Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

К упражнению 15а

1. Преобразуем данное неравенство:

x----2----------4----x-----+-----8--

m 1;

x----2----------4----x-----+-----8-----------x----------2--

m 0;

(---x----------2----)---(--x----------3----)-

m 0.

x + 2

 

x + 2

 

x + 2

 

2. Используя метод интервалов (рис. 146), найдем решение последне$о неравенства: x Ý (–×; –2) [2; 3].

Рис. 146

3. Ита , x = 3 — наибольшее решение.

К упражнению 16а

1.Сложив уравнения системы, получим 3x = 30, т. е. x = 10.

2.Подставив x = 10 во второе уравнение системы, имеем 10 – 10y –

2y = 22, от уда y = –1.

3.Значит, x + y = 10 – 1 = 3.

281

Т е м а 15

À

Тригонометрические функции двойного аргумента. Тригонометрические функции половинного аргумента. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций

Теоретичес ие сведения

1. Тригонометрические функции двойного аргумента

1°. Из формул синуса и осинуса суммы (см. тему 14, п. 10) получаются формулы синуса и осинуса двойно о ар умента.

Если в соотношениях

 

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

 

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

 

положить α = β, то получим

 

sin 2α = 2 sin α cos α,

(1)

cos 2α = cos2 α – sin2 α.

(2)

2°. Выразив правую часть формулы (2) через одну три онометричес ую фун цию (синус или осинус), приходим соотношениям

cos 2α = 1 – 2 sin2 α,

cos 2α = 2 cos2 α – 1.

3°. Из формул (3) можно выразить sin2 α и cos2 α

cos 2α:

 

sin2 α = 1-----------cos----------2----α-- ,

cos2 α = 1------+-----cos----------2----α-- .

2

2

(3)

через

(4)

Равенства (4) называются формулами понижения степени. 4°. Из формулы тан енса суммы получается формула тан-

енса двойно о ар умента. Пола ая α = β в соотношении

tg (α + β) =

---tg-------α-----+------tg-------β----

,

 

1 – tg α tg β

 

282

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2α =

-----2----tg--------α------

.

 

 

 

 

(5)

 

1 – tg2 α

 

 

 

 

 

 

 

Эта формула справедлива при условиях α −

-π-

+

π----k--

, α −

-π-

+

 

 

 

4

 

2

 

2

 

+ πk, де k Ý Z.

5°. Кроме перечисленных формул (1)—(5), полезно знать и формулы три онометричес их фун ций тройно о ар умента:

 

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α;

 

 

cos 3α = 4 cos3 α – 3 cos α;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 3α = 3-----tg-------α-----------tg------3----α-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – 3 tg2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. 1. Вычислить без таблиц sin 75° sin 15°.

 

 

 

 

Р е ш е н и е. sin 75° sin 15° = sin (90° – 15°) sin 15° =

 

 

= cos 15° sin 15° = 2-----cos----------15-------°----sin---------15--------°

= sin-----------30-------°

=

1-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2. Упростить 1 – cos

 

α

– 3π

 

– cos2

α

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

---

--- + sin2

--- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. 1 – cos

 

α

– 3π

– cos2

α

+ sin2

 

α

 

 

 

 

 

- - -

---

 

--- =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

= 1 – cos 3π –

α

 

– cos2

α

 

 

 

 

α

 

= 1 + cos

α

– cos

α

= 1.

