Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

совой стрел е, та и против нее), а величины KE и OE будут оставаться постоянными.

Значит,

sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x, k Ý Z,

т. е. синус и осинус — периодичес ие фун ции с периодом 360° (или 2π).

5°. В п. 4° аждому числу x мы сопоставили значения sin x и cos x. Тем самым определены две фун ции числово о ар умента: y = sin x, y = cos x. Эти фун ции называют три онометричес ими.

6°. Помимо названных три онометричес их фун ций рассматривают и их отношения:

y = tg x = sinx (тан енс числа x);

------------

cosx

y = ctg x = cosx ( отан енс числа x).

------------

sinx

7°. Область определения фун ции tg x состоит из всех у - лов, для оторых cos x − 0.

8°. Область определения фун ции ctg x состоит из всех у - лов, для оторых sin x − 0.

4. Знаки тригонометрических функций

1°. Оси оординат делят числовую о ружность на четыре равные ду и; эти ду и называют четвертями (рис. 139).

2°. Зна и синуса. Выясним, при а их значениях x выполняются неравенства sin x > 0 и sin x < 0, т. е. определим, в а-их четвертях числовой о ружности синус положителен, и ва их четвертях он отрицателен.

а) Числу x соответствует точ а число-

вой о ружности, полученная поворотом точ и (1; 0) на у ол x радианов, а число

sin x — это ордината соответствующей точ и. Поэтому sin x > 0, если точ а расположена выше оси абсцисс, т. е. в I и II четвертях синус положителен.

б) Если же точ а лежит ниже оси абсцисс, то ее ордината отрицательна, т. е. sin x < 0 в III и IV четвертях.

261

3°. Зна и осинуса. Выясним, при а их значениях x выполняются неравенства cos x > 0 и cos x < 0.

а) Известно, что cos x — это абсцисса точ и, соответствующей повороту на у ол x, поэтому cos x > 0, если точ а лежит правее оси ординат, т. е. в I и IV четвертях осинус положителен.

б) Если же точ а лежит левее оси ординат, то cos x < 0, т. е. во II и III четвертях осинус отрицателен.

4°. Зна и тан енса и отан енса.

а) Со ласно определению, tg x = sinx , поэтому tg x > 0, ес-

------------

cosx

ли sin x > 0 и cos x > 0 или sin x < 0 и cos x < 0, т. е. тан енс положителен в I и III четвертях.

б) Со ласно определению, ctg x = cosx , поэтому зна и tg x

------------

sinx

и ctg x совпадают.

5°. Обобщая с азанное, проиллюстрируем зна и три онометричес их фун ций на рис. 140.

Рис. 140

5. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1°. Та а точ а A(x; y) принадлежит единичной о ружности (рис. 141), то x2 + y2 = 1, т. е.

2°. Равенство (1) выполняется при любых значениях α и называется основным три онометричес им тождеством.

262

3°. Из равенства (1) можно выразить cos α через sin α, и наоборот:

причем зна перед ради алом определяется той оординатной

4°. Со ласно определению тан енса и отан енса, имеем

Перемножив эти два равенства, получим

5°. Из равенства (2) можно выразить tg α через ctg α, и наоборот:

k Ý Z.

7°. Ино да рассматривают еще две три онометричес ие фун - ции — се анс и осе анс.

Се ансом называют величину, обратную осинусу, а осе-ансом — величину, обратную синусу. Та им образом,

sec α = 1 , де cos α − 0;

------------

cosα

cosec α = 1 , де sin α − 0.

------------

sinα

263

6. Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов

1°. Пусть α = 0; то да точ а A имеет оординаты (1; 0) (рис. 142).

Та а абсцисса и ордината этой точ и соответственно равны 1 и 0, то:

а) cos 0° = 1; б) sin 0° = 0;

в) tg 0° = sin 0° = 0 = 0; ) ctg 0° = cos 0° = 1 не определен.

----------------- -- -----------------

° ° -- cos 0 1 sin 0 0

2°. Пусть α = 90° или α = π ; то -

-2- -

да точ а B имеет оординаты (0; 1) (рис. 142). Та а абсцисса и ордината этой точ и соответственно равны 0 и 1, то:

а) cos 90° = 0; б) sin 90° = 1;

в) tg 90° = 1 не определен;

--

0

Рис. 142

) ctg 90° = cos 90° = 0 = 0.

-------------------- --

sin 90° 1

3°. Пусть α = 180° (или α = π); то да точ а C имеет оординаты (–1; 0) (рис. 142). Имеем:

а) cos 180° = –1; б) sin 180° = 0;

264

лучаем AE = 1 (со ласно свойству

--

2

атета, лежаще о против у ла в 30°).

в) По определению синуса имеем AE = sin 30°, следователь-

но, sin 30° = 1 .

--

2

) Далее из треу ольни а OEA находим

265

9°. Все полученные значения можно свести в следующую таблицу:

7. Четность и нечетность тригонометрических функций

1°. Напомним, что фун цию f(x) называют четной, если для любо о x из области определения фун ции выполняется равенство f(–x) = f(x).

2°. Фун цию f(x) называют нечетной, если для любо о x из области определения фун ции выполняется равенство f(–x) = –f(x).

3°. Из шести три онометричес их фун ций осинус и се-анс — четные, а остальные — нечетные, т. е.

cos (–x) = cos x; sin (–x) = –sin x; tg (–x) = –tg x; ctg (–x) = –ctg x; cosec (–x) = –cosec x; sec (–x) = sec x.

