Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с
.pdf
15. Внесите |
множитель под |
в) |
x5(x – 7)2 , если 0 < x < 7. |
||
зна орня: |
|
|
|||
|
|
17. |
Дайте определение |
сте- |
|
|
|
|
|||
|
x |
, если x > 1; |
пени: а) ap , "де a − 0 и p |
Ý Z; |
|
а) (1 – x) ------------- |
|||||
x |
– 1 |
|
|
|
|
б) (a – 3) |
|
2a |
, если |
|
2---- |
–------6----a-----+-----9-- |
|||
a |
|
0< a < 3.
16.Вынесите множитель за зна орня:
а) 
(1 – a)3 , если a m 1; б) 
a3(a – 3)5 , если a l 3;
б) ap/q , "де a > 0 и p Ý Z, q Ý N.
18.Сформулируйте правила действия над степенями с рациональным по азателем.
19.Сравните выражения:
а) |
1 |
63 |
1 |
80 ; |
-- |
и -- |
|||
|
3 |
|
4 |
|
б) 
2 и 33
3 .
УПРАЖНЕНИЯ
1. При а их значениях переменной a имеет смысл выражение:
а) 
a2 ; б) 
–a4 + 2; в) 
a2 – 6a + 9 ; ) 
a2 + 2a + 2 ? 2. При а их значениях x справедливо равенство:
а) 
(2 – x)2 = x – 2; б) 
(x – 2)2 = 2 – x; в) 
(2 – x)2 = |x – 2|? 3. Упростите выражение:
а) 
3 – 2
2 ; б) 
9 – 4
5 ; в) 
13 + 30
2 + 
9 + 4
2 ;
) 3
2 + 
5 + 3
2 – 
5 ; д) 3
20 + 14
2 + 3
20 – 14
2 . 4. Вычислите:
а) -----5--------3-----–-----6-------- |
2-----+------ |
---- |
8--------3-----–-----6--------5-- ; б) 4 32 ----- |
8--------2-----+------2--------30–--------------- |
7--------2-----–------4--------5- ; |
7 |
3 – |
2 |
30 |
10 + 4 |
6 |
в) 
12
5 – 10
7 + 
8
5 – 10
3 ; ) 4 6 
11
6 – 24+
5
6 – 12 .
------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------
|
10 |
5 – 2 |
105 |
|
|
4 3 |
|
||
5. |
Упростите выражение: |
|
|
|
|
||||
а) |
a2 – 3 |
; б) |
2a + 2 a2 |
– 9 |
; в) |
(a + 2)2 – 8a |
. |
||
---------------------------- |
2------ |
------------------------------ |
------- |
---------a-----–-------2------------- |
|||||
|
a2 + 3 |
|
|
2a – 2 a2 |
– 9 |
|
|
||
|
-----2----a------- |
– 3 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
|
|||||||
а) -----2-----+-----1-- + -----2-----–-----1-- – ------2----+-----3-- ; |
|
|
|
|
|||||
|
2 – 1 |
|
2 + 1 |
|
2 |
|
|
|
|
61
б) |
|
|
12 |
– |
|
|
|
28 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
(6 – |
3); |
|
|
|
|
|
||||||||||
- |
--- |
----------- |
- - - |
--- |
-- |
----- |
------ |
- |
|
|
--- |
---- |
---- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
15 – 3 |
|
|
15 – 1 |
|
|
2 – |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
-- |
-- |
---- |
- |
-a------------ |
; ) -----1-----–-----a------ ; д) |
---- |
--- |
---- 12---------- |
------- |
---- |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 a – 3 b |
|
|
|
|
1 – a |
|
|
|
3 + 2 – 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
е) |
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 – x |
|
|
|
|
|
x |
–2 |
– 1 |
– |
1 |
|
при 0 < x < 1; |
|||||||
1----------+-----x------–---------1-------–---x-- |
- |
--- |
-1-----–-----x----2----+------x-----–-----1-- |
|
|
x-- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ж) |
|
|
47 |
; |
|
з) |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- |
--- |
------------- |
|
------ |
- |
---- |
- |
-- |
-------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
3 – 4 3 |
|
|
|
|
2 + 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Выполните действия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) |
a |
|
a + b b |
– |
|
ab |
|
: (a |
– b) + |
2 |
b |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
----- |
- |
--a-----+--------- |
-b----- |
|
|
--- |
--a + b---------------- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) a0,5 |
