Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3. Та им образом, на долю заряда остается 1 массы патрона.

------

12

4. Обозначив массу патрона через x, получаем пропорцию

1

------

-------- -- --------

12 = 1 , от уда x = 0,8 = 9,6 ( )).

0,8 x 1

------

12

К упражнению 29

1.Процент прибыли берется по отношению себестоимости (принимаемой за 100%).

2.Следовательно, продажная цена 1386 р. составляет 100% + 10% =

=110% от себестоимости.

3.Обозначив себестоимость через x, получаем пропорцию

К упражнению 30

1.Убыто исчисляется в процентах по отношению себестоимости (принимаемой за 100%).

2.Значит, 3348 р. — это 96% себестоимости.

3.Пусть x — себестоимость проду ции. То)да получим пропорцию

121

Т е м а 8

À

Неравенства. Основные свойства неравенств. Действия с неравенствами. Доказательство неравенств. Неравенства, содержащие переменную.

Решение линейных и квадратных неравенств

Теоретичес ие сведения

1. Неравенства

1°. При сравнении двух действительных чисел x и y возможны три случая: x = y (x равно y); x > y (x больше y) и x < y (x меньше y). При этом:

x = y то'да и толь о то'да, о'да разность x – y равна нулю; x > y то'да и толь о то'да, о'да разность x – y положи-

тельна (например, 6 > 2, та а 6 – 2 = 4 > 0);

x < y то'да и толь о то'да, о'да разность x – y отрицательна (например, 6 < 10, та а 6 – 10 = –4 < 0).

2°. Используя зна равносильности, утверждения п. 1° можно записать в следующем виде:

x = y _ x – y = 0; x > y _ x – y > 0; x < y _ x – y < 0.

3°. Часто употребляется запись x l y или, что то же самое, y m x. Это означает, что либо x > y, либо x = y и читается та : «x не меньше y» или «x больше или равно y».

4°. Символичес ую запись, в оторой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены зна ом >, <, l или m, называют неравенством.

5°. Неравенства, составленные с помощью зна ов l или m, называют нестро ими; неравенства, составленные с помощью зна ов > или <, — стро ими.

6°. Два неравенства вида a > b и c > d называют неравенствами одина ово о смысла. Например, 5 > 2 и –3 > –6 — это неравенства одина ово'о смысла, а неравенства 5 > 3 и 6 < 10 являются неравенствами противоположно'о смысла.

122

7°. Кроме неравенств вида x > y, x < y, употребляются еще неравенства вида x < a < y, оторые называют двойными неравенствами.

8°. Выс азывание x < a < y истинно то'да и толь о то'да,о'да одновременно истинны оба выс азывания: a > x и a < y, т. е. (x < a < y) _ (x < a) ∩ (a < y).

9°. Двойное неравенство x m a < y означает, что (x m a < y) _ _ ((x < a) (x = a)) ∩ (a < y).

10°. Неравенства, содержащие толь о числа, называют числовыми. Например, 5 > 3; –3 < 0; –2 > –5 — числовые неравенства.

11°. Если неравенство представляет собой истинное выс а- зывание, то е'о называют верным.

12°. Если неравенство содержит бу венные выражения, то оно является верным лишь при определенных значениях входящих в не'о переменных. Например, неравенство (a + b)2 l 0 верно при любых значениях a и b, та а вадрат любо'о числа есть число неотрицательное; неравенство x2 > 0 верно при любых значениях x, роме нуля.

2. Основные свойства неравенств

1°. Если a > b, то b < a.

2°. Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности). 3°. Если обеим частям верно о неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т. е. ес-

ли a > b, то a + c > b + c.

4°. Если из одной части верно о неравенства перенести в дру ую а ое-либо сла аемое, изменив е о зна на противоположный, то получится верное неравенство, т. е. если a + b > c, то a – c > –b.

5°. Если обе части верно о неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если a > b, то 5a > 5b.

6°. Если обе части верно о неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить зна неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если a > b, то a · (–1) < b · (–1), т. е. –a < –b.