8. Периодичность тригонометрических функций

1°. Напомним, что фун цию y = f(x) называют периодиче- с ой, если существует та ое число T − 0, что для любо о x из области определения фун ции выполняются равенства f(x – T) = = f(x) = f(x + T), де число T называют периодом фун ции f(x).

2°. Периодом фун ций y = sin x и y = cos x является число T = 2π.

3°. Периодом фун ций y = tg x и y = ctg x является число T = π.

4°. Период фун ций y = A sin (ωx + ϕ) и y = A cos (ωx + ϕ)

вычисляется по формуле T = 2π .

------

w

266

5°. Период фун ций y = A tg (ωx + ϕ) и y = A ctg (ωx + ϕ) вы-

числяется по формуле T = π .

---

w

6°. Если период фун ции y = f(x) равен T1, а период фун -

ции y = g(x) равен T2, то период фун ций y = f(x) + g(x) и y = = f(x) – g(x) равен наименьшему общему ратному чисел T1 и T2.

9. Свойства тригонометрических функций

1°. Область определения. Имеем: D(sin) = (–×; +×); D(cos) = (–×; +×);

D(tg) = R, роме чисел вида π + πn, де n Ý Z. Это выте ает

--

2

из то о, что в точ ах, соответствующих числам у азанно о вида,осинус равен нулю и, следовательно, тан енс не существует;

D(ctg) = R, роме чисел вида πn, де n Ý Z (в соответствующих точ ах отан енс не существует).

2°. Множество значений. Имеем: E(sin) = [–1; 1]; E(cos) = = [–1; 1], та а оординаты любой точ и P числовой о ружности по модулю не превосходят единицы; E(tg) = (–×; +×); E(ctg) = (–×; +×).

3°. Четность и нечетность. Исходя из определений четной и нечетной фун ций, можно установить, что осинус — четная фун ция, а синус, тан енс и отан енс — нечетные фун ции. Следовательно, sin (–α) = = –sin α (рис. 144), tg (–α) = –tg α; ctg (–α) = –ctg α; cos (–α) = cos α (рис. 145), де α — заданное число.

267

4°. Периодичность. Исходя из определения периодичес ой фун ции, можно установить, что фун ции синус, осинус, тан-енс и отан енс являются периодичес ими, причем для синуса и осинуса наименьший положительный период равен 2π, а для тан енса и отан енса он равен π. Та им образом, sin (α ä 2π) = = sin α; cos (α ä 2π) = cos α; tg (α ä π) = tg α; ctg (α ä π) = ctg α.

5°. Монотонность. Исходя из определения монотонности фун ции, можно установить, что:

cos α возрастает от –1 до 1 на промежут е [–π + 2πk; 2πk], k Ý Z, и убывает от 1 до –1 на промежут е [2πk; π + 2πk], k Ý Z;

Ре ш е н и е. Используя свойства периодичности, четности

инечетности три онометричес их фун ций, получим

sin 17π = sin 6π – π = sin – π = –sin π = –3 ;

--------- -- -- -- -------

3 3 3 3 2

cos (–2195°) = cos 2195° = cos (360° · 6 + 35°) = cos 35°; tg (–1759°) = tg (41° – 180° · 10) = tg 41°.

2. Сравнить sin 735° и sin (–1066°).

Р е ш е н и е. Имеем sin 735° = sin (735° – 360° · 2) = sin 15°; sin (–1066°) = sin (–1066°+ 360° · 3) = sin 14°. Та а фун ция sin α при 0 < α < 90° монотонно возрастает, то sin 15° > sin 14° и, значит, sin 735° > sin (–1066°).

3.Установить четность или нечетность фун ции F(x) = x3 +

+sin x.

Ре ш е н и е. Та а F(–x) = (–x)3 + sin (–x) = –x3 – sin x = = –(x3 + sin x) = –F(x), то данная фун ция — нечетная.

268

4. Определить зна выражения sin (–4,2) · cos (–5,6).

Р е ш е н и е. Имеем sin (–4,2) · cos (–5,6) = –sin 4,2 · cos 5,6. Пос оль у sin 4,2 < 0, а cos 5,6 > 0, данное выражение положительно.

10.Формулы сложения

1°. Формулы синуса суммы и разности двух ар ументов:

2°. Формулы осинуса суммы и разности двух ар ументов:

3°. Формулы тан енса суммы и разности двух ар ументов:

−π + πk (m, n, k Ý Z).

--

2

4°. Формулы отан енса суммы и разности двух ар ументов:

Формулы (7) справедливы при α − πm, β − πn, α + β − πk, а формулы (8) — при α − πm, β − πn, α – β − πk (m, n, k Ý Z).

Примеры. 1. Вычислить без таблиц tg 75°.

Р е ш е н и е. Используя формулу (5), находим

269

Р е ш е н и е. Находим значения sin α и cos β с учетом четвертей, оторым принадлежат α и β:

Подставляя найденные значения в соотношение (4), получим

cos (α – β) = –4 · 4 + –3 · –3 = – 7 .

-- -- -- -- ------

5 5 5 5 25

11. Формулы приведения

1°. Формулами приведения называют соотношения, с помощью оторых значения три онометричес их фун ций ар у- ментов 90°ä α, 180° ä α, 270° ä α, 360° ä α выражаются через значения sin α, cos α, tg α и ctg α.

2°. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

3°. Для обле чения запоминания формул приведения нужно использовать следующие правила:

а) при переходе от фун ций у лов 90° ä α, 270° ä α фун - циям у ла α название фун ции изменяют: синус — на осинус, тан енс — на отан енс, и наоборот;

270