– |
a – a–2 |
|
|
+ |
1 |
– a–2 |
+ |
2 |
|
|
при a > 0; |
|||||||||||||||||||||
-------------- |
|
- |
-- |
----- |
-- |
|
----------- |
--- |
---- |
---- |
--- |
--- |
a----1,5----- |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a0,5 – a–0,5 |
|
|
|
|
a0,5 + a–0,5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
a – b |
|
|
: |
a–0,5 |
|
– b–0,5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a-- +---------b-----+-----2---- |
-----ab----- |
a----–0,5---------- |
- |
+------b---–0,5-------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x0,5 + 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
) |
x-- +---------x----0,5---------+-----1-- |
: |
x-----1,5--------–-----1-- ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) |
|
|
a0,5 + 2 |
|
|
|
– |
a0,5 – 2 |
|
· |
a0,5 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a------ |
+-----2----a----0,5--------+--------1 |
|
---- |
a----- |
–-----1------ |
|
-- |
---- |
a----0,5---------- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
е) |
-- |
-- |
----- |
a--------a-----+-----b------------ -b |
- |
-- |
- |
+ |
|
--- |
- |
-- |
2--------b------ |
- |
– |
-- |
----ab- ;----- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( a + b)(a – b) |
|
|
|
|
a + b |
|
|
a – b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ж) (x + x2 – 1 )2 + (x + |
|
x2 – 1 )–2 + 2(1 – 2x2); |
|||||||||||||||||||||||||||||||
з) |
(a2 |
– b–2)m(b + a–1)n – mbna–n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(--b2-------- |
–------a---–2------)---n---(--a------ - |
–----b---–1------)--m-----–----n---b----–---m----a----m-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
и) |
|
|
|
a + 4 ab3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
a – b |
|
|
(4 ab )–1. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
- |
- |
---- |
------------ |
-------- |
|
– 4 ab |
--- |
---- |
---- |
--- |
--- |
- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a + 4 ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a – |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Упростите выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) (--5---------3-----+----------50-------)------(5----–----------24-------) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
75 – 5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) (4 + |
15 )( |
|
10 – |
|
|
|
6 ) |
4 – |
|
|
15 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
|
|
2 |
+ |
|
3 |
|
+ |
|
15 |
|
|
( |
|
3 + 5) |
–1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
----- |
3-----–-----1-- |
3---–-----2-- |
3------–------ |
--- |
3-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
62
Задания для повторения
9.С орость велосипедиста равна 30 м/ч. С орость рузовой машины на 80% больше с орости велосипедиста, а с о- рость ле овой машины на 60% больше с орости рузовой. Найдите с орости рузовой и ле овой автомашин.
10.При на ревании вода испаряется. Предположим, что за день испаряется 2% воды. С оль о литров воды останется от 100 л через три дня?
11.Вычислите:
а) 
25 – p2 + 
13 – p2 , если 
25 – p2 – 
13 – p2 = 2; б) 3
(b – 13)(b + 3) , если 3
b + 3 – 3
b – 13 = 4;
в) 
40 + 3a2 – a4 , если 
8 – a2 + 
5 + a2 = 5;
) 3 (2 + b)2(21 + b) – 3 (2 + b)(21 + b)2 , если 3 21 + b –
–3
2 + b = 4.
ОТ В Е Т Ы
1. а) a Ý R; б) a = 0; в) a Ý R; ") a Ý R. 2. а) x l 2; б) x m 2; в) x Ý R. 3. а) 
2 – 1; б) 
5 – 2; в) 3
2 + 5; ") 1; д) 4. 4. а) 1; б) 2; в) 1; ") 0,5.
