Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

Примеры. 1. Решить систему уравнений

2x · 3y = 24,

2y · 3x = 54.

Р е ш е н и е. Запишем данную систему в виде

2x + y · 3x + y = 24 · 34 _ 6x + y = 64 _ x + y = 4.

Разделим почленно уравнение (*) на уравнение (**):

Р е ш е н и е. Перепишем первое уравнение системы в виде (x – y)2x – y = 5 · 2x – y; разделив обе части это о уравнения на 2x – y − 0, получим x – y = 5.

Подставив теперь во второе уравнение системы вместо разности x – y ее значение, равное 5:

Остается решить систему уравнений x – y = 5, x + y = 21;

врезультате получаем ответ: x = 13, y = 8.

3.Решить систему неравенств

2x2 – 6 x – 3,5 < 8 2 .

191

Р е ш е н и е. Имеем

Ита , интервал (–1; 3) — решение данной системы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

192

УПРАЖНЕНИЯ

1. Постройте рафи фун ции (схематичес и):

а) y = –2 · 2|x|; б) y = 2|x + 3|; в) y = 2|x| + 1; ) y = –2|x| + 1; д) y = 21 – x2 ; е) y = 21 / x .

2. Решите уравнение:

а) 52x – 1 + 5x + 1 = 250; б) 6x + 6x + 1 = 2x + 2x + 1 + 2x + 2; в) 9x + 6x = 2 · 4x; ) 22x + 1 + 32x + 1 = 5 · 6x;

д) 54x – 14 · 52x = 275; е) (4 – 15)x + (4 + 15)x = 8; ж) (2 – 3)x + (2 + 3)x = 4; з) (x – 3)3 – x2 = (x – 3)2x; и) (x + 3)x2 – 3 = (x + 3)2x; ) (x2 – x – 1)x2 – 1 = 1.

3. Решите уравнение:

а) 8x · 7x – 4 = 24 + 2x; б) 6x · 5x – 2 = 9 · 2x; в) 27 · 7x + 3 = 147x;) 625 · 9x – 2 = 15x; д) 7 · 16x = 2 · 56x; е) 125 · 8x = 50x + 1.

4. Решите уравнение:

193

уравнений:

а) 3 · 5y2 + 2|x| = 21 – a, 51 + y2 – 3|x| = 11a + 16

не имеет решений (в ответе запишите сумму целых значений a, не входящих в это множество);

совместна (в ответе запишите наибольшее значение a из это о множества);

не имеет решений (в ответе запишите целое значение a, не входящее в это множество);

) x2 + 21 – y = 5,

3x2 – 22 – y = 2a + 9

совместна (в ответе запишите наименьшее значение a из это о множества);

2 · 3–x2 – 3y = –4a – 5

совместна (в ответе запишите наибольшее значение a из это о множества).

194

8. Найдите xy, если x и y — решение системы

(x + 2)2 + 2 · 3|y – 2| = a – 1, 31 + |y – 2| – (x + 2)2 = 4a – 9.

9. Найдите x2 – y2, если x и y — решение системы

41 + x + 3 + 2(y – 4)2 = 2a – 4, (y – 4)2 – 4x + 3 = 7 – 2a.

в) 5x – 2 > 51 – x – 2 + 4; ) 2 · 72x – 5 > 71 – 2x – 5 ;

11.При а их значениях k уравнение 25x – 5x + 1 – 5k – k2 = 0 имеет два решения?

12.Определите все значения параметра c, при оторых урав-

нения 4x + 2 · 2x – 3 = 0 и c · 49x + |c – 7| · 7x – 7 = 0 имеют одина-овые орни.

13. При а их значениях a уравнение 4x – 2x + 2 – 4a – a2 = 0 имеет два решения? В ответе у ажите сумму целых значений a.

Задания для повторения

14.Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 м наверстал потерянное время, увеличив с о- рость на 15 м/ч. Найдите первоначальную с орость поезда.

15.Пассажир поезда знает, что на данном участ е пути с о- рость это о поезда равна 40 м/ч. Ка толь о мимо о на начал проходить встречный поезд, пассажир в лючил се ундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо о на в течение 3 с.

195

Определите с орость встречно о поезда, если известно, что е о длина равна 75 м.

16.Решите неравенство kx + 4 > 2x + k2.

17.При а их значениях k система уравнений

kx + 4y = 4,

3x + y = 1

имеет решения?

