Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с
.pdf
К упражнению 15а
1. Преобразуем данное неравенство:
x----2-----–-----4----x-----+-----8-- |
m 1; |
x----2-----–-----4----x-----+-----8-----–------x-----–-----2-- |
m 0; |
(---x-----–-----2----)---(--x-----–-----3----)- |
m 0. |
x + 2 |
|
x + 2 |
|
x + 2 |
|
2. Используя метод интервалов (рис. 146), найдем решение последне$о неравенства: x Ý (–×; –2) [2; 3].
Рис. 146
3. Ита , x = 3 — наибольшее решение.
К упражнению 16а
1.Сложив уравнения системы, получим 3x = 30, т. е. x = 10.
2.Подставив x = 10 во второе уравнение системы, имеем 10 – 10y –
–2y = 22, от уда y = –1.
3.Значит, 
x + y = 
10 – 1 = 3.
281
Т е м а 15
À
Тригонометрические функции двойного аргумента. Тригонометрические функции половинного аргумента. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций
Теоретичес ие сведения
1. Тригонометрические функции двойного аргумента
1°. Из формул синуса и осинуса суммы (см. тему 14, п. 10) получаются формулы синуса и осинуса двойно о ар умента.
Если в соотношениях |
|
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, |
|
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β |
|
положить α = β, то получим |
|
sin 2α = 2 sin α cos α, |
(1) |
cos 2α = cos2 α – sin2 α. |
(2) |
2°. Выразив правую часть формулы (2) через одну три онометричес ую фун цию (синус или осинус), приходим соотношениям
cos 2α = 1 – 2 sin2 α, |
cos 2α = 2 cos2 α – 1. |
3°. Из формул (3) можно выразить sin2 α и cos2 α |
|
cos 2α: |
|
sin2 α = 1------–-----cos----------2----α-- , |
cos2 α = 1------+-----cos----------2----α-- . |
2 |
2 |
(3)
через
(4)
Равенства (4) называются формулами понижения степени. 4°. Из формулы тан енса суммы получается формула тан-
енса двойно о ар умента. Пола ая α = β в соотношении
tg (α + β) = |
---tg-------α-----+------tg-------β---- |
, |
|
1 – tg α tg β |
|
282
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2α = |
-----2----tg--------α------ |
. |
|
|
|
|
(5) |
|
|
1 – tg2 α |
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула справедлива при условиях α − |
-π- |
+ |
π----k-- |
, α − |
-π- |
+ |
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
+ πk, де k Ý Z.
5°. Кроме перечисленных формул (1)—(5), полезно знать и формулы три онометричес их фун ций тройно о ар умента:
|
sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α; |
|
|
cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 3α = 3-----tg-------α------–-----tg------3----α-- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 – 3 tg2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры. 1. Вычислить без таблиц sin 75° sin 15°. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. sin 75° sin 15° = sin (90° – 15°) sin 15° = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= cos 15° sin 15° = 2-----cos----------15-------°----sin---------15--------° |
= sin-----------30-------° |
= |
1-- . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
2. Упростить 1 – cos |
|
α |
– 3π |
|
– cos2 |
α |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
--- |
--- + sin2 |
--- . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е. 1 – cos |
|
α |
– 3π |
– cos2 |
α |
+ sin2 |
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
- - - |
--- |
|
--- = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
= 1 – cos 3π – |
α |
|
– cos2 |
α |
|
|
|
|
α |
|
= 1 + cos |
α |
– cos |
α |
= 1. |
|||||||||||||||||
-2-- |
--- |
– sin2 --- |
-2-- |
-2-- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. До азать тождество tg 4α – sec 4α = |
-sin---------2----α------–-----cos---------2----α-- . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2α + cos2α |