5. а) 2a, если a > 
3 или –
3 < a < 0; –2a, если 0 < a < 
3 или a < –
3 ;
б) |
a + a2 – 9 |
; в) – a , если 0 < a < 2; |
a , если a > 2. 6. а) 5 – |
3 |
2 ; |
|||||||
------------------------------3 |
|
|
2-- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) 33; в) |
a(3 |
a2 + 3 ab + 3 |
b2) |
; ") (1 + |
|
a) |
1 – a ; д) 3(3 2 – 4)(3 + |
|
2 + |
|||
-------------------------------------------------------- |
|
|
a – b |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3); е) –1; ж) |
(2 3 + 4 |
3)(12 + 3) |
; з) ( |
2 – 4 3 )( 3 + 2). 7. а) 1; б) 0; |
|||||||
---------------------------------------------------------- |
3 |
|
||||||||||
в) –1; ") x – 1, "де x l 0, x − 1; д) |
------------2 |
; е) 1; ж) 0; з) 1; и) –2. 8. а) 1; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a – 1 |
|
|
|
б) 2; в) 0,5. 9. 54 м/ч; 86,4 м/ч. 10. 94,1192 л. 11. а) 6; б) –4; в) 6; ") 15.
Решения и методичес ие у азания
К упражнению 2б
1. Напомним, что арифметичес им орнем k-й степени из числа a (a l 0) называют неотрицательное число b, k-я степень оторо"о равна a, "де k Ý N, k − 1.
63
2.По условию имеем 
(x – 2)2 = 2 – x.
3.Чтобы ответить на поставленный вопрос, используем определение арифметичес о"о орня.
4.Здесь числом b является двучлен 2 – x. Та им образом, b = 2 – x l l 0, от уда x m 2.
К упражнению 3в
1.Требуется упростить выражение 
13 + 30
2 + 
9 + 4
2 .
2.Нетрудно проверить, что 9 + 4
2 — полный вадрат, т. е.
9 + 4
2 = (2
2 + 1)2. 3. Упростив 
9 + 4
2 , получим
9 + 4
2 = |2
2 + 1| = 2
2 + 1. 4. Упростив 
2 + 
9 + 4
2 , получим
2 + 2
2 + 1 = 
(
2 + 1)2 = |
2 + 1| = 
2 + 1.
5.Упростив 30(
2 + 1), получим 30
2 + 30.
6.На онец, упростив 
13 + 30
2 + 30 , получим
43 + 30
2 = 
(3
2 + 5)2 = 3
2 + 5.
К упражнению 3
1.В предыдущем примере мы имели дело с вадратным орнем, поэтому старались заменить под оренное выражение полным вадратом. Здесь же мы имеем дело с убичес им орнем. Следовательно, нам нужно аждое под оренное выражение, если это возможно, представить в виде третьей степени двучлена.