О Т В Е Т Ы

2. а) x = 2; б) x = 0; в) x = 0; $) x1 = –1, x2 = 0; д) x = 1; е) x1 = –2, x2 = 2; ж) x1 = –2, x2 = 2; з) x1 = –1, x2 = 4; и) x1 = –2, x2 = –1, x3 = 3;) x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2. 3. а) x = 4; б) x = 2; в) x = 3; $) x = 4; д) x = 1; е) x = 0,5. 4. а) x = 1; б) x = 1; в) x = 1; $) x = 2; д) x = 0; е) x = 1; ж) x1 = –1, x2 = 0. 5. а) x = 0; б) x = 4; в) x = 2; $) x = 0,75. 6. а) x = 3,

y = 4; б) x = 1, y = 2; в) x = 0, y = –2; $) x1 = 1, y1 = 1; x2 = 4, y2 = 2;

y2 = 1 ; ж) x = 1, y = 2. 7. а) –9; б) a = 2; в) a = 4; $) a = 2; д) a = –1. 8. –4.

--

4

9. –7. 10. а) x < 1, 2 m x < log5 30; б) –log2 6 m x < 0, x > log2 7; в) x > 3;

$) x > 3; д) x m –2 , 0,5 m x m 2 ; е) –1,25 m x < –1, x l 1; ж) 1 m x < 3; з) x m 2, x > 4; и) –2 < x < 2, x > 3; ) 0,5 m x m 4. 11. –5 < k < –2,5; –2,5 < k < 0. 12. 0 m c m 7, c = –7. 13. –4. 14. 60 м/ч. 15. 50 м/ч. 16. Если k = 0, то нет решений; если k < 2, то x < k + 2; если k > 2, то x > k + 2. 17. Система имеет решения при любых k.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Фун ция y = –2 · 2|x| определена для любых значений ар$умента x. Та а 2|–x| = 2|x|, то фун ция четная, а ее $рафи симметричен относительно оси ординат.

2.При любых значениях x фун ция отрицательна, поэтому ее $рафи расположен под осью абсцисс.

3.Если x = 0, то y = –2 · 20 = –2.

4.Если x l 0, то y = –2 · 2x, а, значит, часть $рафи а, расположенная справа от оси ординат, получается симметричным отражением от

оси абсцисс части $рафи а фун ции y = 2 · 2x при x l 0 (рис. 111, а).

196

Рис. 111

часть $рафи а, расположенную слева от оси ординат (рис. 111, б).

6. Объединив построенные $рафи и, получим ис омый $рафи (рис. 111, в).

К упражнениям 1б—

См. соответственно рис. 112—114.

К упражнению 1д

1. Областью определения фун ции y = 21 – x2 является вся число-

вая прямая. Та а 21 – (–x)2 = 21 – x2 , то фун ция четная, а ее $рафи симметричен относительно оси ординат.

2. Известно, что ax > 0 при любом значении x. Следовательно, $рафи фун ции цели ом расположен над осью абсцисс.

197

3. Запишем фун цию в виде

К упражнению 1е

1. Область определения фун ции y = 21/ x состоит из двух промежут ов: (–×; 0) и (0; +×). Следовательно, $рафи фун ции состоит из двух частей.

К упражнению 2в

1. Та а x − 0, то обе части данно$о уравнения можно разделить на 4x:

y2 + y – 2 = 0, от уда y = 1, y = –2.

Одна о значение y = –2 не удовлетворяет условию y > 0. Следова-

198

y

К упражнению 2з

1.Выражение в левой части уравнения представляет собой фун - цию, оторая содержит переменную а в основании, та и в по азателе степени. Та ое уравнение называют по азательно-степенным.

2.При решении подобных уравнений нужно рассматривать четыре случая:

а) основание степени равно 1; б) основание степени равно 0; в) основание степени равно –1;

$) оно отлично от у азанных значений.

3.Если x – 3 = 1, т. е. x = 4, то получим 1–13 = 18 — верное равенство; поэтому x = 4 — орень уравнения.

4.Если x – 3 = 0, т. е. x = 3, то получим 0–6 = 06 — выражение, не имеющее смысла; значит, x = 3 не является орнем уравнения.

5.Если x – 3 = –1, т. е. x = 2, то получим (–1)–1 = (–1)4 — неверное равенство; следовательно, x = 2 не является орнем уравнения.

199

6. На онец, приравняв по азатели, имеем 3 – x2 = 2x, от уда x1 = –1, x2 = 3. Проверим найденные значения:

а) x1 = –1, (–4)3 – 1 = (–4)–2 — верное равенство;

б) x2 = 3 — это значение уже было рассмотрено в п. 4. Ответ: x1 = –1, x2 = 4.

К упражнению 3а

1. Упростим данное уравнение:

К упражнению 4а

1. Анализ данно$о уравнения по азывает, что, видимо, есть толь-

4. Пола$ая t = 61/ x , получим вадратное уравнение t2 – 7t + 6 = 0, имеющее орни t1 = 1; t2 = 6.

5. Далее имеем 61/ x = 1, т. е. 1 = 0, — решений нет; 61/ x = 6, т. е.

--

x

1 = 1, от уда x = 1.

--

x

К упражнению 4е

1. Та а все члены уравнения содержат множитель 3x, а 3x − 0, то, разделив на 3x обе части уравнения, получим

200