Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

Рис. 94

Рис. 96

Рис. 95

2°. Отметим не оторые свойства степенной фун ции y = xk (k Ý N):

а) область определения — множество R всех действительных чисел;

б) при любом k рафи проходит через начало оординат и точ у (1; 1);

в) если k — четное число, то фун ция является четной и ось Oy служит осью симметрии рафи а;

) если k — нечетное число, то фун ция является нечетной и начало оординат служит центром симметрии рафи а.

3°. Рассмотрим фун цию y = x0, т. е. частный случай степенной фун ции при k = 0. Область определения этой фун ции — множество всех действительных чисел, роме нуля, т. е. D(f) =

= (–×; 0) (0; +×). Графи

ом фун

ции y = x0 служит прямая

y = 1, из

оторой удалена точ а (0; 1)

(рис. 96).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°. Рассмотрим теперь фун цию y =

 

 

 

= xk (k Ý Z), т. е. степенную фун

цию

 

 

 

 

 

 

 

с целым отрицательным по азателем.

 

 

 

Если k = –1, то получается фун ция y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

–1

1

, рафи ом

оторой служит

 

 

 

 

 

= --

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ипербола (рис. 97); если k = –2, то по-

 

 

 

лучается фун ция y = x

–2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ----- , рафи

 

 

 

 

 

 

x2

 

Рис. 97

 

 

 

 

 

 

 

161

 

 

 

 

оторой изображен на рис. 98. При нечет-

 

 

 

 

ном k рафи

фун ции y = xk вы лядит

 

 

 

 

та же, а

и рафи

фун ции y = x–1,

 

 

 

 

а при четном k —

а

и рафи фун ции

 

 

 

 

y = x–2.

 

 

 

 

 

 

 

5°. Отметим не оторые свойства сте-

 

 

 

 

пенной фун

ции y = xk (k Ý Z):

 

 

 

 

 

 

 

 

а) область определения — множество

 

 

 

 

Рис. 98

всех действительных чисел, роме нуля,

 

 

 

 

т. е. D(f) = (–×; 0) (0; +×);

б) если k — четное число, то фун ция является четной и ось

Oy служит осью симметрии рафи а;

 

 

в) если k — нечетное число, то фун

ция является нечетной

и ее рафи симметричен относительно начала оординат.

3. Функция y = k x

1°. Фун ция y = xk, k Ý N (k > 1) возрастает на множестве [0; +×), а множеством ее значений та же является множество [0; +×) (см. рис. 91—95). Значит, для фун ции y = xk существует обратная фун ция, определенная на множестве [0; +×) и принимающая значения из множества [0; +×). Эта обратная

фун ция обозначается та : y = k x .

2°. Для построения рафи а фун ции

Рис. 99

y = kx , де x Ý [0; +×) и k Ý N (k > 1), можно воспользоваться свойством симметрии рафи ов взаимно обратных фун ций относительно прямой y = x (см. п. 1). На-

пример, рафи фун ции y = 3x симмет-

ричен рафи у фун ции y = x3 относительно прямой y = x (рис. 99).

4. Иррациональные уравнения

1°. Уравнения, в оторых переменная содержится под знаом орня, называют иррациональными.

2°. Решение иррациональных уравнений сводится переходу от иррационально о рациональному уравнению с помощью возведения в степень обеих частей уравнения.

162

3°. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних орней. Поэтому при использовании у азанно о метода следует проверить все найденные

орни подстанов ой в исходное уравнение. Пример. Решить уравнение:

а) 2x – 3 = x – 2 ; б) x – 1 = 3 – x.

Р е ш е н и е. а) Возведя обе части уравнения в вадрат, получим 2x – 3 = x – 2, от уда x = 1. Провер а по азывает, что этот орень — посторонний (при x = 1 обе части уравнения не имеют смысла). Значит, данное уравнение не имеет орней.

б) Возведем обе части уравнения в вадрат:

x – 1 = (3 – x)2; x – 1 = 9 – 6x + x2; x2 – 7x + 10 = 0,

т. е. x = 2, x = 5. Провер ой убеждаемся, что x = 5 — посторонний орень, а x = 2 удовлетворяет уравнению.

