Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

4.При а ом значении ар'умента x фун ция y = x2 – 2x – 15 принимает наименьшее значение?

5.До ажите, что фун ция, заданная формулой y(x) = 3x2, 'де x m 0, — убывающая.

6.При а ом значении ар'умента x фун ция y = x2 – 4x + 4 принимает наименьшее значение?

7.Решите уравнение:

а) 2(x – 3) + |x + 2| = 1; б) |2x + 5| – |3x – 4| = 3 – 2x;

в) x – 2 +

x – 1 +

x – 3 + 1 = 0; ') a------+-----5--

= a;

 

 

 

 

 

 

 

x – 3

 

д)

------b-------

= 2;

е) a2x – a = 4x + 2;

ж) x + --3--- = --1--- (9x + 1);

 

x + 1

 

 

 

 

 

a3

a2

з) |2x – 5| – |3x – 4| = 3 – 2x; и) x – 2 + 1 – x = 2.

8. Установите, равносильны ли уравнения:

 

а) (x – 2)2 = 3(x – 2) и x – 2 = 3;

 

 

б) x------+-----3--

= 2----x-----------1-

и x + 3 = 2x – 1;

 

 

 

x + 1

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

в) x – 2 = 2 – x и x – 2 + x-----2----+-----1-- = 2 – x + x-----2----+-----1--

;

') 5 – 3x – ------

1-------

= 2x –

------1-------

и 5 – 3x = 2x;

 

 

 

x

– 1

 

x – 1

 

 

 

д) (x + 3)(x – 3) = 0 и x + 3 = 0;

е) x2 = 2x – 1 и x2(x4 + 1) = (2x – 1)(x4 + 1).

Задания для повторения

9.Имеется усо сплава меди с оловом массой 12 ', содержащий 45% меди. С оль о чисто'о олова надо прибавить

этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

10.Свежие 'рибы содержат 90% воды, а сухие — 12%. Из а о'о оличества свежих 'рибов можно получить 450 ' сухих?

11.Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со с оростью 16 м/ч, делает останов у на 1,5 ч, а затем продолжает ехать с первоначальной с оростью. Через 4 ч после отправления в доро'у перво'о туриста вдо'он у ему выезжает на мотоци ле второй турист со с оростью 56 м/ч. Ка ое расстояние они проедут, прежде чем второй турист до'онит перво'о?

81

12. Трое мальчи ов получили за свою работу возна'ражде-

ние в размере 1410 р., причем второй получил 1 то'о, что по-

--

3

лучил первый, и еще 60 р., а третий получил

1

дене' второ'о

--

 

3

 

и еще 30 р. С оль о дене' получил аждый?

 

 

О Т В Е Т Ы

1. а) Четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная; >) ни четная, ни нечетная. 2. а) Четная; б) нечетная; в) нечетная; >) четная; д) ни четная, ни нечетная; е) нечетная; ж) ни четная, ни нечетная; з) четная; и) нечетная; ) ни четная, ни нечетная; л) ни четная, ни нечетная.

4. При x = 1.

6. При x = 2.

5

2

; в) нет орней; >) единствен-

7. а) x = --

; б) --

 

 

3

7

 

ный орень x = 4a + 5 , если a 0, a –5; нет орней, если a = 0, a = –5;

-----------------

a

д) единственный орень x = b------------2 , если b 0; нет орней, если b = 0;

 

2

 

е) единственный орень x =

------1------

, если a –2, a 2; x Ý R, если a = –2;

 

a – 2

 

 

 

1

нет орней, если a = 2; ж) единственный орень x = a----(----a----+------3----) , если a 0,

a –3, a 3; x Ý R, если a = 3; нет орней, если a = 0, a = –3;

з) x Ý

2

; 2

 

; и) нет орней. 8.

а) Нет; б) да; в) да; >) нет; д) нет; е) да.

--

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. 1,5 >. 10. 3960 >. 11. 56 м. 12. 900 р; 360 р.; 150 р.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Напомним, что фун цию y = f(x), x Ý X, называют четной, если: а) X — симметричное множество;

б) для любо>о x Ý X выполняется равенство f(–x) = f(x).

2.Областью определения фун ции y = x6 служит вся числовая прямая (–×; +×) — симметричное множество.

3.Имеем f(x) = x6, f(–x) = (–x)6 = x6. Та им образом, f(–x) = f(x),

т.е. фун ция y = x6 является четной.