-2--

---

– sin2 ---

-2--

-2--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. До азать тождество tg 4α – sec 4α =

-sin---------2----α-----------cos---------2----α-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2α + cos2α

 

 

 

Р е ш е н и е. tg 4α – sec 4α =

-----2----tg---------2--α-------

----

-

--1------

---

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 – tg2

 

 

cos4α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------

 

 

 

 

=

-----

2----tg--------2---α-------

 

-

--------

----

 

1----

--------

 

----

-----

--

 

= -----

2----tg--------2---α-----

--

 

 

-----cos--------2----

2----α---

--

=

 

 

1 – tg2

 

 

cos2 2α – sin2

 

 

1 – tg2

 

 

1 – tg2

 

 

 

=

 

2 tg 2α

 

1 + tg2

=

2 tg 2α – 1 – tg2

=

 

 

 

 

 

 

1-----------tg------2----2----α--

-

1----------tg-------------2 2-α--

----

----

--

---

-1----------tg-------2---2----α-----

---

---

----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= –

(1 – tg 2α)2

 

= –

1 – tg 2α

=

sin2α

– 1

 

:

 

sin2α

+ 1

 

=

---1----------tg-------2---

2-----α----

 

1 +-tg---------2--α--

-cos---------2----α--

 

 

-cos---------2----α--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

-sin---------2----α-----------cos2-------------α-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2α + cos2α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

283

2. Тригонометрические функции половинного аргумента

1°. Если в формулах

cos 2α = 1 –2 sin2 α, cos 2α = 2 cos2 α – 1

(см. п. 1) положить α = x--

, то получим

 

 

2

 

 

 

 

 

 

cos x = 1 – 2 sin

2 x

,

2

x

– 1.

--

cos x = 2 cos

--

 

 

2

 

 

2

 

2°. Из формул (1) следует, что

 

sin x--

= ä

1-----------cos---------x--

,

2

 

2

 

cos x--

= ä

1------+------cos---------x-- .

2

 

2

 

(1)

(2)

(3)

С помощью формул (2) и (3) можно вычислять значения си-

нуса и осинуса половинно о ар умента

x--

по заданному оси-

 

 

2

 

нусу ар умента x.

 

 

 

3°. Разделив почленно равенства (2) и (3), получим формулу

tg x-- = ä

-1----------cos----------x-- .

 

(4)

2

1 + cosx

 

 

4°. В формулах (2)—(4) зна перед ради алом зависит от то-

x

о, в а ой оординатной четверти находится у ол -- .

2

5°. Умножив числитель и знаменатель под оренно о выражения формулы (4) на 1 + cos x (или на 1 – cos x), после упро-

щений получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

x--

=

------sin---------x--------

;

tg

x--

=

1-----------cos---------x-- .

(5)

 

2

 

1 + cosx

 

 

2

 

sinx

 

Примеры. 1. Упростить выражение 1 – 2 sin2 α + cos 2α.

Р е ш е н и е. I способ. (1 + cos 2α) – 2 sin2 α = 2 cos2 α –

2 sin2 α = 2(cos2 α – sin2 α) = 2 cos 2α.

II способ. (1 – 2 sin2 α) + cos 2α = cos 2α + cos 2α = 2 cos 2α.

284

2. Вычислить без таблиц tg 112° 30′.

Р е ш е н и е. tg 112° 30′ =

1-----------cos---------225-----------°-

=

1-----------cos---------(---180-----------°----+-----45--------

°---)

=

 

 

 

 

 

 

 

sin225°

 

sin(180° + 45°)

 

 

 

1 + cos 45°

 

1

+ ---

--2-

2

 

 

 

 

 

=

 

 

 

2

 

= –(1 + 2 ).

 

 

 

--------sin-----------45--------°----

= –---

-----

--------

-2---------

-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

1°. При решении три онометричес их уравнений, до азательстве неравенств и т. п. часто возни ает необходимость выразить все четыре три онометричес ие фун ции (sin x, cos x, tg x, ctg x) через а ую-нибудь одну фун цию f(x).

2°. Та а

sin x = 2 sin

x

cos

 

 

x

 

 

 

2 x

– sin

2 x

,

 

 

-2-

 

 

-2-

, cos x = cos

 

--

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

то, разделив правые части этих равенств на sin

2 x

 

 

 

+ cos

2 x

= 1,

 

 

--

 

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

x

cos

 

x

 

 

 

 

cos

2 x

– sin

2 x

 

 

 

 

--

 

-

-

 

 

 

 

-2-

 

 

 

--

 

 

 

sin x = ---------

----

-----

2----

---------

-

2----

--

 

,

cos x = ---------

-

-----

-----

-

----

 

-

-

--

2-- .