4°. Заметим, про провер у можно упростить, если найти область определения данно о уравнения. Например, для уравнения

2x – 3

= x – 2 областью определения служит луч [2; +×)

и та а

1 Ô [2; +×), то x = 1 — посторонний орень.

5. Иррациональные неравенства

Неравенства, в оторых переменная содержится под зна ом орня, называют иррациональными. Основным методом решения та их неравенств является метод возведения в степень. При этом решение иррациональных неравенств сводится решению рациональных неравенств или систем рациональных неравенств.

Пример. Решить неравенство:

а) x – 1 < 3 – x; б) x – 1 > 3 – x.

Р е ш е н и е. а) Область определения неравенства задается условием x – 1 l 0. Далее, по смыслу неравенства должно выполняться условие 3 – x > 0. При этих условиях обе части неравенства неотрицательны и поэтому можно использовать метод возведения в вадрат. В результате данное неравенство сводит-

ся следующей системе неравенств:

 

 

x – 1 l 0,

 

 

x l 1,

 

 

 

 

 

3 – x > 0,

_

 

x < 3,

_ 1 m x < 2,

 

 

 

x – 1 < (3 – x)2

 

 

(x – 2)(x – 5) > 0

 

т. е. решением неравенства служит промежуто [1; 2).

163

б) Область определения неравенства та же задается условием x – 1 l 0. Если при этом 3 – x < 0, то выполняется и данное неравенство (та а в левой части о ажется неотрицательное число, а в правой — отрицательное). Если же 3 – x l 0, то, а и в предыдущем случае, обе части неравенства можно возвести

в вадрат. Та

им образом, данное неравенство сводится сле-

дующей сово

упности систем неравенств:

 

 

x – 1 l 0,

 

x – 1 l 0,

 

 

 

 

 

 

3 – x l 0,

 

 

 

 

 

3 – x < 0;

 

 

 

 

x – 1 > (3 – x)2.

 

 

 

 

Решением первой системы служит от рытый луч (3; +×), а решением второй системы — промежуто (2; 3]. Объединяя эти множества, находим решение данно о неравенства: (2; +×).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Ка ую фун цию называют обратной по отношению данной?

2.Фун ция задана формулой

y = x2 на множестве {–2; –1; 0; 1; 2}. Найдите множество значений фун ции. Почему эта фун - ция не является обратимой?

3.Фун ция, заданная формулой y = 2x – 3, — возрастающая. Почему она обратима?

4.Фун ция, заданная форму-

лой y = x4 на множестве отрицательных чисел, — убывающая. Можно ли утверждать, что данная фун ция имеет обратную?

5.Относительно )рафи а а-ой фун ции симметричны )рафи и взаимно обратных фун - ций?

6.Задайте формулой фун - цию, обратную данной: а) y = 5x; б) y = –4x; в) y = 5x – 10; )) y =

=0,1x + 1.

7. До ажите, что фун ции,

заданные формулами y = 1 и

-------------

x – 2

y = 2x + 1 , взаимно обратны.

-----------------

x

8. Постройте )рафи фун - ции, заданной формулой y = xk при: а) k = 1; б) k = 2; в) k = 3; )) k = –1; д) k = –2; е) k = 1/2; ж) k = 1/3; з) k = –1/2.

9. До ажите, что а ово бы ни было натуральное число k, )рафи фун ции y = xk проходит через начало оординат и точ у (1; 1).

10. До ажите, что если k — четное число, то ось Oy служит осью симметрии )рафи а фун - ции y = xk.

11. До ажите, что если k — нечетное число, то начало оординат служит центром симметрии )рафи а фун ции y = xk.

164

12. Даны две фун ции: y = xk,

)де x l 0 и k Ý N (k > 1), и y = kx . Постройте их в одной системе о- ординат. Ка ими общими свойствами они обладают?

