Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

К упражнению 8б

1. Заменим множитель 4 + 15 дру"им выражением:

2. Множитель 4 – 15 запишем та :

4 – 15 = (4 – 15 )1/2.

3. Перемножив степени с одним и тем же основанием, равным 4 – 15 , имеем

---------------------

2

К упражнению 9

1. С орость "рузовой машины составляет 180% от с орости велосипедиста (с орость велосипедиста принимаем за 100%), т. е. она равна

180% · 30 = 1,8 · 30 = 54 ( м/ч).

2. С орость ле" овой машины составляет 160% от с орости "рузовой (за 100% принимаем с орость "рузовой машины), т. е. она равна

160% · 54 = 1,6 · 54 = 86,4 ( м/ч).

71

К упражнению 10

1.Та а за один день испаряется 2% воды, то в онце перво"о дня останется 98% · 100 л = 98 л воды. Анало"ично в онце второ"о дня останется 98% · 98 л = 96,04 л воды, в онце третье"о дня — 98% · 96,04 л = 94,1192 л воды.

2.Этот же результат можно получить, используя формулу слож-

ных процентов: (0,98)3 · 100 = 94,1192.

К упражнению 11а

1. Используя формулу (a + b)(a – b) = a2 – b2, получим

(25 – p2 + 13 – p2 )(25 – p2 – 13 – p2 ) =

=(25 – p2) – (13 – p2) = 12.

2.Учитывая, что 25 – p2 – 13 – p2 = 2, имеем

(25 – p2 + 13 – p2 ) · 2 = 12, или 25 – p2 + 13 – p2 = 6.

72

Т е м а 6

À

Понятие функции. Способы задания функции. Монотонность функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Промежутки знакопостоянства и корни функции. Уравнения с одной переменной. Понятие о равносильности уравнений. Свойства

числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений. Примеры решения уравнений с одной переменной

Теоретичес ие сведения

1. Понятие функции

1°. Ф н цией называют отношение f между множествами X и Y, при отором аждому элементу x Ý X соответствует единственный элемент y Ý Y. При этом используют запись y = f(x). Множество X называют областью определения ф н ции, а мно-

жество {y Ý Y | y = f(x), x Ý X} — множеством значений ф н ции.

2°. Для фун ции f приняты обозначения: D(f) — область определения фун ции; E(f) — множество значений фун ции; f(x0) —

значение фун ции в точ е x0.

3°. Если D(f) ô R и E(f) ô R, то фун цию называют числовой ф н цией.

4°. Фун цию называют та же отображением множества D(f) на множество E(f). Например, для фун ции f, изображенной на рис. 8, а, элементы a, b и c множества A отображаются на элементы 1, 2 и 3 множества B. В этом случае D(f) = A, а E(f) = B. Для фун ции f, изображенной на рис. 8, б, D(f) = {b; c}, а E(f) = {1; 3}.

Рис. 8

73

5°. Элементы множества D(f) та же называют значениями ар мента, а соответствующие им элементы множества E(f) —

значениями ф н ции.

2. Способы задания функции

1°. Фун ция может быть задана аналитичес и в виде формулы y = f(x), 'де переменная x обозначает множество значений ар'умента, а переменная y — множество соответствующих значений фун ции.

Например, уравнение y = x2 определяет не оторую фун - цию, 'де аждому значению переменной x, взятому из области определения фун ции, соответствует единственное значение переменной y = x2.

2°. Фун ция f полностью определяется заданием множества пар (x; f(x)), 'де x пробе'ает все множество D(f), а f(x) — соответствующие значения фун ции.

5°. Для то'о чтобы данное множество являлось 'рафи ом не оторой фун ции, необходимо и достаточно, чтобы прямая, параллельная оси Oy, пересе алась с у азанным 'рафи ом не более чем в одной точ е.

3. Монотонность функции

1°. Фун цию f(x) называют возрастающей на данном числовом промежут е X, если большему значению ар'умента x соответствует большее значение фун ции f(x), т. е. если x2 > x1,

то f(x2) > f(x1) для любых x1, x2 Ý X.

74

75

5. Периодические функции

1°. Фун цию f называют периодичес ой, если существует та ое число T − 0, что при любом x из области определения фун ции числа x – T и x + T та же принадлежат этой области и выполняются равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T). В этом случае число T называют периодом фун ции f.

2°. Если T — период фун ции, то Tn, 'де n Ý Z, — та же период фун ции. Следовательно, вся ая периодичес ая фун ция имеет бес онечное множество периодов. На пра ти е обычно рассматривают наименьший положительный период.

3°. Значения периодичес ой фун ции через промежуто , равный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при построении 'рафи ов.

6. Промежутки знакопостоянства и корни функции

1°. Числовые промежут и, на оторых фун ция сохраняет свой зна (т. е. остается положительной или отрицательной), называют промеж т ами зна опостоянства фун ции.

