Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

жительные числа, любой ее член, начиная со второ о, равен арифметичес ому вадратному орню из произведения предшествующе о и последующе о членов, т. е.

6°. Формула n- о члена еометричес ой про рессии имеет вид

7°. Формула суммы n первых членов еометричес ой про-рессии имеет вид

8°. Если в формулу (3) подставить вместо bn е о выражение по формуле (2), то получится соотношение

9°. Из определения знаменателя еометричес ой про рессии следует, что b1bn = b2bn – 1 = ... , т. е. произведение членов,

равноотстоящих от онцов про рессии, есть величина постоянная.

Примеры. 1. До азать, что последовательность (xn), заданная формулой обще о члена xn = 2bn, де b − 0, является еометричес ой про рессией.

Р е ш е н и е. Воспользуемся хара теристичес им свойством еометричес ой про рессии (см. п. 5°). Та а xn – 1 = 2bn – 1, xn + 1 = 2bn + 1, то

xn – 1 xn + 1 = 2bn – 1 · 2bn + 1 = 4b2n = xn2 ,

т. е. (xn) — еометричес ая про рессия.

образуют еометричес ую про рессию. Найти x.

241

Р е ш е н и е. Та а bn2 = bn – 1 · bn + 1, то

3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичес ой про рессии, равна 21. Если второе число уменьшить на 1, а третье увеличить на 1, то получатся три последовательных члена еометричес ой про рессии. Найти эти числа.

Р е ш е н и е. Пусть a1, a2, a3 — члены арифметичес ой про-рессии. То да a1, a2 – 1, a3 + 1 — члены еометричес ой про-рессии. В результате приходим системе уравнений

a1 + a2 + a3 = 21, (a2 – 1)2 = a1(a3 + 1),

первое уравнение оторой получается из условия задачи, а второе — на основании хара теристичес о о свойства еометриче- с ой про рессии.

Выразив теперь все величины через a1 и d, имеем

Ита , получаем ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1

1°. Пусть (bn) — еометричес ая про рессия со знаменателем q, де |q| < 1 и первый член b1 − 0. С ммой бес онечнойеометричес ой про рессии, знаменатель оторой удовлетво-

242

ряет условию |q| < 1, называют предел суммы n первых ее членов при n º ×.

2°. Обозначим сумму бес онечной еометричес ой про рессии через S. То да справедлива формула

S = lim S = b1 . n ------------

n º ∞ 1 – q

Примеры. 1. Найти сумму бес онечной еометричес ой про-

Ре ш е н и е. Здесь b = 2, |q| = 1 < 1. Следовательно,

1 --

3

2. Обратить периодичес ую дробь 0,58333... в обы новенную. Р е ш е н и е. Данную дробь можно записать в виде

Выражение в с об ах представляет собой сумму бес онечнойеометричес ой про рессии, у оторой первый член b1 = 0,003,

а знаменатель q = 0,0003 : 0,003 = 0,1. Следовательно,

0,58(3) = 58 + 0,003 = 58 + 1 = 7 .

--------- ------------------ --------- --------- ------

100 1 – 0,1 100 300 12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

243

УПРАЖНЕНИЯ

1. В онечной арифметичес ой про рессии (an) известны три числа из пяти (a1, d, n, an, Sn). Требуется найти остальные два числа:

а) a1 = 10, d = 4, an = 50; найдите n и Sn;

244

б) a1 = 10, d = 4, Sn = 330; найдите n и an; в) a1 = 10, n = 11, Sn = 330; найдите an и d;) d = 4, an = 50, Sn = 330; найдите a1 и n.

2.Известно, что 4-й член арифметичес ой про рессии равен 9, а 9-й член равен (–6). С оль о нужно взять членов, чтобы их сумма была равна 54?

3.Два тела, находясь на расстоянии 153 м дру от дру а, движутся навстречу. Первое проходит 10 м в се унду, второе в первую се унду прошло 3 м, а в аждую следующую се унду проходит на 5 м больше, чем в предыдущую. Через с оль о се унд эти тела встретятся?

4.Найдите первый член a1 и разность d арифметичес ой

про рессии, в оторой a2 + a5 – a3 = 10, a2 + a9 = 17.

5.Сумма вадратов 5- о и 11- о членов арифметичес ой про рессии равна 3, а произведение 2- о и 14- о членов этой же про рессии равно k. Найдите произведение 1- о и 15- о членов про рессии.

