Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3°. При основании 0 < a < 1 ло арифмы чисел N > 1 отрицательны, а ло арифмы чисел 0 < N < 1 положительны. Напри-

4°. Равным положительным числам соответствуют и равные ло арифмы, т. е. если N1 = N2, то loga N1 = loga N2.

5°. Если a > 1, то большему числу соответствует и больший ло арифм, т. е. если N1 > N2, то loga N1 > loga N2. Например,

log3 7 > log3 5.

6°. Если 0 < a < 1, то большему числу соответствует меньший ло арифм, т. е. если N1 > N2, то loga N1 < loga N2. Напри-

мер, log1/3 9 < log1/3 7.

7°. Ло арифм единицы по любому основанию (a > 0, a − 1) равен нулю, т. е. loga 1 = 0.

8°. Ло арифм само о основания равен 1, т. е. loga a = 1.

3. Логарифмическая функция, ее свойства и график

1°. Та а по азательная фун ция y = ax ( де a > 0, a − 1) является монотонной (возрастающей при a > 1 и убывающей при 0 < a < 1), то она имеет обратную фун цию. Чтобы найти эту обратную фун цию, нужно из формулы y = ax выразить x через y: x = loga y, а затем поменять обозначения x на y и y на x; то да получим y = loga x. Фун цию y = loga x ( де a > 0, a − 1)

называют ло арифмичес ой.

Ита , по азательная и ло арифмичес ая фун ции при одном и том же основании являются взаимно обратными фун циями.

2°. Графи ло арифмичес ой фун ции y = loga x можно построить, воспользовавшись тем, что фун ция y = loga x обратна по азательной фун ции y = ax. Поэтому достаточно построитьрафи фун ции y = ax, а затем отобразить е о симметрично относительно прямой y = x. На рис. 118 изображен рафи фун ции y = loga x при a > 1, а на рис. 119 — рафи фун ции y = loga x при 0 < a < 1.

3°. Отметим свойства фун ции y = loga x при a > 1:

а) D(f) = R+; б) E(f) = R;

в) фун ция возрастает;

211

) x = 1 _ loga x = 0;

д) 0 < x < 1 _ loga x < 0; е) x > 1 _ loga x > 0.

4°. Отметим свойства фун ции y = loga x при 0 < a < 1:

а) D(f) = R+; б) E(f) = R;

в) фун ция убывает;) x = 1 _ loga x = 0;

д) 0 < x < 1 _ loga x > 0; е) x > 1 _ loga x < 0.

4. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию

1°. Ло арифм произведения двух или нес оль их положительных чисел равен сумме ло арифмов сомножителей, т. е.

loga (N1N2 ... Nk) = loga N1 + loga N2 + ... + loga Nk.

Например, loga (3 · 4 · 6 · 7) = loga 3 + loga 4 + loga 6 + loga 7.

2°. Ло арифм частно о положительных чисел равен разности ло арифмов делимо о и делителя, т. е.

3°. Ло арифм степени равен произведению по азателя степени на ло арифм ее основания, т. е.

loga Nc = c loga N.

212

З а м е ч а н и е. Если N < 0, а c — четное число, то справедлива формула

Например, loga (–3)4 = 4loga |–3|.

4°. Формула перехода от основания b основанию a имеет вид

log N = logaN . b ----------------

logab

Например, log 7 = log47 = lg7 и т. д.

2 -------------- --------

log42 lg2

5°. Если a = N, то формула перехода примет вид

Например, 1 = log2 7 · log7 2.

6°. Если основание ло арифма и число, находящееся под зна ом ло арифма, возвести в одну и ту же степень, отличную от нуля, то значение ло арифма не изменится, т. е.

213

Р е ш е н и е. Основание ло арифма и ло арифмируемое число можно возвести в одну и ту же степень. Поэтому

3. Найти log30 8, если lg 5 = a и lg 3 = b. Р е ш е н и е. Имеем

log 8 = log 23 = 3 log 2 = 3 lg 2 ;

30 30 30 --------------

lg 30

lg 2 = lg 10 = lg 10 – lg 5 = 1 – a;

------

5

lg 30 = lg (2 · 15) = lg 2 + lg 15 = lg 2 + lg (3 · 5) = = lg 2 + lg 3 + lg 5 = 1 – a + b + a = 1 + b.

Ита , log 8 = 3(1 – a) .