2.Рассмотрим под оренное выражение 2 + 
5 . О азывается, что
2 + 5 можно представить та : 2 + |
|
5 |
= ----- |
5-----+-----1-- 3 |
(проверьте!). |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3. |
То"да 3 2 + 5 = |
-----5-----+-----1-- . |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4. |
Анало"ично 2 – |
5 = 1-----–----------5-- |
3 |
(проверьте!). |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
64
5. |
То"да 3 2 – 5 |
= 1------–---------5-- |
, но не |
-----5-----–-----1-- |
(почему?). |
|
|
2 |
|
2 |
|
6. |
В результате получаем |
-----5-----+-----1-- |
+ 1-----–---------- |
5-- = 1. |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
К упражнению 4а
1. Упростим под оренное выражение 5
3 – 6
2 :
5
3 – 6
2 = 
3 (5 – 2
3 · 
2 ) = 
3 (5 – 2
6 ) = 
3 (
3 – 
2)2. То"да
|
5 3 |
– 6 2 = |
3( 3 – |
2)2 = ( 3 – |
2 )4 3 . |
(1) |
|
2. |
Упростим под оренное выражение 8 3 – 6 |
5 : |
|
||||
|
8 3 – 6 5 = 3 (8 – 2 · 3 · 5 ) = 3 ( 5 – 3 )2. |
|
|||||
То"да |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 3 |
– 6 5 = |
3( 5 – |
3)2 = ( 5 – |
3 )4 3 . |
(2) |
|
3. |
Найдем сумму выражений (1) и (2): |
|
|
||||
|
( 3 – |
2 )4 3 + ( |
5 – |
3 )4 3 = 4 3 ( 5 – 2 ). |
(3) |
||
4. |
Упростим под оренное выражение 7 3 – 2 |
30 : |
|
||||
|
7 3 – 2 30 = 3 (7 – 2 10 ) = 3 ( 5 – 2 )2. |
|
|||||
То"да |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 3 – 2 30 = |
3( |
5 – |
2)2 = ( 5 – |
2 )4 3 . |
(4) |
|
5. |
Разделив выражение (3) на (4), получим ответ: 1. |
|
|||||
К упражнению 5в
1.Найдем область определения данно"о выражения: a > 0, a − 2.
2.Упростив знаменатель, получим
a – |
2 |
= |
a2 |
– 2 |
= |
a |
– 2 |
= |
a – 2 |
. |
---a |
------ |
---------a |
----- |
---------a |
------------a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Упростив числитель, получим
(a + 2)2 – 8a = 
(a – 2)2 = |a – 2|.
65
4. То"да данное выражение примет вид
a – 2
---------------
a – 2
------------
a
= |
|
a – 2 |
|
a . |
|
|
|||
|
|
a – 2 |
||
5. Упростим последнюю дробь: |
|
|
|||||||
а) |
|
0 < a < 2, |
|
|
б) |
|
a > 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
–(a – 2) a |
= – |
a ; |
|
(a – 2) a |
= |
a . |
||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
a – 2 |
|
|
|
|
a – 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: –
a , если 0 < a < 2; 
a , если a > 2.
З а м е ч а н и е. а) Выражение с переменными называют иррациональным, если оно содержит извлечение орня из переменной или возведение переменной в дробную степень ( а это имело место в рассмотренном примере).
б) Ка правило, тождественные преобразования иррациональных выражений выполняют на множестве неотрицательных чисел. Это выте ает из введенных ранее определений.
в) Пусть, например, требуется со ратить дробь a – 4 . При a l 0
--------------------
a0,5 + 2
выражение a – 4 можно представить в виде разности вадратов выражений (a0,5)2 и 22 , а затем со ратить дробь:
a – 4 |
= |
(a0,5) |
2 – 22 |
(a0,5 – 2)(a0,5 + 2) |
= a0,5 |
– 2. |
||
a----0,5--------- |
------- |
------a---0,5------- |
-------------- = |
----------------a----0,5-------- |
----------------------- |
|||
+ 2 |
|
+ 2 |
+ 2 |
|
|
|||
") Выполненное тождественное преобразование справедливо для неотрицательных чисел, т. е. при a l 0.
д) В дальнейшем будем это подразумевать и специально не о"оваривать.