7°. Та а деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то анало'ичные правила справедливы и для

123

3. Действия с неравенствами

1°. Неравенства одина ово'о смысла можно почленно с ладывать. Например,

2°. Неравенства противоположно'о смысла можно почленно вычитать, оставляя зна то'о неравенства, из оторо'о производится вычитание. Например,

a – c > b – d

3°. Неравенства одина ово'о смысла с положительными членами можно почленно умножать. Например, если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd.

4°. Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Например, если a > b, то ak > bk, 'де a > 0, b > 0, k Ý N.

Верно и обратное утверждение: если ak > bk, a > 0, b > 0, k Ý N, то a > b.

4. Доказательство неравенств

У ажем не оторые приемы до азательства неравенств.

1°. Использование определения понятия «больше» или «меньше» (т. е. рассмотрение разности между левой и правой частями неравенства).

Р е ш е н и е. Рассмотрим разность

Это неравенство означает, что среднее арифметичес ое двух

неотрицательных чисел не меньше их средне о еометричес о-о, причем равенство дости ается толь о в том случае, о - да a = b.

124

2°. Использование известных неравенств.

нее арифметичес ое не меньше средне'о 'еометричес о'о, т. е.

Ита , сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.

3°. Использование действий с неравенствами (почленное сложение, вычитание, умножение и др.).

Примеры. 1. До азать, что

a + b + c l ab + bc + ac , если a l 0, b l 0, c l 0.

Р е ш е н и е. Для неотрицательных чисел a, b и c верны неравенства

С ладывая эти неравенства почленно, после упрощения получим

a + b + c l ab + bc + ac .

2. До азать, что

(a + b)(b + c)(a + c) l 8abc, если a l 0, b l 0, c l 0.

Р е ш е н и е. Имеем

a + b l 2ab ; b + c l 2bc ; a + c l 2ac .

Все эти неравенства одина ово'о смысла с неотрицательными членами можно перемножить:

(a + b)(b + c)(a + c) l 2ab · 2bc · 2ac ,

или

(a + b)(b + c)(a + c) l 8abc.

3. До азать, что при любых значениях x и y верно неравенство

5x2 + 4xy + y2 + 2x > –5. (*)

125

Полученное неравенство (**) верно, пос оль у (2x + y)2 l 0, (x + 1)2 l 0 и 4 > 0. Та а неравенство (**) верно, то и неравенство, из оторо'о оно получено, та же верно (на основании свойств неравенств); следовательно, верно и предшествующее неравенство, а значит, и данное неравенство (*), что и требовалось до азать.

5. Неравенства, содержащие переменную

1°. Решить неравенство, содержащее переменную, — значит найти множество значений переменной, при оторых данное неравенство является верным. Элементы это'о множества называют решениями неравенства.

2°. Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называют равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам (множества решений этих неравенств совпадают).

3°. Решение неравенств основано на их свойствах (см. п. 2). Используя эти свойства, можно сформулировать теоремы о равносильности неравенств (анало'ичные теоремам о равносильности уравнений).

4°. Если обеим частям неравенства f1(x) > f2(x) прибавить

(или вычесть) любую фун цию ϕ(x), область определения оторой принадлежит области определения данно о неравенства*, то получится новое неравенство, равносильное данному.

5°. Любое сла аемое, определенное для всех значений переменной, можно перенести из одной части неравенства в дру-ую, изменив зна это о сла аемо о на противоположный.

6°. Если обе части неравенства f1(x) > f2(x) умножить

(или разделить) на любую фун цию ϕ(x), определенную для всех значений переменной x из области определения данно о неравенства, сохраняющую постоянный зна и отличную от ну-

* Здесь и далее под областью определения неравенства будем понимать пересечение множеств, на оторых определена аждая из фун ций f1 и f2, входящих в неравенство.

126

ля, то при ϕ(x) > 0 получится неравенство, равносильное данному, а при ϕ(x) < 0 равносильным данному является неравенство противоположно о смысла.

6. Решение линейных и квадратных неравенств

1°. Линейным неравенством называют неравенство вида

ax + b > 0 (или ax + b < 0).