13. Найдите область определения фун ции:

а) y = x – 5 ; б) y = 3x – 1 ;

в) y = 44 – x ; )) y = –x2 . 14. Постройте )рафи фун -

ции:

а) y = x ; б) y = x – 1 ; в) y = 1 – x ;

)) y = –x – 1 ;

д) y = x – 2 + 3; е) y = –x – 2 + 3; ж) y = 2 – x – 3.

15.Ка ое уравнение называют иррациональным?

16.Почему при решении иррациональных уравнений необходимо делать провер у? Ка им образом ее можно упростить?

17.Объясните, почему не имеет решений уравнение:

а)

x – 15 – 12 – x = 3;

б)

3 + x – 1 = 1;

в) x – 3 + x + 3 = – 1.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Задайте формулой фун цию, обратную данной фун ции f. Постройте рафи и данной и обратной ей фун ций, если фун -

ция f задана формулой y = 5x + 4 , де x < 0.

-----------------

x

2. Решите уравнение:

а) 35 – x + 35 + x = 1;

б) x2 + x + 4 + x2 + x + 1 = 2x2 + 2x + 9 ; в) 39 – x + 1 + 37 + x + 1 = 4;

) 3x2 – 2x + 15 + 3x2 – 2x + 8 = 7; д) |x – 5 – 2 | + |x – 5 – 3| = 1;

е)

x------+-----1--

-x----------1--

= 1,5;

 

 

x – 1

 

x + 1

 

 

ж)

------x-------

+

------x-------

= 2;

з) 3 x – 2 + x + 1 = 3;

 

1 – x

 

1 – x

 

 

и) 3x – a – 3x = 1;

) a – a + x = x;

л) 32 – x + x – 1 = 1; м) 2 x – x2 = a.

165

3. Решите систему:

а) y = x – 3 ,

y + |x – 3| = 2.

Найдите частное x0 : y0; здесь и далее (x0; y0) — решение сис-

темы.

б)

x = y,

|x – 4| = y – 2.

Найдите разность x0 – y0.

) y + 2 = x + 4 , y + |x – 5| = 1.

Найдите отношение x0 .

-----

y0

|x – 3| = y + 4,

е)

25 – x2 = y. Найдите сумму x0 + y0.

4. Решите уравнение:

а) 9 – 4x x – 4 = 4x + 3; в) 4 – 7x x + 2 = 3x + 2;

в)

 

x – y = 0,

 

 

y + |x – 4| = 2.

 

Найдите произведение x0y0.

д) y + 16 – x2 = 0, y + 1 = |x – 5|.

Найдите разность y0 – x0.

y(x – 2) = 6,

ж)

y + (x – 3)2 = 0. Найдите разность x0 – y0.

б) 25x x – 1 + 4 = 5x – 3;) 36 + 5x x + 3 = 6 + x.

З а м е ч а н и е. В этом и следующем упражнениях приведены нетрадиционные иррациональные уравнения, оторые были предложены на ЕГЭ.

5. Решите уравнение:

а) 2x + 2x2 – 9 + 2x = 9 + 2x + 3 + x – 3 ;

б) 4x + 2

4x2 – 25 + 4 = x + 2x + 5 ;

в) 6x + 2

9x2 – 49 + 11 = x + 2 3x + 7 + 3x – 7 ;

)

2x – 2 x2 – 16 + x = 16 + x + 4 – 2 x – 4 ;

д) x + 3 – 4

x – 1 + x + 3 + 2 x + 2 = 4;

е)

x + 5 + 2

x + 4 + x + 13 – 6 x + 4 = 4;

ж) x – 1 + x + 7 = 2x – 2 + 2x + 2 ;

166

з) 11x + 3 + x – 2 = 9x + 7 + 2 – x ; и) 2(x + 36 – x + 1 ) = 5(x + 4 – x ); ) x – 3 – 4x – 19 = 18 – 2x – x + 2 ;

л) 5(x + 11 + x + 2 ) = 3(x + 18 + x + 3 ).