К упражнению 6а
1. Здесь целесообразно применить прием избавления от иррациональности в знаменателе. Для это"о умножим числитель и знамена-
тель первой дроби на 
2 + 1 (это выражение называют сопряженным
для 
2 – 1):
2 + 1 |
= |
|
( 2 + 1)2 |
|
- - - - - - - - - - - - - - - - - |
------- |
----------------------- |
--------------- = 3 + 2 2 . |
|
2 – 1 |
|
( |
2 – 1)( |
2 + 1) |
2. Анало"ично поступим со второй дробью (теперь выражением, сопряженным для знаменателя, является 
2 – 1):
2 – 1 |
= |
|
( 2 – 1)2 |
2 . |
|
- - - - - - - - - - - - - - - - - |
------- |
------------------------ |
-------------- = 3 – 2 |
||
2 + 1 |
|
( |
2 + 1)( |
2 – 1) |
|
66
3. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе третьей дроби, умножим числитель и знаменатель этой дроби на 
2 :
|
-----2-----+-------3 = (-------2-----+------3----)------2-- = |
2-----+------3--------2-- |
= 1 + 3-- |
2 . |
|
|
|
||
|
2 |
2 2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Та им образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
- - - - - 2 - - - - - + - - - - - 1- - -----+ 2-----–-----1-- – ----- |
2-----+-----3-- = 3 + 2 2 |
+ 3 – 2 2 |
– 1 – 3-- |
2 |
= 5 – 3-- |
2 . |
|||
2 – 1 |
2 + 1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
К упражнению 6в
Умножим числитель и знаменатель дроби на неполный вадрат суммы ради алов, записанных в знаменателе. Имеем
a |
= |
a(3 a2 + 3 ab + 3 b2) |
= |
a(3 a2 + 3 ab + 3 b2) |
. |
|
3------a----–------3-----b- |
(---3-----a-----–-----3-----b----)--(--3-----a----2----+------3-----ab---------+-----3-----b----2---) |
-----------------------a-----–-----b----------------------- |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
К упражнению 6д
1.Запишем знаменатель данной дроби в виде (3 + 
2 ) – 
3 ; то"да для это"о выражения сопряженным является (3 + 
2 ) + 
3 .
2.Умножив числитель и знаменатель дроби на (3 + 
2 ) + 
3 , а затем снова избавляясь от иррациональности в знаменателе, получим
-------------12-------------- |
----- = |
------------------- |
--12-------(---3-----+----------2-----+---------3----)------- |
-------------- |
= --12-------(-----3---+----------2-----+----------3----)- |
= |
||||
3 + 2 – 3 |
((3 + 2) – 3) ((3 + 2) |
+ 3) |
(3 + 2)2 – ( 3)2 |
|
|
|||||
= 12--------(--3-----+----------2-----+----------3----) = 12--------(--3-----+----------2-----+----------3----) = 12--------(--3------+---------2-----+----------3----)---(--8-----–-----6--------2----) |
|
= |
||||||||
9 + 2 + 6 2 – 3 |
8 + 6 2 |
(8 + 6 2)(8 – 6 2) |
|
|
||||||
= 12---------(-3-----+---------- |
2-----+----------3----)---(--8-----–-----6-------- |
2----) = 3(3 |
2 – 4)(3 + 2 + 3 ). |
|
|
|||||
|
|
64 – 72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
К упражнению 6е |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Сначала упрощаем выражение в первых с об ах: |
|
|
||||||||
|
|
1 + x |
|
1 – x 1 – x |
|
|
|
|
||
|
-----1-----+-----x------–---------1-----–-----x-- + - |
----1-----–-----x------------1-----+------x-----–------(------1-----–-----x-----)-2- |
= |
|
|
|||||
= ----------------- |
1-----+------x----- |
--------- + |
------------------1-----–-----x------------1-----–------x-------------- |
= -----1--------+--x------+---------1-----–------x-- = |
|
|||||
1 + x – 1 – x |
1 – x( 1 + x – 1 – x) |
1 + x – 1 – x |
|
|
||||||
= |
( 1 + x + 1 – x)2 |
= |
2 + 2 1 – x2 |
= |
1 + 1 – x2 |
. (1) |
||||
----------------- |
------------------- |
----------------------- |
--------------2-----x--------------- |
--------------x---------------- |
|
|||||
( 1 + x – 1 – x)( |
1 + x + 1 – x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
67
2. Теперь упрощаем выражение во вторых с об ах:
x–2 – 1 – |
1 |
= |
1 – x2 |
– |
1 |
= |
1 – x2 – 1 |
. |
(2) |
||||||
x-- |
------- |
--x----------- |