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е. tg 4α – sec 4α = |
-----2----tg---------2--α------- |
– |
---- |
- |
--1------ |
--- |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 – tg2 2α |
|
|
cos4α |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------------------- |
|
|
|
|
|||
= |
----- |
2----tg--------2---α------- |
|
– |
- |
-------- |
---- |
|
1---- |
-------- |
|
---- |
----- |
-- |
|
= ----- |
2----tg--------2---α----- |
-- |
|
– |
|
-----cos--------2---- |
2----α--- |
-- |
= |
|
||||||
|
1 – tg2 2α |
|
|
cos2 2α – sin22α |
|
|
1 – tg2 2α |
|
|
1 – tg2 2α |
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
2 tg 2α |
|
– |
1 + tg2 2α |
= |
2 tg 2α – 1 – tg2 2α |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1------–-----tg------2----2----α-- |
- |
1-----–-----tg-------------2 2-α-- |
---- |
---- |
-- |
--- |
-1-----–-----tg-------2---2----α----- |
--- |
--- |
---- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= – |
(1 – tg 2α)2 |
|
= – |
1 – tg 2α |
= |
sin2α |
– 1 |
|
: |
|
sin2α |
+ 1 |
|
= |
||||||||||||||||||
---1-----–-----tg-------2--- |
2-----α---- |
|
1 +-tg---------2--α-- |
-cos---------2----α-- |
|
|
-cos---------2----α-- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
-sin---------2----α-----–------cos2-------------α-- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin2α + cos2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
283
2. Тригонометрические функции половинного аргумента
1°. Если в формулах
cos 2α = 1 –2 sin2 α, cos 2α = 2 cos2 α – 1
(см. п. 1) положить α = x-- |
, то получим |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
cos x = 1 – 2 sin |
2 x |
, |
2 |
x |
– 1. |
|
-- |
cos x = 2 cos |
-- |
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2°. Из формул (1) следует, что |
|
||
sin x-- |
= ä |
1------–-----cos---------x-- |
, |
2 |
|
2 |
|
cos x-- |
= ä |
1------+------cos---------x-- . |
|
2 |
|
2 |
|
(1)
(2)
(3)
С помощью формул (2) и (3) можно вычислять значения си-
нуса и осинуса половинно о ар умента |
x-- |
по заданному оси- |
|
|
|
2 |
|
нусу ар умента x. |
|
|
|
3°. Разделив почленно равенства (2) и (3), получим формулу |
|||
tg x-- = ä |
-1-----–-----cos----------x-- . |
|
(4) |
2 |
1 + cosx |
|
|
4°. В формулах (2)—(4) зна перед ради алом зависит от то-
x
о, в а ой оординатной четверти находится у ол -- .
2
5°. Умножив числитель и знаменатель под оренно о выражения формулы (4) на 1 + cos x (или на 1 – cos x), после упро-
щений получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x-- |
= |
------sin---------x-------- |
; |
tg |
x-- |
= |
1------–-----cos---------x-- . |
(5) |
|
2 |
|
1 + cosx |
|
|
2 |
|
sinx |
|
Примеры. 1. Упростить выражение 1 – 2 sin2 α + cos 2α.
Р е ш е н и е. I способ. (1 + cos 2α) – 2 sin2 α = 2 cos2 α –
–2 sin2 α = 2(cos2 α – sin2 α) = 2 cos 2α.
II способ. (1 – 2 sin2 α) + cos 2α = cos 2α + cos 2α = 2 cos 2α.
284
2. Вычислить без таблиц tg 112° 30′.
Р е ш е н и е. tg 112° 30′ = |
1------–-----cos---------225-----------°- |
= |
1------–-----cos---------(---180-----------°----+-----45-------- |
°---) |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin225° |
|
sin(180° + 45°) |
|
|
|
1 + cos 45° |
|
1 |
+ --- |
--2- |
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
= –(1 + 2 ). |
|
|
|
||
----–----sin-----------45--------°---- |
= –--- |
----- |
-------- |
-2--------- |
----- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
1°. При решении три онометричес их уравнений, до азательстве неравенств и т. п. часто возни ает необходимость выразить все четыре три онометричес ие фун ции (sin x, cos x, tg x, ctg x) через а ую-нибудь одну фун цию f(x).