30 ---------------------

1 + b

5. Десятичные логарифмы и их свойства

1°. Десятичный ло арифм числа — это ло арифм с основанием, равным 10; например, lg a, lg 5, lg 1. Десятичные ло-арифмы обладают теми же свойствами, что и ло арифмы чисел с любым положительным основанием.

2°. Десятичные ло арифмы чисел находят по специальным таблицам (ре омендуется использовать «Четырехзначные математичес ие таблицы» В. М. Брадиса).

3°. Целую часть десятично о ло арифма числа называют е о хара теристи ой, а дробную часть — мантиссой. Пусть, например, lg x = 2,7536. Здесь 2 — хара теристи а, а 0,7536 — мантисса.

4°. Известно, что любое положительное число можно записать в стандартном виде: a · 10n, де 1 m a < 10; n Ý Z. По азатель n называют поряд ом данно о числа.

5°. Хара теристи а десятично о ло арифма числа a · 10n равна n, а мантисса равна lg a. Например:

lg 4650 = lg (4,65 · 103) = 3 + lg 4,65; lg 46,5 = lg(4,65 · 101) = 1 + lg 4,65;

lg 0,0465 = lg (4,65 · 10–2) = –2 + lg 4,65.

Та им образом, ло арифмы чисел, отличающихся дру от дру а толь о поряд ом, имеют одну и ту же мантиссу.

214

6°. Из у азанных выше свойств следует, что

lg 1 = 0, lg 10 = 1, lg 100 = 2, ..., lg 10n = n (n Ý Z); lg 0,1 = –1, lg 0,01 = –2, ..., lg 10–n = –n (n Ý Z).

6. Логарифмирование и потенцирование

1°. Ло арифмирование — это преобразование, при отором ло арифм выражения с переменными приводится сумме или разности ло арифмов переменных.

2°. Необходимо чет о различать сумму ло арифмов lg a + lg b и ло арифм суммы lg (a + b). Сумма ло арифмов равна ло а- рифму произведения, т. е. lg a + lg b = lg (ab), а для ло арифма суммы lg (a + b) формулы нет.

Пример. Дано: x = 3a2 5b3 , a > 0, b > 0, c > 0. Найти lg x.

-----------------------

c4(a + b)

Р е ш е н и е. Ло арифмируя, получим

lg x = lg 3 + lg a2 + lg 5b3 – lg c4 – lg (a + b) =

7. Логарифмические уравнения

1°. Уравнение, содержащее переменную под зна ом ло а- рифма, называют ло арифмичес им. Простейшим примером ло арифмичес о о уравнения служит уравнение loga x = b ( де

a > 0, a − 1).

2°. Решение ло арифмичес о о уравнения вида loga f(x) = = loga g(x) основано на том, что та ое уравнение равносильно

уравнению f(x) = g(x) при дополнительных условиях f(x) > 0, g(x) > 0.

215

3°. Отметим, что переход от уравнения loga f(x) = loga g(x)

уравнению f(x) = g(x) может привести появлению посторонних орней. Та ие орни можно выявить либо с помощью подстанов и найденных значений в исходное ло арифмичес ое уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходно о уравнения (эта область задается системой неравенств f(x) > 0, g(x) > 0).

Пример. Решить уравнение:

а) log34 (x – 1) = 6; б) log3 (x2 – 4x – 5) = log3 (7 – 3x);

в) lg (x – 6) – 0,5 lg 2 = lg 3 + lg x – 10 .

Р е ш е н и е. а) Со ласно определению ло арифма, имеем

x – 1 = (34 )6; x – 1 = (22/3)6; x – 1 = 24; x = 17.

б) Данное уравнение сводится уравнению x2 – 4x – 5 = 7 – 3x, от уда получаем x2 – x – 12 = 0, т. е. x1 = 4, x2 = –3. Провер у вы-

полняем с помощью условий x2 – 4x – 5 > 0, 7 – 3x > 0. Значение x = 4 этой системе неравенств не удовлетворяет (и, следовательно, является посторонним орнем), а значение x = –3 удовлетворяет. Ита , x = –3 — единственный орень данно о уравнения.

в) Умножая обе части уравнения на 2 и используя свойства ло арифмов, имеем

2 lg (x – 6) – lg 2 = 2 lg 3 + lg (x – 10); lg (x – 6)2 = lg 2 + lg 32 + lg (x – 10); lg (x – 6)2 = lg 18(x – 10).