x-- |
-------- |
--x---------------- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Перемножив дроби (1) и (2), получим |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 + 1 – x2 |
· |
1 – x2 |
– 1 |
= |
( 1 – x2)2 – 1 |
= |
1 – x2 |
– 1 |
= –1. |
||||||
--------------x---------------- |
---------x------- |
-- |
----- |
-- |
----------------- |
x----2---- |
------- |
------ |
-----------x----2---- |
--- |
---- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
К упражнению 7а
З а м е ч а н и е. Отметим, что при выполнении тождественных
преобразований необходимо своевременно со ращать дроби. |
|
|||||||||||||
1. Дробь a---------a-----+-----b--- |
- - - - - |
b- можно со ратить, если выражение, записанное |
||||||||||||
a + |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в числителе, преобразовать та : a |
|
a + b |
b = ( a )3 + ( |
b )3. Поэтому |
||||||||||
a a + b b |
= |
( a + b)( a2 – ab + b2) |
= a + b – |
|
ab . |
|
||||||||
--------a-----+----------b----- |
---------- |
---- |
-------- |
-----------a-----+---- |
-- |
----b--------------- |
-------------- |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. То"да в первых с об ах данно"о выражения получим |
|
|||||||||||||
a---------a-----+-----b--------b- – ab = a + b – ab – ab = ( a – b )2. |
|
|||||||||||||
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Далее имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a – b )2 : (a – b) = |
( a – b)2 |
= |
( a – b)2 |
= |
a – b |
. |
||||||||
-------- |
-a-----–-----b--------- |
|
------------------- |
------------------------- |
--------------------- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( a – b)( a + b) |
|
a + b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. О ончательно находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- |
------- |
a--–---------b-- + ------2--------b------ |
- = -----a-----+----------b- = 1. |
|
|
|
||||||||
|
|
a + b |
a + |
|
b |
a + b |
|
|
|
|
||||
К упражнению 7б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Рассмотрим дробь |
|
a – a–2 |
. Чтобы со ратить ее, вынесем в чис- |
|||||||||||
a-----0,5-------- |
–-----a----–0,5------- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лителе за с об и a–2, а в знаменателе a–0,5. То"да получим
a – a–2
-----------------------------
a0,5 – a–0,5
=a–2(a3 – 1) = a–1,5(a2 + a + 1) =
-------------------------------
a–0,5(a – 1)
=a0,5 + a–0,5 + a–1,5.
68
2. Анало"ично преобразуем вторую дробь:
1 – a–2 |
= |
a–2(a2 – 1) |
= a–1,5(a – 1) = a–0,5 |
– a–1,5. |
||
a----0,5--------- |
+-----a----–0,5-------- |
a----–0,5----------(---a-----+-----1-----) |
||||
|
|
|
||||
3. |
О ончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a0,5 – (a0,5 + a–0,5 + a–1,5) + (a–0,5 – a–1,5) + 2a–1,5 = 0. |
|||||||||||||||||||||||||
К упражнению 7з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Упростим выражения в числителе данной дроби: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
–2 m |
|
a2b2 – 1 m |
|
|
(ab – 1)m(ab + 1)m |
|
|
|
|
||||||||||||
а) (a |
|
– b |
) |
= |
--- |
----- |
-b---2---------- |
- |
|
|
= |
--------- |
----- |
-------- |
b---2---m------ |
---------- |
------- |
- |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
–1 n – m |
|
ab + 1 n – m |
|
(ab + 1)n – m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) (b + a |
|
) |
|
= |
- |
-------a-------- |
|
|
|
|
|
= |
------ |
----a----n----–----m---- |
------- |
. |
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Перемножив дроби (1) и (2), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(ab – 1)m(ab + 1)m |
· |
(ab + 1)n – m |
= |
(ab – 1)m(ab + 1)n |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
---- |
- |
-- |
-------------- |
-b---2---m------- |
----- |
------------ |
----- |
----- |