К упражнению 1б

1. Напомним, что фун ция y = f(x), x Ý X, называют нечетной, если: а) X — симметричное множество;

б) для любо>о x Ý X выполняется равенство f(–x) = –f(x).

82

2.Областью определения фун ции y = x7 является вся числовая прямая (–×; +×) — симметричное множество.

3.Имеем f(x) = x7, f(–x) = (–x)7 = –x7. Значит, f(–x) = –f(x), т. е. фун ция y = x7 является нечетной.

К упражнению 1в

1. Фун ция y = x – 2 не определена при тех значениях x, для о-

----------------

x2 – 9

торых знаменатель x2 – 9 обращается в нуль, т. е. в точ ах ä3. Значит, область определения фун ции — симметричное множество.

2.

Имеем

 

 

 

f(x) = --x----------2---- , f(–x) =

--(------x----)---------2--- = --x-----+-----2---- .

 

x2 – 9

(–x)2 – 9

x2 – 9

3.

Та а f(–x) f(x) и f(x) –f(x), то фун ция не является ни

четной, ни нечетной.

 

 

К упражнению 1

 

 

1.

Область определения фун ции y =

x – 3 есть луч [3; +×) —

несимметричное множество.

 

 

2.

Следовательно, фун ция не является ни четной, ни нечетной.

К упражнению 3

 

 

1.

Пусть x2 > x1, >де x2 > 0, x1 l 0. То>да

 

f(x2) – f(x1) = 3x22 – 3x12 = 3(x22 – x12 ) =

=3(x2 – x1)(x2 + x1) > 0.

2.Следовательно, x2 > x1 l 0 ^ f(x2) > f(x1), т. е. большему значе-

нию ар>умента x Ý D(f) соответствует большее значение фун ции. 3. Ита , фун ции f(x) — возрастающая.

К упражнению 4

1. Преобразуем данный вадратный трехчлен:

x2 – 2x – 15 = (x2 – 2x + 1) – 1 – 15 = (x – 1)2 – 16.

2.Выражение (x – 1)2 – 16 принимает наименьшее значение при том же значении x, что и (x – 1)2.

3.Та а (x – 1)2 l 0 при любом x, то наименьшее значение фун ция (x – 1)2, а значит, и данная фун ция принимает при x = 1.

83

К упражнению 7б

1. Найдем орни двучленов, записанных под зна ом модуля:

2x + 5 = 0

5

; 3x – 4 = 0

4

^ x = –--

^ x = -- .

 

2

 

3

2. Изобразим эти орни на оординатной прямой (рис. 16) и рассмотрим данное уравнение на аждом из трех промежут ов:

Рис. 16

5

5

4

4

 

x < –--

, –--

m x < --

, x l -- .

 

2

2

3

3

3. В первом промежут е получаем систему

5

,

 

5

,

x < –--

 

x < –--

2

 

или

2

 

 

 

 

 

–(2x + 5) + (3x – 4) = 3 – 2x,

 

x = 4.

 

Эта система не имеет решений.

4. Далее, во втором промежут е получаем систему

 

 

 

 

 

 

 

5

 

m x <

4

,

 

5

 

4

 

 

--

 

--

 

--

m x <

--

,

 

2

 

 

 

 

3

 

2

 

3

или

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 5 + (3x – 4) = 3 – 2x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x =

7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением этой системы является x = -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. На онец, в третьем промежут е получаем систему

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

x l

4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x l -- ,

 

 

 

 

 

--

 

 

 

 

 

3

 

или

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + 5 – (3x – 4) = 3 – 2x,

 

 

x = –6,

 

 

оторая не имеет решений.

6. Ита , x = 2 — орень данно>о уравнения.

--

7

К упражнению 7в

1. Найдем область определения уравнения:

x – 2 l 0,

x – 1 l 0, ^ x l 3. x – 3 l 0

2.Если x = 3, то 1 + 2 + 0 + 1 > 0.

3.Если x > 3, то выражение, получающееся в левой части уравнения, подавно больше нуля.

4.Ита , множество решений данно>о уравнения является пустым.

84

К упражнению 7

 

 

 

 

 

1. Имеем

 

 

 

 

 

a-----+------5-- – a = 0, или

4----a-----------ax---------+-----5--

= 0, >де x 3.