Если a > 0, то ax + b > 0 _ x > – b ;

--

a

если a < 0, то ax + b > 0 _ x < – b .

--

a

Пример. Решить неравенство 15 – 3x l 0.

Р е ш е н и е. Перенеся 15 в правую часть неравенства с противоположным зна ом, получим –3x l –15. Теперь разделим обе части последне'о неравенства на отрицательное число (–3) и изменим зна неравенства на противоположный: x m 5. Та-им образом, множеством решений данно'о неравенства служит луч (–×; 5].

2°. Квадратным неравенством называют неравенство вида

ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c < 0).

Пусть требуется решить неравенство ax2 + bx + c > 0. В зависимости от зна а дис риминанта D = b2 – 4ac имеются три возможности.

1.Если D < 0, то 'рафи вадратно'о трехчлена f(x) = ax2 +

+bx + c не пересе ает ось Ox и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая (рис. 46, а), а во втором оно является пустым (рис. 46, б).

Рис. 46

127

Рис. 47

2. Если D > 0, то 'рафи вадратно'о трехчлена пересе ает ось Ox в точ ах x1 и x2 (x1 < x2), служащих орнями уравнения

ax2 + bx + c = 0. Эти точ и разбивают числовую прямую на три промежут а: (–×; x1), (x1; x2) и (x2; +×).

При этом зна вадратно'о трехчлена совпадает со зна омоэффициента a во всех точ ах промежут ов (–×; x1) и (x2; +×)

и противоположен зна у оэффициента a во всех точ ах промежут а (x1; x2) (рис. 47, а и б).

3. Если D = 0, то 'рафи вадратно'о трехчлена асается оси Ox точ е x1, являющейся единственным орнем уравнения ax2 + + bx + c = 0. Точ а x1 разбивает числовую прямую на два промежут а: (–×; x1) и (x1; +×). Зна вадратно'о трехчлена совпадает со зна ом оэффициента a при всех x − x1 (рис. 48, а и б).

Пример. Решить неравенство:

а) 2x2 – x – 1 > 0; б) x2 + 3x + 8 l 0; в) –3x2 + 10x – 3 > 0; ') 4x2 + 4x + 1 > 0.

Рис. 48

128

Ре ш е н и е. а) Здесь f(x) = 2x2 – x – 1, D = 1 – 4 · 2(–1) =

=9 > 0; (2x2 – x – 1 = 0) _ (x1 = –0,5, x2 = 1). В результате по-

лучаем три промежут а: (–×; –0,5), (–0,5; 1) и (1; +×). Таа a = 2 > 0, то f(x) > 0 в промежут ах (–×; –0,5) и (1; +×). Значит, решением данно'о неравенства служит объединение этих промежут ов: (–×; –0,5) (1; +×).

б) Здесь f(x) = x2 + 3x + 8, D = 9 – 32 = –21 < 0. Та а a = 1 > 0, то f(x) > 0 для всех x Ý R, т. е. неравенство справедливо на промежут е (–×; +×).

в) Здесь f(x) = –3x2 + 10x – 3, D = 100 – 4 · 9 = 64 > 0. Имеем

но'о неравенства.

') Здесь f(x) = 4x2 + 4x + 1, D = 16 – 16 = 0, (4x2 + 4x + 1 = = 0) _ (x1 = –0,5). Та а a = 4 > 0, то f(x) > 0 при всех x − 0,5. Значит, решением неравенства служит объединение промежут-ов: (–×; –0,5) (–0,5; +×).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

129

УПРАЖНЕНИЯ

1. Решите неравенство:

а) ax – 3 < 2x + 1; б) x + 4 > nx – 7; в) 3 – ax < 2x + 1. 2. Решите неравенство:

3. До ажите, что:

а) (x + y)2 l 4xy; б) x3 + y3 l x2y + xy2 (x > 0, y > 0);

ж) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc, 'де a > 1, b > 1, c > 1; з) 5x2 + 4xy + y2 + 2x > –5; и) x2 + 2y2 + 2xy + 6y + 10 l 0. 4. Решите неравенство:

6. Найдите наименьшее целое числа, принадлежащее области определения фун ции:

130