a----n----–-----m------ |
---- |
--- |
---------b---2-----m------a----n----–----m----- |
-------- |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Упростим выражения в знаменателе данной дроби: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
–2 n |
|
a2b2 – 1 n |
|
(ab – 1)n(ab + 1)n |
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) (b |
|
– a |
) |
= |
---- |
----- |
a----2--------- |
|
|
= |
-- |
--------- |
------ |
----a----2---n----- |
---- |
---------- |
--- |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
–1 m – n |
|
ab – 1 m – n |
|
(ab – 1)m – n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) (a – b |
|
|
) |
|
= |
- |
-------b-------- |
- |
|
|
|
|
= |
------ |
----b----m----–----n---- |
------- |
. |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Перемножив дроби (4) и (5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(ab – 1)n(ab + 1)n |
· |
(ab – 1)m – n |
= |
(ab – 1)m(ab + 1)n |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
--- |
|
--- |
------------- |
--a----2---n------ |
---- |
------------ |
- |
----- |
----b---m-----–------n----- |
---- |
----- |
-------a----2---n-------b---m-----–----n------ |
------- |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Разделив дроби (3) и (6), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(ab – 1)m(ab + 1)n |
|
: |
(ab – 1)m(ab + 1)n |
= |
a2n bm – n |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
-- |
|
--- |
-------b---2---m--------a----n----–----m------------- |
|
--- |
----- |
---- |
a----2---n-------b---m-----–----n----- |
---- |
---- |
b-----2--m--------a----n---- |
–----m-- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
То"да данное выражение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n bm – n |
· |
bna–n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b----2---m-------- |
a----n-----–---m-- |
b----–---m----a----m-- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
7. После упрощений получим ответ: 1.
К упражнению 7и
1. При упрощении данно"о выражения воспользуемся тем, что a = 4
a4 ; 
a = 4
a2 , если a l 0.
69
2. Упростим первую дробь в вадратных с об ах:
a + 4 ab 3 |
= |
4 a4 + 4 ab3 |
= |
4 a(4 a3 + 4 b3) |
= |
|
- - - - - a - - - - - + - - - - - 4 - - - - - ab- - - - - - |
--4-----a----2----+------4-----ab------ |
---4-----a----(---4-----a-----+-----4-----b----)--- |
||||
|
|
|
=(4
a)3 + (4
b)3 = 4 a2 – 4 ab + 4 b2 .
--------------------------------------
4
a + 4
b
3. Найдем разность в ру"лых с об ах:
4
a2 – 4
ab + 4
b2 – 4
ab = 
a – 24
ab + 
b .
4. Упростим вторую дробь в вадратных с об ах:
a – b |
= |
a2 – |
b |
2 |
= a + b . |
- - - - - a - - - - - – - - - - - - - - - b- |
---a-----–--------- |
b--- |
- |
||
|
|
|
5. Найдем разность в вадратных с об ах:
a – 24
ab + 
b – (
a + 
b ) = –24
ab .
6. О ончательно получим –24
ab · (4
ab )–1 = –2.
К упражнению 8а
1.Прежде все"о отметим, что непосредственное умножение и деление заданных выражений в этом и дру"их подобных примерах ниче- "о не дает.
2.Воспользуемся основным свойством дроби, т. е. умножим числитель и знаменатель данно"о выражения на выражение, сопряженное знаменателю:
|
|
(---5--------3-----+----------50-------)---(--5-----–----------24-------)---(------ |
75---------+-----5---------2----) . |
(1) |
|
|
( 75 – 5 2) ( 75 + 5 2) |
|
|
3. Знаменатель выражения (1) представляет собой разность вад- |
||||
ратов, т. е. ( |
75 )2 – (5 2 )2 = 25. |
|
|
|
4. В числителе выражения (1) имеются два одина овых множи- |
||||
теля 5 3 + |
50 и |
75 + 5 2 , т. е. вадрат суммы: (5 3 + |
50 )2. |
|
Упростив (5 |
3 + |
50 )2, получим 25(5 + |
24 ). |
|
5. Подставив в выражение (1) найденные значения, о ончательно имеем
(---5-----–---------24--------)--25-------- |
(--5-----+----------24--------) |
= 25 – 24 = 1. |
25 |
|
|
70