 

 

 

 

sin

2 x

+ cos

2 x

 

 

sin

2 x

+ cos

2 x

 

 

 

 

 

--

 

-2-

 

 

 

--

 

 

-2-

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим теперь числитель и знаменатель аждо о из этих

равенств на cos

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-- :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg

x

 

 

 

 

1 – tg

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

-

 

 

 

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x =

---

-----

---------

2-----

-

 

,

cos x = ---------

-

-------

----2-- .

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

1 + tg

2 x

 

 

1 + tg

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь x − (2k + 1)π, k Ý Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°. Выразим теперь tg x и ctg x через tg x-- :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg

x

 

 

1 – tg

2 x

 

 

 

 

tg x = sinx

 

-

-

 

 

 

--

 

 

 

 

= ------

 

-

----

--

---

-

2------

, ctg x =

 

-------

----

------

 

----

2--

.

 

 

(2)

 

cosx

 

1

– tg

2 x

 

 

2tg

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--

 

 

-2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

285

Первая из этих формул имеет смысл при x − π + πk, x − π +

--

2

+ πk, k Ý Z, а вторая — при x − πk, k Ý Z. Примеры. 1. До азать тождество

sin 4α + cos 4α ctg 2α = ctg 2α.

Р е ш е н и е. Выразив sin 4α и cos 4α через tg 2α по формулам (1), получим

sin 4α + cos 4α ctg 2α =

-----2----tg--------2----α------

+

-1-----------tg-----2----2----α--

·

-------1-------

=

 

 

 

1 + tg2

 

1 + tg2

 

tg 2α

 

= 2tg-----------2----2---α------+-----1-----------tg------2----2----α-

=

(---1----

----tg------2----2----α-----+--------1-----

-----

= -

------1-------

 

= ctg 2α.

(1 + tg2 2α) tg 2α

 

+ tg2 2α) tg 2α

 

 

tg 2α

 

 

 

2. Найти A = sin4 α – cos4 α, если tg

α--- =

1-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Упростим данное выражение:

A = sin4 α – cos4 α = –(cos4 α – sin4 α) =

=–(cos2 α – sin2 α)(cos2 α + sin2 α) =

=–(cos2 α – sin2 α) = –cos 2α.

Далее находим

1 – tg

2α

 

1 –

1

 

 

 

 

---

 

4--

 

3

 

cos α = -----------------

---

-2--

=

-----------

=

;

1 + tg

2

α

 

1 +

1

 

5

 

 

---

 

-4-

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

sin α = ä

9

1 – ------

 

25

Следовательно,

α 1 – tg2 α cos 2 = -----------------------

1 + tg2 α

4

= ä-- ;

5

1 – 16------

9

= -----------------

1 + 16------

9

4

3

4

tg α = ä--

: --

= ä-- .

5

5

3

7 7

= – ------ , т. е. A = ------ .

25 25

4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

1°. Формулы преобразования произведения синуса и осинуса в сумму получаются из формул сложения для синуса и о- синуса.

286

2°. Запишем формулы для синуса суммы и синуса разности ар ументов x и y:

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y; sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.

Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2, получим

sin x cos y =

- sin - - - - - - - - - ( - - x-----+------y----)---+------sin---------(---x----------y----) .

(1)

 

2

 

3°. Запишем формулы для осинуса суммы и осинуса разности ар ументов x и y:

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y; cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y.

Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2, получим

 

 

cos x cos y = -cos---------(----x-----+----y----)----+------cos----------(--x----------y----) .

(2)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Анало ично, вычитая из второ о равенства первое, в ре-

зультате получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x sin y = -cos---------(---x----------y----)---------cos---------(---x-----+-----y----) .