6.Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, ратных трем.

7.Найдите сумму всех трехзначных чисел, оторые при делении на 3 дают остато 2.

8.Найдите четыре числа между числами 4 и 40 та , чтобы получилась арифметичес ая про рессия.

9.При делении 13- о члена арифметичес ой про рессии на 3-й член в частном получится 3, а при делении 18- о члена на 7-й член в частном получится 2 и в остат е 8. Определите первый член про рессии и ее разность.

10.Найдите x из уравнения

1,5 + 2 + 2,5 + ... + x = 37,5.

11.Определите, при а их значениях x три числа a1, a2, a3, взятые в у азанной последовательности, образуют арифметиче- с ую про рессию, если a1 = lg 2; a2 = lg (3x – 3); a3 = lg (3x + 9).

12.Сумма 2- о и 5- о членов арифметичес ой про рессии равна 18, а произведение 2- о члена на 3-й равно 21. Найдите эту про-рессию, если известно, что ее 2-й член — натуральное число.

13.До ажите, что если числа a, b и c образуют арифметиче-

разуют арифметичес ую про рессию.

245

14. Найдите первый член и знаменатель еометричес ой

про рессии, если известно, что b – b = –45 и b – b = – 45 .

4 2 ------ 6 4 ---------

32 512

15.В еометричес ой про рессии известно, что b1 + b5 = 51

иb2 + b6 = 102. При а их значениях n сумма n ее членов рав-

на 3069?

16.Три числа образуют еометричес ую про рессию. Если второе число увеличить на 2, то полученные числа составят арифметичес ую про рессию. Если же затем третье число увеличить на 9, то то да получится еометричес ая про рессия. Найдите эти числа.

17.Сумма трех положительных чисел, образующих арифметичес ую про рессию, равна 21. Если этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа составят еометричес ую про рессию. Найдите эти числа.

18.Если от третье о члена еометричес ой про рессии отнять 4, а ее первые два члена оставить без изменения, то эти три числа, взятые в том же поряд е, составят арифметичес ую про-рессию с разностью, равной 2. Найдите эту еометричес ую про-рессию.

19.Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичес ой про рессии, равна 60. Если второе уменьшить на 5, а третье увеличить на 10, то получатся три последовательных члена еометричес ой про рессии. Найдите эти числа.

20.Четыре числа образуют еометричес ую про рессию. Если из перво о числа вычесть 11, из второ о 1, из третье о 3,

аиз четверто о 9, то получится арифметичес ая про рессия. Найдите эти числа.

21.Между числами 1 и 256 вставьте три средних еометричес их.

22.Число членов еометричес ой про рессии — четное. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, находящихся на нечетных местах. Найдите знаменатель про рессии.

23.Запишите бес онечную периодичес ую дробь 0,777... = = 0,(7) в виде обы новенной дроби.

24.Запишите в виде обы новенной дроби число 3,(81).

25.В вадрат, сторона оторо о равна k, вписан дру ойвадрат, вершинами оторо о являются середины сторон данно о вадрата; в этот вадрат анало ично вписан новый вадрат и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей всехвадратов.

246

26. В ру радиуса R вписан вадрат, в оторый вписанру ; в этот ру — второй вадрат и т. д. Найдите сумму площадей всех ру ов и сумму площадей всех вадратов.

Задания для повторения

27.Мотоци лист отправился из пун та A в пун т B, отстоящий от A на 120 м. Обратно он ехал с той же с оростью, но через 1 ч после выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой останов и он продолжал путь до A, увеличив с орость на 6 м/ч. Ка ова была первоначальная с орость мотоци листа, если известно, что на обратный путь он затратил столь о же времени, с оль о на путь от A до B?

28.Расстояние между станциями A и B равно 103 м. Из A

вB вышел поезд, оторый, пройдя не оторое расстояние, был задержан, а затем оставшийся путь до B проходил со с оростью на 4 м/ч больше прежней. Найдите первоначальную с о- рость поезда, если известно, что оставшийся путь до B был на 23 м длиннее пути, пройденно о до задерж и, и на прохождение пути после задерж и было затрачено на 15 мин больше, чем до задерж и.

29.При а их значениях k система уравнений:

в) 2kx + y = 6k2 – 5k + 1, имеет бес онечно мно о решений? x + 2ky = 0

30. При а их значениях a и b система

a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b

имеет бес онечно мно о решений?