6. Решите неравенство:

а)

-2---x------+-----7-- l 0; б) -----

3----x-----+-----11------ m 0; в) x2 – x > 2x + 1;

 

3x + 1

 

 

 

4 + x

 

 

 

 

 

 

) x2 – x > 2x – 1;

д) -----10-------x-----------1----------x----------2-- l 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 3 + x – 6

е) -----5----------2----x-------+----x------------3 l 0;

ж) -----2----x-----+-----5-----+------x-----------5- m 0;

 

 

2x + 7 + x – 4

 

 

6 – x – 2x + 9

з)

----

-5----x----------4--

l -----x---------------2 - ;

и)

-----3----x-----+-----2-- m -----x-----+-----3------ ;

 

 

x + 4

 

5x – 4

 

x – 2

 

 

3x + 2

) x2 – x – 12 < x;

л) x2 – 3x + 2 > x + 3.

 

 

 

 

 

 

Задания для повторения

 

7. В 4

сплава меди и олова содержится 40% олова. С оль-

о ило раммов олова надо добавить

этому сплаву, чтобы е о

процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?

8. Найдите значение выражения:

 

 

 

 

а) 3 10 +

73 · 3 10 – 73 ;

б)

3------(--4-----+-------

---

17-------)---2

+ 17 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4 –

 

17

 

в)

4

9 – 65 ·

4

9 + 65 ;

)

273

 

2 / 9

 

 

 

125------------6 -

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Дано уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

а) ax – 2x = 3(x – 1); б) a(1 – x) + 2 = 3x – ax.

При

а их значениях a это уравнение: имеет единственное

решение; не имеет решений; имеет бес

онечное множество ре-

шений?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Равносильны ли уравнения x + 3 = 0 и x2 – 3 = 0 на множестве: а) рациональных чисел; б) целых чисел; в) действительных чисел?

167

О Т В Е Т Ы

1. y =

------4-----

-- , x < 5. 2. а) x1 = –

52 , x2 = 52 ; б) x1 = –1, x2 = 0;

 

x – 5

 

 

в) x = 0; )) x1

= –1-- , x2 = 1; д) x Ý [9; 14]; е) x = 5--

; ж) x = 1-- ; з) x = 3;

 

 

3

3

2

и) x = a-----+---------

-2----a----------1-- при a l 1; ) если a = 0, то x = 0; если a Ý [1; +×), то

 

6

 

 

 

единственный орень x = -----4----a----------3----------1--

; если a Ý (–×; 0) (0; 1), то нет

 

 

2

 

 

орней; л) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 10; м) если a < 0 или a > 1, то нет орней; если a = 1, то два орня: x1 = –1, x2 = 1; если 0 < a < 1, то четыре

орня: x

3, 4

= ä(1 + 1 – a2 ), x

5, 6

= ä(1 – 1 – a2 ); если a = 0, то x

7

=

= x8 = 0. 3. а) 4; б) 2; в) 2; )) 5; д) –4; е) –1; ж) 3. 4. а) x = 0; б) x = 1; в) x = 0; )) x1 = –4,5, x2 = –0,75, x3 = 0. 5. а) x = 6; б) x = 7; в) x = 6; )) x = 13; д) x1 = 2, x2 = 5,84; е) x l 5; ж) x = 2; з) x = 2; и) x = 0;

16

 

7

1

11

, x < –4;

) x1 = ------ , x2 = 7; л) x = –2. 6.

а) x = –-- , x

> –--

; б) x = –------

3

 

2

3

3

 

13 – 5

 

 

 

7

m x < 1;

в) x < -------------------- ; )) x m 0; д) 0,1 m x m 1, 3 < x m 5; е) x = 2, –--

6

 

 

 

2

 

 

4

 

2

 

 

ж) –2,5 m x m 2, 5 < x m 6; з) --

< x m 4; и) –-- < x < 2, x l 4; ) x l 4;

 

5

 

3

 

 

7

 

9

. 9. а) Если a − 5, то един-

л) x < –-- . 7. 2,8 ). 8.