 

x – 3

 

 

x – 3

 

 

2. Решим систему

 

ax = 4a + 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3.

 

 

 

 

 

 

 

а) Если a 0, то x = 4a + 5 ;-----------------

 

 

 

 

 

a

 

 

 

б) если a = 0, то получаем 0 · x = 5, что ложно.

 

3. Найдем, на онец, значение a, при отором x = 3; имеем 4----a-----+------5--

= 3,

 

 

 

 

a

 

от уда a = –5.

Ита , получаем ответ: уравнение имеет единственный орень x =

= 4a + 5 , если a 0, a –5; уравнение не имеет орней, если a = 0,

-----------------

a a = –5.

К упражнению 9

1.Исходный сплав массой 12 > содержал 45% меди, т. е. в нем было 0,45 · 12 > меди.

2.Пусть x ( >) — масса олова, добавленно>о данному сплаву. То>да получится сплав массой 12 + x ( >), содержащий 40% меди.

3.Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + x) > меди.

4.Та а масса меди и в первоначальном, и в новом сплаве одна

ита же, то приходим уравнению

0,4(12 + x) = 0,45 · 12.

5. Решив это уравнение, находим x = 1,5. Ита , первоначальному сплаву надо добавить 1,5 > олова.

К упражнению 10

1.В 450 > сухих >рибов содержится 12% воды и 88% сухой массы.

2.Значит, сухая масса равна 88%(450 >) = 396 >.

3.Эту же сухую массу должны иметь и положенные на суш у свежие >рибы, массу оторых обозначим через x.

4.Следовательно, получаем уравнение

10%(x) = 396, т. е. 0,1x = 396,

от уда x = 3960 >.

85

К упражнению 11

1.Со>ласно условию, первый турист выехал на 4 ч раньше второ>о.

2.В точ е B (рис. 17) он сделал останов у на 1,5 ч.

Рис. 17

3.Второй турист до>нал перво>о в точ е D.

4.Чтобы преодолеть расстояние AD, первый турист затратил на 2,5 ч больше, чем второй (та а 4 – 1,5 = 2,5).

5.Пусть s ( м) — расстояние от точ и A до точ и D.

6. То>да t1 =

s

(ч) — время, за оторое первый турист проехал

------

 

16

 

 

расстояние AD; t2 =

s

(ч) — время, за оторое второй турист проехал

------

 

 

56

 

расстояние AD. Ка мы установили, t1 – t2 = 2,5 (ч). 7. Та им образом, получаем уравнение

s

s

= 2,5,

------

------

16

 

56

 

от уда находим s = 56 ( м).

 

 

 

 

К упражнению 12

 

 

 

 

1.

Пусть первый мальчи получил x р.

2.

То>да второй получил

1

x + 60

р., а третий получил

--

 

 

 

3

 

 

 

+ 60 + 30 = --

x + 50 р.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

3.

Из условия следует, что

 

 

 

 

 

 

1

 

1

x + 50 = 1410,

 

 

x + -- x + 60 + --

 

 

3

 

9

 

 

1 1 x +

-- --

3 3

от уда x = 900.

Ответ: 900 р.; 360 р.; 150 р.

86

Т е м а 7

À

Линейная функция и ее график. Квадратичная функция и ее график.

k

Функция y = -- и ее график. x

Дробно/линейная функция и ее график. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Графический способ решения квадратных уравнений. Уравнения с несколькими переменными.

Системы уравнений

Теоретичес ие сведения

1. Линейная функция и ее график

1°. Фун цию, заданную формулой y = kx + b, 'де k и b — не-оторые числа, называют линейной.

2°. Областью определения линейной фун ции служит множество R всех действительных чисел, та а выражение kx + b имеет смысл при любых значениях x.

3°. Графи линейной фун ции y = kx + b есть прямая. Для построения 'рафи а, очевидно, достаточно знать две е'о точ и,

например A(0; b) и B

 

b

; 0

 

.

 

--

 

 

k

 

 

4°. Коэффициент k хара теризует у'ол, оторый образует прямая с положительным направлением оси Ox (рис. 18); поэтому k называют ловым оэффициентом. Если k > 0, то этот у'ол — острый, если k < 0 — тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ox.

5°. Графи фун ции y = kx + b можно та же построить с помощью параллельно'о переноса 'рафи а фун - ции y = kx.