2°. О промежут ах зна опостоянства фун ции ле' о судить по ее 'рафи у. Рассмотрим, например, фун цию y = x (рис. 14). Здесь f(x) > 0 при x Ý R+ и f(x) < 0 при x Ý R–. В первом случае 'рафи расположен выше оси Ox, во втором — ниже ее.

3°. Значения ар'умента x Ý D(f), при оторых f(x) = 0, называют орнями (или н лями) ф н ции. Корни фун ции — это точ и пересечения ее 'рафи а с осью Ox (рис. 15).

7. Уравнения с одной переменной

1°. Уравнением с одной переменной называют предложение с переменной f(x) = g(x). Значение переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, называют орнем равнения.

2°. Решить уравнение — значит найти множество е'о орней. Это множество называют та же решением равнения.

76

3°. Множество всех x, при оторых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называют областью определенияравнения.

4°. Для то'о чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на оторых определены данные фун ции f(x) и g(x).

Найдем, например, область определения уравнения x + 3 =

= 1 + –x . Здесь f(x) = x + 3 ; g(x) = 1 + –x ; D1(f) = [–3; +×); D2(g) = (–×; 0]; следовательно, D = D1 ∩ D2 = [–3; 0].

8. Понятие о равносильности уравнений

1°. Если из истинности выс азывания A следует истинность выс азывания B, то употребляется зна ло'ичес о'о следования ^, т. е. A ^ B.

2°. Если A ^ B и B ^ A, то та ие выс азывания (предложения) называют равносильными. Это записывают та : A _ B.

3°. Анало'ично два уравнения называют равносильными (или э вивалентными) на данном числовом множестве, еслиаждое решение ( орень) одно'о уравнения является решением ( орнем) дру'о'о, и наоборот.

4°. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они та же считаются равносильными на этом множестве.

5°. Очевидно, что равносильные уравнения имеют одно и то же множество решений, принадлежащих области определения этих уравнений. Например, уравнения x2 – 1 = 0 и (x – 1)(x + 1) = 0 равносильны: множество их решений та ово: {–1; 1}.

6°. Уравнения x2 + 1 = 0 и x4 + 2 = 0 равносильны на множестве действительных чисел, та а множество решенийаждо'о из них — пустое. На множестве омпле сных чисел эти уравнения уже не являются равносильными.

9. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений

1°. Числовое равенство не нарушится, если обеим е'о частям прибавить или отнять одно и то же число.

2°. Числовое равенство не нарушится, если обе е'о части умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

77

На этих свойствах основаны теоремы о равносильности уравнений.

3°. Если обеим частям уравнения f(x) = ϕ(x) прибавить одну и ту же фун цию A(x), имеющую смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится новое уравнение f(x) + A(x) = ϕ(x) + A(x), равносильное данному.

4°. Любое сла аемое можно перенести из одной части уравнения в дру ую с противоположным зна ом.

5°. Если обе части уравнения f(x) = ϕ(x) умножить (или разделить) на одну и ту же фун цию A(x) − 0, имеющую смысл для любо о x из области определения, то получится

сильное данному.

10. Примеры решения уравнений с одной переменной

Заметим предварительно, что при решении уравнения необходимо производить толь о та ие операции, при оторыхаждое следующее уравнение являлось бы следствием предыдуще'о. В противном случае может быть расширена область определения уравнения и получены посторонние орни, или наоборот, сужена область определения уравнения и мо'ут быть потеряны орни.

При решении уравнения ре омендуется следующее:

а) перенести все члены уравнения в одну часть равенства; б) полученное выражение представить в виде дроби (если

это возможно); в) использовать условие равенства дроби нулю.

Примеры. 1. Решить уравнение

2(y + 5)2 – (y – 5)(y + 5) – y(y + 25) = 0, 2y(y – 5)(y + 5) − 0;

2y2 + 20y + 50 – y2 + 25 – y2 – 25y = 0, 2y(y – 5)(y + 5) − 0;

78

y = 15,

2 · 15(15 – 5)(15 + 5) − 0 — истинное выс азывание.

Ита , получаем ответ: y = 15.

x = 5,

5 + 5 − 0 — истинное выс азывание;

x = –5,

–5 + 5 − 0 — ложное выс азывание.

Та им образом, получаем ответ: x = 5.

3. Решить уравнение x + 2 = ax, содержащее параметр a (переменную, оторая в условии данной задачи сохраняет одно

ито же значение).

Ре ш е н и е. Имеем x – ax = –2; (1 – a)x = –2; если 1 – a − 0,

множество орней данно'о уравнения является пустым. Ита ,

то 0 · x = 0, т. е. x — любое действительное число. Ита , если a − 0, то уравнение имеет единственный орень, равный 1; если a = 0, то орнем уравнения служит любое действительное число.

79

3.До ажите, что фун ция, заданная формулой y = 3x2, 'де x l 0, — возрастающая.

80