В результате данное уравнение сводится уравнению

(x – 6)2 = 18(x – 10), или x2 –30x + 216 = 0,

от уда x1 = 12, x2 = 18. Для провер и полученных значений

найдем область определения данно о уравнения; она задается системой неравенств x – 6 > 0, x – 10 > 0. Оба найденных значения этой системе удовлетворяют и, значит, служат орнями исходно о уравнения.

4°. При решении ло арифмичес их уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.

Пример. Решить уравнение logx 55 – 1,25 = logx25 . Р е ш е н и е. Преобразуем данное уравнение:

216

Пола ая logx 5 = y, получаем

от уда y1 = 1, y2 = 5. Та им образом, приходим сово упности двух уравнений: logx 5 = 1; logx 5 = 5. Из перво о уравнения

находим x1 = 5, а из второ о получим x2 = 55 .

5°. При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в по азателе степени, используют метод ло арифмирования. Если при этом в по азателе степени содержится ло арифм, то обе части уравнения надо проло арифмировать по основанию это о ло арифма.

из них имеет орень x1 = 4, а второе — орень x2 = 1. Провер а

по азывает, что оба орня удовлетворяют данному уравнению. б) Проло арифмировав обе части уравнения по основанию 2,

получим

log2 (xlog2 x + 2 ) = log2 8; (log2 x + 2)log2 x = 3.

Теперь положим log2 x = y; то да уравнение примет вид y2 + 2y –

– 3 = 0, от уда y1 = 1, y2 = –3. Из уравнения log2 x = 1 находим

8. Логарифмические неравенства

1°. Неравенство, содержащее переменную под зна ом ло а- рифма, называют ло арифмичес им. Например, неравенства

вида

loga f(x) > loga ϕ(x); loga f(x) < loga ϕ(x),де a > 0, a − 1, являются ло арифмичес ими.

217

2°. Неравенство loga f(x) > loga ϕ(x) равносильно системе f(x) > > ϕ(x) > 0 при a Ý (1; +×) и системе 0 < f(x) < ϕ(x) при a Ý (0; 1).

3°. При решении ло арифмичес их неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности ло-арифмичес ой фун ции и область ее определения.

Примеры. 1. Решить неравенство log 5x – 3 > 1.

0,5 ----------------

x + 2

Р е ш е н и е. Выразив правую часть неравенства через ло-

арифм, получим log 5x – 3 > log 0,5. Это неравенство рав-

0,5 ---------------- 0,5 x + 2

носильно системе

5x – 3 > 0,

----------------

x + 2

5x – 3 < 0,5,

----------------

x + 2

первое неравенство оторой хара теризует область определения ло арифмичес ой фун ции, а второе — ее убывание при основании 0 < 0,5 < 1. Далее имеем

Рис. 120

2. Решить неравенство loga x + loga (x + 1) m loga (2x + 6),

aÝ (1; +×).

Ре ш е н и е. Имеем

218

Ответ: (0; 3].

3. Решить неравенство log2 (2x – 1) · log2 (2x + 1 – 2) < 2.

Р е ш е н и е. Та а 2x + 1 – 2 = 2(2x – 1), то данное неравенство можно записать в виде

log2 (2x – 1) · (log2 2 + log2 (2x – 1)) < 2 _ _ log2 (2x – 1) · (1 + log2 (2x – 1)) < 2.

Пола ая log2 (2x – 1) = y и учитывая, что x > 0, получим не-

равенство y(1 + y) < 2, или y2 + y – 2 < 0, от уда –2 < y < 1. Возвращаясь переменной x, получим

9. Системы логарифмических уравнений и неравенств

Известные способы решения систем ал ебраичес их уравнений и неравенств применяются и решению систем, содержащих ло арифмичес ие уравнения и неравенства.

Примеры. 1. Решить систему уравнений

xlg y = 100, logy x = 2.

Ре ш е н и е. Ло арифмируя первое уравнение при условиях x > 0, y > 0, x − 1, y − 1, получим lg y · lg x = 2. Из второ о урав-

нения следует, что y2 = x.

Решаем теперь полученную систему уравнений:

Ответ: (100; 10); (0,01; 0,1).

219

2. Решить неравенство lg 7 – lg (– 8x – x2) > 0.

------------------------------------------------------

lg (x + 3)

Р е ш е н и е. Данное неравенство равносильно сово упности двух систем:

Множеством решений системы (*) служит промежуто (–1; 0) (рис. 121, а).

Решаем теперь систему (**):

220