Рис. 18

87

Рис. 19

6°. Уравнение вида kx + b = 0 называют линейным. Для то'о чтобы решить линейное уравнение 'рафичес и, достаточно построить 'рафи фун ции y = kx + b и найти точ у е'о пересечения с осью Ox (на рис. 19 точ а x1 — орень

уравнения).

2. Квадратичная функция и ее график

1°. Фун цию, заданную формулой y = ax2 + bx + c, 'де x, y — переменные, a, b и c — не оторые числа, причем a − 0, называют вадратичной.

2°. Областью определения вадратичной фун ции является множество R.

3°. Графи ом фун ции y = ax2 + bx + c является парабола —

ривая, симметричная относительно прямой x = – b , прохо-

------

2a

дящей через вершину параболы (вершиной параболы называют точ у пересечения параболы с ее осью симметрии).

4°. Координаты вершины параболы определяются по формулам

x0 = –

---b---

; y0 = f(x0) =

4----ac--------------b---2- .

 

2a

 

4a

5°. Квадратичную фун цию y = ax2 + bx + c все'да можно привести виду y = a(x + k)2 + p, а затем построить ее 'рафи с помощью 'еометричес их преобразований.

6°. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а при a < 0 — вниз.

Пример. Построить 'рафи фун ции y = 3x2 + 12x + 10.

Р е ш е н и е. Выделив из вадратно'о трехчлена вадрат двучлена, получим

3x2 + 12x + 10 = 3(x2 + 4x) + 10 =

= 3(x2 + 4x + 4) – 12 + 10 = 3(x + 2)2 – 2.

Строим сначала 'рафи фун ции 3x2, а затем, используя параллельный перенос, получим ис омый 'рафи — параболу с вершиной в точ е (–2; –2) (рис. 20).

88

Заметим, что параболу можно построить и по та называемым хара теристичес им точ ам, т. е. по оординатам вершины и точ ам пересечения с осями оординат, о чем будет с азано в дальнейшем.

k

3. Функция y = -- и ее график x

1°. Если переменная y пропорциональна переменной x, то та-ая зависимость выражается формулой y = kx, 'де k − 0 — оэффициент пропорциональности. Графи этой фун ции мы рассмотрели в п. 1.

2°. Если переменная y обратно пропорциональна переменной

x, то та ая зависимость выражается формулой y = k , 'де k − 0 —

--

x

оэффициент обратной пропорциональности.

3°. Область определения фун ции y = k есть множество

--

x

всех чисел, отличных от нуля, т. е. (–×; 0) (0; +×).

4°. Графи ом обратной пропорциональности y = k является

--

x

ривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно оординат. Та ую ривую называют иперболой (рис. 21). Если k > 0, то ветви 'иперболы расположены в I и III оординатных четвертях; если же k < 0 — во II и IV четвертях.

5°. Заметим, что 'ипербола не имеет общих точе с осямиоординат, а лишь нео'раниченно ним приближается (объясните, почему).

Рис. 20

Рис. 21

89

4. Дробно;линейная функция и ее график

1

°

. Фун цию вида y =

ax + b

 

'де a

− 0, c

− 0,

b

d

назы-

 

cx---------+------d-

 

--

-c-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

вают дробно-линейной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°. Преобразуем эту фун цию следующим образом:

 

 

 

a

(cx + d) + b –

ad

 

 

 

b –

ad

 

 

bc – ad

 

 

--

------

 

 

 

------

 

 

-------------------

---------------- -----y = ax + b = c

----------------------------

-----------

--c----

= a--

+

-----------

--c---

= a--

+

-------

-c---2-------- .

 

 

cx + d

cx + d

 

 

c

 

cx + d

c

 

x + d--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

С помощью 'еометричес их преобразований 'рафи дробно-

линейной фун ции можно получить из 'рафи а фун ции y = -k- .

 

 

 

 

x

Пример. Построить 'рафи фун ции y =

2----x-----------5- .

 

 

 

x – 4

 

Р е ш е н и е. Преобразуем заданную фун цию та :

y = 2----x-----------5-

= 2----(---x----------4----)---------5-----+------8-

= 2 +

------3-------

.

x – 4

x – 4

 

x – 4

 

Сначала строим 'рафи фун ции y =

-3- ; затем смещаем е'о на

 

 

x

 

 

4 ед. вправо вдоль оси Ox и на 2 ед. вверх вдоль оси Oy (рис. 22).

Рис. 22

90

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]