3.Значит, нам нужно найти 105% от 1000, т. е.

105%(1000) = 1,05 · 1000 = 1050 ".

4.Та им образом, через день фабри а должна выпустить 1050 "онфет.

5.Во второй день фабри а должна увеличить оличество онфет, равное 1050 " и принимаемое за 100%, еще на 5%. Следовательно, во второй день она должна выпустить 105% от 1050 ". Это составляет

105%(1050) = 1,05 · 1050 = 1102,5 ".

6. Анало"ично, за третий день фабри а должна выпустить 1,05 · 1102,5 = 1157,625 ".

К упражнению 4

1. Анализируя решение предыдуще"о упражнения, заметим, что на самом деле мы определяли следующие величины: 1,05 · 1000;

1,052 · 1000; 1,053 · 1000.

2.В общем виде имеем:

а) p% от числа a составляют 0,01p · a;

б) p% от полученно"о результата составляют (0,01p)2 · a;

в) p% от ново"о результата составляют (0,01p)3 · a и т. д. В результате получаем та называемые сложные проценты.

3. Формулу

N = (0,01p)n · a

называют формулой сложных процентов. Ее можно записать та : N = qn · a, "де q = 0,01p, причем q > 1 (та а p > 100).

4. В этой задаче мы имеем дело с формулой сложных процентов, "де q = 1,08 и n = 3. Поэтому величина в лада через 3 "ода составит

N = 1,083 · 20 000 = 25 194,24 р.

К упражнению 5

1.Эта задача на вычисление пониженно"о процента.

2.Воспользуемся формулой сложных процентов. Снижение цены на 10% означает, что новая цена составит 90% = 0,9 первоначальной.

3.Со"ласно формуле сложных процентов, через 4 "ода цена товара бу-

дет равна 0,94 = 0,6561 = 65,61% первоначальной, а это на 34,39% ниже.

28

Т е м а 3

À

Координатная прямая. Множество целых чисел. Положительные и отрицательные числа.

Множество рациональных чисел. Модуль числа. Сравнение рациональных чисел.

Сложение и вычитание рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел. Возведение рациональных чисел в степень

с натуральным показателем

Теоретичес ие сведения

1. Координатная прямая

1°. Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрез ом и направлением называют оординатной прямой.

2°. Соответствие между множеством натуральных чисел и точ ами оординатной прямой можно установить, выбрав на прямой произвольную точ у 0, а затем с помощью единично о отрез а отметив на прямой точ и, оторым соответствуют натуральные числа (рис. 4).

2. Множество целых чисел

1°. Отметим точ и, симметричные точ ам 1, 2, 3, ... относительно точ и 0. Обозначим их через –1, –2, –3, ... . Числа 1 и –1, 2 и –2 и т. д. на оординатной прямой расположены симметрично. Та ие числа называют противоположными.

2°. Числа натуральные, им противоположные, а та же число нуль составляют множество целых чисел (множество Z).

3°. Каждому целому числу можно поставить в соответствие единственную точ у оординатной прямой (рис. 5).

29

3. Положительные и отрицательные числа

1°. Условимся считать числа 1, 2, 3, ..., расположенные правее числа 0, целыми положительными числами. То да числа, им противоположные, т. е. –1, –2, –3, ..., назовем целыми отрицательными числами.

2°. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называют множеством целых неотрицательных чисел и обозначают Z0 = {x | x = 0 или x Ý N}. Можно та же записать: Z0 = N {0}.

4. Множество рациональных чисел

1°. Каждой дроби (обы новенной или десятичной) можно поставить в соответствие а ую-либо точ у оординатной прямой. При этом получим а положительные, та и отрицательные дробные числа.

2°. Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел (множество Q). Любое рациональное число

можно записать в виде p , де p Ý Z , q Ý Z, причем q − 0 (та

-- 0 q

а деление на нуль не имеет смысла). Говорят та же, что

дробь p , знаменатель оторой равен нулю, не имеет смысла.

--

q

3°. Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точ у оординатной прямой.

4°. На множестве Q можно производить сложение, вычитание, умножение и деление ( роме деления на нуль).

5. Модуль числа

1°. Мод лем числа a называют само это число, если a l 0, или это число, взятое с противоположным зна ом, если a < 0.

Модуль числа a обозначают символом |a|. Та им образом,

30