2°. Та а
sin x = 2 sin |
x |
cos |
|
|
x |
|
|
|
2 x |
– sin |
2 x |
, |
|
|
|||||||||||||
-2- |
|
|
-2- |
, cos x = cos |
|
-- |
|
-- |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
то, разделив правые части этих равенств на sin |
2 x |
|
|
|
+ cos |
2 x |
= 1, |
||||||||||||||||||||
|
|
-- |
|
|
|
-- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
x |
cos |
|
x |
|
|
|
|
cos |
2 x |
– sin |
2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
-- |
|
- |
- |
|
|
|
|
-2- |
|
|
|
-- |
|
|
|
|||||||||||
sin x = --------- |
---- |
----- |
2---- |
--------- |
- |
2---- |
-- |
|
, |
cos x = --------- |
- |
----- |
----- |
- |
---- |
|
- |
- |
-- |
2-- . |
|
|
|
||||
|
sin |
2 x |
+ cos |
2 x |
|
|
sin |
2 x |
+ cos |
2 x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
-- |
|
-2- |
|
|
|
-- |
|
|
-2- |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделим теперь числитель и знаменатель аждо о из этих |
|||||||||||||||||||||||||||
равенств на cos |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
1 – tg |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- |
- |
|
|
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin x = |
--- |
----- |
--------- |
2----- |
- |
|
, |
cos x = --------- |
- |
------- |
----2-- . |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
1 + tg |
2 x |
|
|
1 + tg |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
-- |
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь x − (2k + 1)π, k Ý Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3°. Выразим теперь tg x и ctg x через tg x-- : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
x |
|
|
1 – tg |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
tg x = sinx |
|
- |
- |
|
|
|
-- |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= ------ |
|
- |
---- |
-- |
--- |
- |
2------ |
, ctg x = |
|
------- |
---- |
------ |
|
---- |
2-- |
. |
|
|
(2) |
||||||||
|
cosx |
|
1 |
– tg |
2 x |
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
-- |
|
|
-2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
285
Первая из этих формул имеет смысл при x − π + πk, x − π +
--
2
+ πk, k Ý Z, а вторая — при x − πk, k Ý Z. Примеры. 1. До азать тождество
sin 4α + cos 4α ctg 2α = ctg 2α.
Р е ш е н и е. Выразив sin 4α и cos 4α через tg 2α по формулам (1), получим
sin 4α + cos 4α ctg 2α = |
-----2----tg--------2----α------ |
+ |
-1--------–---tg-----2----2----α-- |
· |
-------1------- |
= |
|||||
|
|
|
1 + tg2 2α |
|
1 + tg2 2α |
|
tg 2α |
|
|||
= 2tg-----------2----2---α------+-----1-----–------tg------2----2----α- |
= |
(---1---- |
----tg------2----2----α-----+--------1----- |
----- |
= - |
------1------- |
|
= ctg 2α. |
|||
(1 + tg2 2α) tg 2α |
|
+ tg2 2α) tg 2α |
|
|
tg 2α |
|
|
|
|||
2. Найти A = sin4 α – cos4 α, если tg |
α--- = |
1-- . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Упростим данное выражение:
A = sin4 α – cos4 α = –(cos4 α – sin4 α) =
=–(cos2 α – sin2 α)(cos2 α + sin2 α) =
=–(cos2 α – sin2 α) = –cos 2α.
Далее находим
1 – tg |
2α |
|
1 – |
1 |
|
|
|
|
|
--- |
|
4-- |
|
3 |
|
||
cos α = ----------------- |
--- |
-2-- |
= |
----------- |
= |
; |
||
1 + tg |
2 |
α |
|
1 + |
1 |
|
5 |
|
|
--- |
|
-4- |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sin α = ä |
9 |
1 – ------ |
|
|
25 |
Следовательно,
α 1 – tg2 α cos 2 = -----------------------
1 + tg2 α
4
= ä-- ;
5
1 – 16------
9
= -----------------
1 + 16------
9
4 |
3 |
4 |
tg α = ä-- |
: -- |
= ä-- . |
5 |
5 |
3 |
7 7
= – ------ , т. е. A = ------ .
25 25
4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
1°. Формулы преобразования произведения синуса и осинуса в сумму получаются из формул сложения для синуса и о- синуса.
286
2°. Запишем формулы для синуса суммы и синуса разности ар ументов x и y:
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y; sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.
Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2, получим
sin x cos y = |
- sin - - - - - - - - - ( - - x-----+------y----)---+------sin---------(---x-----–-----y----) . |
(1) |
|
2 |
|
3°. Запишем формулы для осинуса суммы и осинуса разности ар ументов x и y:
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y; cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y.
Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2, получим
|
|
cos x cos y = -cos---------(----x-----+----y----)----+------cos----------(--x-----–-----y----) . |
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Анало ично, вычитая из второ о равенства первое, в ре- |
|||||||||||
зультате получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin x sin y = -cos---------(---x------–----y----)---–------cos---------(---x-----+-----y----) . |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пример. Представить cos2 x cos 3x в виде суммы три оно- |
|||||||||||
метричес их фун ций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е. Заменив cos2 x на |
1------+------cos---------2----x-- , имеем |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
(1 + cos 2x) cos 3x = |
1 |
cos 3x + |
1 |
cos 2x cos 3x. |
|
|||||
-- |
2-- |
2-- |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь применим формулу (2): |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
cos 2x cos 3x |
= |
1 |
cos 3x + |
1 |
(cos x + cos 5x). |
|
||
-- cos 3x + |
2-- |
2-- |
4-- |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ита , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x cos 3x = 1-- cos 3x + |
1-- cos x + 1-- cos 5x. |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
287
4°. Полезно та же знать формулы преобразования произведения тан енсов и отан енсов в сумму:
tg α tg β = |
--- |
tg--------α-----+------tg-------β---- |
, |
(4) |
|
ctg α + ctg β |
|
|
|
ctg α ctg β = |
ctg-----------α-----+------ctg----------β- . |
(5) |
||
|
|
tg α + tg β |
|
|
5. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций
1°. Выведем формулу, позволяющую преобразовать сумму sin α + sin β в произведение три онометричес их фун ций. Положим α = x + y, β = x – y и найдем
sin α + sin β = sin (x + y) + sin (x – y) =
=sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y – cos x sin y =
=2 sin x cos y.
Решив теперь систему уравнений α = x + y, β = x – y относи-
α + β α – β
тельно x и y, получим x = ------------- , y = ------------- . Следовательно,
2 2
sin α + sin β = 2 sin |
α------+------β- |
cos |
α------–-----β-- . |
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2°. Анало ично выводятся формулы |
|
|
|
|
|||
sin α – sin β = 2 sin |
α------–-----β-- cos α------+------β- |
, |
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
cos α + cos β = 2 cos |
α------+------β- |
cos |
α------–-----β-- |
, |
|
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
cos α – cos β = –2 sin |
α------+------β- |
sin |
α------–-----β-- . |
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3°. Для суммы тан енсов имеем |
|
|
|
|
|||
tg α + tg β = -sin---------α-- + |
- sin - - - - - - - - - β- - |
= -sin---------α-------cos---------β-----+------sin---------β------cos---------α-- |
, |
||||
cosα |
cos β |
|
|
cosα cosβ |
|
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
tg α + tg β = -sin---------(--α------+-----β)----- |
α − |
-π- |
+ πk, β − |
-π- + πk; k Ý Z . |
|||
cosα cosβ |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
288
4°. Точно та же получаются следующие формулы:
tg α – tg β = -sin---------(---α-------–---β)----- α − |
-π- |
+ πk, β − -π- |
+ πk; k Ý Z |
, |
|
cosα cosβ |
2 |
2 |
|
|
|
ctg α + ctg β = - |
sin---------(--α------+-----β)---- |
(α − πk, β − πk; k Ý Z), |
|
||
|
sinα sinβ |
|
|
|
|
ctg α – ctg β = - |
sin---------(--β-----–-----α-----) |
(α − πk, β − πk; k Ý Z). |
|
||
|
sinα sinβ |
|
|
|
|
(6)
(7)
(8)
5°. Полезно та же знать формулу для преобразования в произведение выражения a sin α + b cos α (a и b — любые действи-
тельные числа, не равные нулю). Эта формула имеет вид |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a sin α + b cos α = r sin (α + ϕ), |
|
(9) |
||||||||||||
де r = a |
2 |
+ b |
2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, tg ϕ = -- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры. 1. Преобразовать в произведение: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