(3)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Пример. Представить cos2 x cos 3x в виде суммы три оно-

метричес их фун ций.

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Заменив cos2 x на

1------+------cos---------2----x-- , имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

(1 + cos 2x) cos 3x =

1

cos 3x +

1

cos 2x cos 3x.

 

--

2--

2--

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь применим формулу (2):

 

 

 

 

 

1

 

1

cos 2x cos 3x

=

1

cos 3x +

1

(cos x + cos 5x).

 

-- cos 3x +

2--

2--

4--

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ита ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x cos 3x = 1-- cos 3x +

1-- cos x + 1-- cos 5x.

 

 

 

 

2

 

 

 

4

 

 

4

 

287

4°. Полезно та же знать формулы преобразования произведения тан енсов и отан енсов в сумму:

tg α tg β =

---

tg--------α-----+------tg-------β----

,

(4)

 

ctg α + ctg β

 

 

ctg α ctg β =

ctg-----------α-----+------ctg----------β- .

(5)

 

 

tg α + tg β

 

 

5. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций

1°. Выведем формулу, позволяющую преобразовать сумму sin α + sin β в произведение три онометричес их фун ций. Положим α = x + y, β = x – y и найдем

sin α + sin β = sin (x + y) + sin (x – y) =

=sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y – cos x sin y =

=2 sin x cos y.

Решив теперь систему уравнений α = x + y, β = x – y относи-

α + β α – β

тельно x и y, получим x = ------------- , y = ------------- . Следовательно,

2 2

sin α + sin β = 2 sin

α------+------β-

cos

α-----------β-- .

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2°. Анало ично выводятся формулы

 

 

 

 

sin α – sin β = 2 sin

α-----------β-- cos α------+------β-

,

 

 

 

 

2

 

2

 

 

cos α + cos β = 2 cos

α------+------β-

cos

α-----------β--

,

 

 

 

 

2

 

2

 

 

cos α – cos β = –2 sin

α------+------β-

sin

α-----------β-- .

 

 

 

 

2

 

2

 

 

3°. Для суммы тан енсов имеем

 

 

 

 

tg α + tg β = -sin---------α-- +

- sin - - - - - - - - - β- -

= -sin---------α-------cos---------β-----+------sin---------β------cos---------α--

,

cosα

cos β

 

 

cosα cosβ

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

tg α + tg β = -sin---------(--α------+-----β)-----

α −

-π-

+ πk, β −

-π- + πk; k Ý Z .

cosα cosβ

2

 

 

2

 

 

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

288

4°. Точно та же получаются следующие формулы:

tg α – tg β = -sin---------(---α----------β)----- α −

-π-

+ πk, β − -π-

+ πk; k Ý Z

,

cosα cosβ

2

2

 

 

ctg α + ctg β = -

sin---------(--α------+-----β)----

(α − πk, β − πk; k Ý Z),

 

 

sinα sinβ

 

 

 

 

ctg α – ctg β = -

sin---------(--β----------α-----)

(α − πk, β − πk; k Ý Z).

 

 

sinα sinβ

 

 

 

 

(6)

(7)

(8)

5°. Полезно та же знать формулу для преобразования в произведение выражения a sin α + b cos α (a и b — любые действи-

тельные числа, не равные нулю). Эта формула имеет вид

 

 

 

 

 

 

a sin α + b cos α = r sin (α + ϕ),

 

(9)

де r = a

2

+ b

2

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, tg ϕ = -- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. 1. Преобразовать в произведение:

 

 

 

 

 

а) 1 + sin α + cos α;

 

 

б)

3 – 2 sin α;

 

 

 

 

 

в) 3 sin x + 4 cos x;

 

 

 

cosα +

3sinα

 

 

 

 

 

 

 

) ----------------------------------------- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα –

 

3sinα

 

 

 

Р е ш е н и е. а) 1 + sin α + cos α = (1 + cos α) + sin α =

 

= 2 cos2

 

α

 

 

α

 

 

α

 

 

 

α

cos

α

α

 

=

 

 

--- + 2 sin ---

cos --- = 2 cos ---

---

+ sin ---

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

= 2 cos

α

 

 

 

 

α

 

α

 

=

 

 

 

 

 

 

---

sin 90° – ---

+ sin ---

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 cos

α

· 2 sin 45° · cos

45° –

α

 

 

 

 

α

 

α

.