31. Решите неравенство:

а) x2 – x + – x2 + 2 – x m x – 1; б) 4 – x2 + x2 + x – 6 m 2 – 6 – x .

247

О Т В Е Т Ы

1. а) n = 11, Sn = 330; б) n = 11, an = 50; в) an = 50; d = 4; $) a1 = 10,

n = 11. 2. 4 или 9 членов. 3. Через 6 с. 4. a = 13, d = –1. 5. 116k2 – 39.

1 -----------------------------

90

6. 82 350. 7. 164 850. 8. 11,2; 18,4; 25,6; 32,8. 9. a1 = 12, d = 4. 10. x = 6.

25. 4(2 + 2 )k; 2k2. 26. 2πR2; 4R2. 27. 48 м/ч. 28. 80 м/ч. 29. а) k − –1; б) k = –2; в) k = 0,5. 30. a = 1, b = –1; a = 1, b = –2; a = –1, b = –1; a = –1, b = –2. 31. а) x = 1; б) x = 2.

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1. Из формулы an = a1 + d(n – 1) выразим n:

n = an – a1 + 1.

------------------

d

Следовательно, n = 50 – 10 + 1 = 11.

-------------------

4

2. Используя формулу S = a1 + an · n, находим n -------------------

2

S = 10 + 50 · 11 = 330.

11 --------------------

2

К упражнению 1б

1. Чтобы найти n, воспользуемся формулой

S = 2a1 + d(n – 1) n. n ---------------------------------------

2

2. Подставив в эту формулу a1 = 10, d = 4, Sn = 330, получим

330 = 2 10 + 4(n – 1) n

--------------------------------------------

2

и после преобразований придем вадратному уравнению n2 + + 4n – 165 = 0.

248

3. Решив это уравнение, находим n1 = –15 (не подходит по условию),

n2 = 11.

4. Теперь, используя формулу an = a1 + d(n – 1), находим

a11 = 10 + 4 · 10 = 50.

К упражнению 1в

1. Для нахождения d воспользуемся формулой

S = 2a1 + d(n – 1) n. n ---------------------------------------

2

Выразим отсюда d:

2. Далее находим a11 = 10 + 4 · 10 = 50.

К упражнению 2

1. Со$ласно условию, имеем:

а) a4 = 9, т. е. a1 + 3d = 9; б) a9 = –6, т. е. a1 + 8d = –6. 2. Та им образом, получим систему

a1 + 3d = 9,

a1 + 8d = –6,

от уда d = –3, a1 = 18.

3. Теперь воспользуемся формулой

4.В результате приходим вадратному уравнению n2 – 13n + 36 =

=0, имеющему орни n1 = 4 и n2 = 9. Ита , нужно взять 4 или 9 членов.

К упражнению 3

1. Предположим, что тела встретятся через x се унд; то$да первое тело пройдет путь, равный 10x (м), а второе — путь, равный сумме членов арифметичес ой про$рессии:

S = 3 + (3 + 5) + (3 + 5 · 2) + ... + (3 + 5(x – 1)),

т. е.

249

2. По условию

10x + S = 153, или 10x + 5x + 1 x = 153.

-----------------

2

3. После упрощений получаем вадратное уравнение 5x2 + 21x – 306,

от уда находим x = –51 (не $одится), x = 6. Ита , тела встретятся

1 ------ 2

5

через 6 с.

К упражнению 6

1.Наименьшим числом, удовлетворяющим данному условию, является 102, за ним следует число 108, затем 114 и т. д.

2.Получаем арифметичес ую про$рессию:

ò102, 108, 114, ... .

3.Наибольшим (последним) числом, удовлетворяющим условию, является число 996.

4.Та им образом, в арифметичес ой про$рессии (an), у оторой

a1 = 102, d = 6, an = 996, нам нужно определить Sn.

5. Подставив в формулу an = a1 + d(n – 1) вместо an, a1, d их значения, получим

996 = 102 + 6(n – 1), от уда n = 150.

6. Далее, подставив в формулу S = a1 + an · n вместо a , a и n их n ------------------- 1 n

2

значения, находим

S = 102 + 996 · 150 = 82 350.

150 ---------------------------

2

К упражнению 11

1. Та а числа a1, a2, a3 образуют арифметичес ую про$рессию, то для них выполняется хара теристичес ое свойство этой про$рессии:

250