а) 1 + sin α + cos α; |
|
|
б) |
3 – 2 sin α; |
|
|
|
||||||||||
|
|
в) 3 sin x + 4 cos x; |
|
|
|
cosα + |
3sinα |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
) ----------------------------------------- . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα – |
|
3sinα |
|
|
|
|
Р е ш е н и е. а) 1 + sin α + cos α = (1 + cos α) + sin α = |
|
||||||||||||||||||
= 2 cos2 |
|
α |
|
|
α |
|
|
α |
|
|
|
α |
cos |
α |
α |
|
= |
|
|
|
--- + 2 sin --- |
cos --- = 2 cos --- |
--- |
+ sin --- |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
= 2 cos |
α |
|
|
|
|
α |
|
α |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
--- |
sin 90° – --- |
+ sin --- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2 cos |
α |
· 2 sin 45° · cos |
45° – |
α |
|
|
|
|
α |
|
α |
. |
|||||||
--- |
--- |
= 2 2 cos --- cos |
45° – --- |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
б) 3 – 2 sin α = 2 |
3 |
|
– sin α |
|
= 2 (sin 60° – sin α) = |
|
|||||||||||||
------- |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 sin |
30° |
α |
cos |
|
α |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
– --- |
30° + --- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 3 sin x + 4 cos x = |
32 + 42 sin (x + ϕ) = 5 sin (x + ϕ), де |
||||||||||||||||||
tg ϕ = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
289
) I способ. Разделив числитель и знаменатель дроби на 2, получим
1 |
3 |
sinα |
|
|
|
|
|
-- cosα + |
- - - - - - - |
= cos60 |
° cosα + sin60 |
° sinα |
|
cos ( 60° – α ) . |
|
M = -2-------------------------------- |
2 |
------------ |
= |
||||
1 |
3 |
sinα |
cos60° cosα – sin60° sinα |
|
cos ( 60° + α) |
||
-- cosα – ------- |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
II способ. Используя формулу (9), получим
M = ------- |
--3----sin---------α-----+------cos----------α------ |
= ------ |
-1----+------3----sin---------(---α-----+------ϕ----)-- = |
--2-----sin--------(---α-----+------ϕ----)-- |
, |
|||
|
–( |
3 sinα – cosα) |
– |
1 + 3 sin(α – ϕ) |
–2sin(α – ϕ) |
|
||
де tg ϕ = --- |
1---- , т. е. ϕ = 30°. Следовательно, |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M = ---sin---------(--α-----+------30-------°---)-- = |
-cos----------(---60------°----–-----α-----) . |
|
||||
|
|
|
–sin(α – 30°) |
cos(60° + α) |
|
|
||
2. Упростить - |
--sin---------α-----+------2-----sin3-------------α----+------sin---------5----α---- . |
|
|
|||||
|
|
|
sin3α + 2sin5α + sin7α |
|
|
|||
Р е ш е н и е. - |
--sin---------α-----+------2-----sin--------3-----α----+------sin---------5----α---- = |
|
|
|||||
|
|
|
sin3α + 2sin5α + sin7α |
|
|
|||
= |
----(-sin---------α------+------sin---------5----α----)---+------2----sin---------3----α---- |
= 2-----sin---------3----α----cos----------2---α------+-----2-----sin---------3---α-- = |
|
|||||
|
( sin3α + sin7α) + 2sin5α |
2sin5α cos2α + 2sin5α |
|
|||||
= |
2-----sin---------3----α----(----cos--------2----α-----+------1----) = |
-sin---------3----α-- . |
|
|
|
|||
|
2sin5α( cos2α + 1) |
sin5α |
|
|
|
|||
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ |
ВОПРОСЫ |
|
|
||
1. На основании а их соотношений выводятся формулы три$о- нометричес их фун ций двойно- $о ар$умента?
2. Выразите sin 2α и cos 2α толь о через: а) sin α; б) cos α.
α |
α |
че- |
3. Выразите sin --- |
и cos --- |
|
2 |
2 |
|
рез cos α. |
|
|
4.Выведите формулы для три- $онометричес их фун ций половинно$о ар$умента.
5.Найдите sin 4α, если tg α = 3.
6.Найдите cos 4α, если tg 2α = 8.
7.Ка ие соотношения положены в основу для вывода фор-
мул преобразования произведения три$онометричес их фун - ций в сумму? Выведите эти формулы.
8.Ка ие соотношения положены в основу для вывода формул суммы и разности одноименных три$онометричес их фун - ций? Выведите эти формулы.
9.Разложите на множители:
а) 
2 + 2 cos x; б) 
3 – 2 cos x;
в) sin x + cos y; $) 
3 – tg x; д) 1 + tg x; е) 1 + sin x – cos x; ж) 3 – 4 cos2 (270° – α).
290