---

---

= 2 2 cos --- cos

45° – ---

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

б) 3 – 2 sin α = 2

3

 

– sin α

 

= 2 (sin 60° – sin α) =

 

-------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 4 sin

30°

α

cos

 

α

.

 

 

 

 

 

 

 

---

30° + ---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 3 sin x + 4 cos x =

32 + 42 sin (x + ϕ) = 5 sin (x + ϕ), де

tg ϕ =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

289

) I способ. Разделив числитель и знаменатель дроби на 2, получим

1

3

sinα

 

 

 

 

 

-- cosα +

- - - - - - -

= cos60

° cosα + sin60

° sinα

 

cos ( 60° – α ) .

M = -2--------------------------------

2

------------

=

1

3

sinα

cos60° cosα – sin60° sinα

 

cos ( 60° + α)

-- cosα – -------

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

II способ. Используя формулу (9), получим

M = -------

--3----sin---------α-----+------cos----------α------

= ------

-1----+------3----sin---------(---α-----+------ϕ----)-- =

--2-----sin--------(---α-----+------ϕ----)--

,

 

–(

3 sinα – cosα)

1 + 3 sin(α – ϕ)

–2sin(α – ϕ)

 

де tg ϕ = ---

1---- , т. е. ϕ = 30°. Следовательно,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

M = ---sin---------(--α-----+------30-------°---)-- =

-cos----------(---60------°---------α-----) .

 

 

 

 

–sin(α – 30°)

cos(60° + α)

 

 

2. Упростить -

--sin---------α-----+------2-----sin3-------------α----+------sin---------5----α---- .

 

 

 

 

 

sin3α + 2sin5α + sin7α

 

 

Р е ш е н и е. -

--sin---------α-----+------2-----sin--------3-----α----+------sin---------5----α---- =

 

 

 

 

 

sin3α + 2sin5α + sin7α

 

 

=

----(-sin---------α------+------sin---------5----α----)---+------2----sin---------3----α----

= 2-----sin---------3----α----cos----------2---α------+-----2-----sin---------3---α-- =

 

 

( sin3α + sin7α) + 2sin5α

2sin5α cos2α + 2sin5α

 

=

2-----sin---------3----α----(----cos--------2----α-----+------1----) =

-sin---------3----α-- .

 

 

 

 

2sin5α( cos2α + 1)

sin5α

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ

ВОПРОСЫ

 

 

1. На основании а их соотношений выводятся формулы три$о- нометричес их фун ций двойно- $о ар$умента?

2. Выразите sin 2α и cos 2α толь о через: а) sin α; б) cos α.

α

α

че-

3. Выразите sin ---

и cos ---

2

2

 

рез cos α.

 

 

4.Выведите формулы для три- $онометричес их фун ций половинно$о ар$умента.

5.Найдите sin 4α, если tg α = 3.

6.Найдите cos 4α, если tg 2α = 8.

7.Ка ие соотношения положены в основу для вывода фор-

мул преобразования произведения три$онометричес их фун - ций в сумму? Выведите эти формулы.

8.Ка ие соотношения положены в основу для вывода формул суммы и разности одноименных три$онометричес их фун - ций? Выведите эти формулы.

9.Разложите на множители:

а) 2 + 2 cos x; б) 3 – 2 cos x;

в) sin x + cos y; $) 3 – tg x; д) 1 + tg x; е) 1 + sin x – cos x; ж) 3 – 4 cos2 (270° – α).

290

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]