а) 3; б) –4; в) 2; )) ---------

9

 

625

 

 

 

ственное решение x =

3

 

 

 

 

------------ ; если a = 5, то нет решений; б) единствен-

 

5 – a

 

 

 

 

a + 2

при всех a Ý R. 10. а) Да; б) да; в) нет.

 

ное решение x = -------------

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1

 

 

 

 

1.

Выразив x через y, имеем

 

 

 

4

;

4

= y – 5;

4

 

y = 5 + --

--

x = ------------ .

 

x

 

x

 

y – 5

2.

 

 

 

 

4

Заменив x на y, а y на x, получим y = ------------- .

 

 

 

 

 

x – 5

168

3.Найдем область определения обратной фун ции; она совпадает с множеством значений заданной фун ции.

4.Этим множеством служит промежуто –× < x < 5 (рис. 100).

5. Ита , y = 4 , x < 5 — фун -

-------------

x – 5

ция, обратная данной.

К упражнению 2а

1. Возведя обе части данно)о уравнения в уб и используя известное тождество (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), получим

Рис. 100

(5 – x) + (5 + x) + 33 (5 – x)(5 + x) (3 5 – x + 3 5 + x ) = 1.

(1)

2. Та а по условию 3 5 – x + 3 5 + x = 1, то после подстанов и

уравнение (1) примет вид

 

10 + 33 25 – x2 = 1, или 3 25 – x2 = –3.

(2)

3. Возведя обе части уравнения (2) в уб, имеем 25 – x2 = –27, от-

уда находим x1 = –52 ; x2 =52 .

К упражнению 2д

1.Сначала найдем ОДЗ уравнения: x – 5 l 0, от уда x l 5.

2.Теперь найдем точ и на числовой прямой, в оторых выражения, записанные под зна ом модуля, равны нулю:

x – 5 – 2 = 0, x – 5 – 3 = 0, т. е. x1 = 9, x2 = 14.

3. Точ и x1 = 9 и x2 = 14 делят промежуто 5 m x < +× на три промежут а: 5 m x m 9, 9 < x m 14 и 14 < x < +×. Отметим зна и выраже-

нийx – 5 – 2 и x – 5 – 3 в этих промежут ах (рис. 101).

Рис. 101

169

4. В соответствии с у азанными зна ами имеем:

а) если x Ý [5; 9], то –x – 5 + 2 – x – 5 + 3 = 1; x – 5 = 2, x = 9; б) если x Ý (9; 14], то x – 5 – 2 – x – 5 + 3 = 1; 1 = 1; x Ý (9; 14];

в) если x Ý (14; +×), то x – 5 – 2 + x – 5 – 3 = 1; x – 5 = 3, x = 14 Ô (14; +×).

5. Объединяя решения, найденные в пп. 4а и б, за лючаем, что орнями уравнения являются все числа, принадлежащие отрез у [9; 14].

К упражнению 2з

1. Введем обозначения 3x – 2 = u, x + 1 = v, то)да данное уравнение будет э вивалентно системе

v l 0,

(1)

u + v = 3,

(2)

v2 – u3 = 3.

(3)

2.Выразив v через u из уравнения (2) и подставив это выражение

вуравнение (3), получим

u2 – u3 – 6u + 6 = 0, или (1 – u)(u2 + 6) = 0,

от уда u = 1. Ита , x = 3.

К упражнению 2и

1. Требуется решить уравнение

3x – a – 3x = 1.

(1)

2. Найдем ОДЗ уравнения (1): x l 0, a – 3x l 0 (a l 3x ^ a l 0);

значит, 0 m x m a .

--

3

3. Для освобождения от ради алов в данном уравнении надо до-

полнительно потребовать выполнения неравенства 3x – a – 3x > 0, та а правая часть уравнения (1) — положительное число.

4. Та им образом, условие для возведения в вадрат имеет вид

3x > a – 3x, т. е.

a

x > -- .

 

6

5. Ита , должны выполняться следующие о)раничения:

a l 0,

a

и

a

x > --

x m -- .

 

6

 

3

170

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]