Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

6. Теперь обе части уравнения (1) возведем в вадрат:

3x + a – 3x – 23x · a – 3x = 1, или 23x(a – 3x) = a – 1. (2)

7.Со)ласно определению арифметичес о)о орня, из уравнения (2) следует, что a – 1 l 0.

8.Возведем обе части уравнения (2) в вадрат и после упрощений

получим

4(3x)2 – 4a(3x) + (a – 1)2 = 0. (3) 9. Решив уравнение (3), находим

2.Из уравнения (1) непосредственно следует, что если a = 0, то

иx = 0 — частичный ответ.

3.Со)ласно определению арифметичес о)о орня, имеем: а) x l 0;

б) a – a + x l 0.

171

от уда z = 1 ä 1 – a2 .

5.Рассмотрим следующие случаи: a > 1, a = 1, 0 < a < 1, a = 0.

6.Пусть a > 1; то)да уравнение (3), а значит, и уравнение (2) не имеет решений.

7.Пусть a = 1; то)да уравнение (3) имеет единственный орень z = 1,

ауравнение (2) равносильно уравнению |x| = 1, оторое имеет два орня: x1 = –1; x2 = 1.

8.Пусть 0 < a < 1; то)да уравнение (3) имеет два орня: z1 = 1 –

– 1 – a2 ; z2 = 1 + 1 – a2 . Следовательно, уравнение (2) равносильно сово упности двух уравнений:

9. Та а z1 и z2 — неотрицательные числа, то уравнение (4) имеет два орня: x3, 4 = ä(1 + 1 – a2 ), а уравнение (5) — та же два орня:

x5, 6 = ä(1 – 1 – a2 ). Все эти числа различны, пос оль у a − 0. 10. Пусть a = 0; то)да x7 = x8 = 0.

Ответ: если a < 0 или a > 1, то нет орней; если a = 1, то x1 = –1,

x2 = 1; если 0 < a < 1, то x3, 4 = ä(1 + 1 – a2 ), x5, 6 = ä(1 – 1 – a2 ); если a = 0, то x7 = x8 = 0.

К упражнению 3а

1. Решим систему

2.Под оренное выражение x – 3 должно принимать толь о неотрицательные значения, следовательно, x l 3.

3.Записав уравнение (2) в виде y = 2 – |x – 3| и подставив это выражение в уравнение (1), получим

173

4. Та а x l 3, то уравнение (3) примет вид

5.Решив уравнение (4), находим x = 4, x = 7. Одна о значение x = 7 является посторонним орнем это)о уравнения.

6.Та им образом, получаем систему

x = 4,

y + |x – 3| = 2.

7.Эта система имеет решение x0 = 4, y0 = 1.

8.Ита , x0 : y0 = 4.

К упражнению 3б

1. Решим систему

2.Под оренное выражение должно быть неотрицательным: x l 0.

3.Из уравнения (2) выразим y:

5.Чтобы освободиться от зна а модуля, рассмотрим уравнение (4) на промежут ах 0 m x m 4 и x > 4.

6.В промежут е 0 m x < 4 от уравнения (4) переходим системе

Решив уравнение (5), находим x = 4 и x = 9 (это — посторонний о- рень). Подставив x = 4 в уравнение (2), получим y = 2. Значит, x = 4, y = 2 — решение данной системы.

7. В промежут е x > 4 от уравнения (4) переходим системе

Решив уравнение (6), находим x = 4 (это значение не удовлетворяет неравенству x > 4) и x = 1 (это — посторонний орень). Та им образом, рассмтариваемая система не имеет решений.

8. Ита , x0 = 4, y0 = 2, от уда x0 – y0 = 2.

174

К упражнению 3е

1. Решим систему

2.Со)ласно определению арифметичес о)о орня, имеем 25 – x2 l 0

иy l 0.

3.Из уравнения (1) выразим y и подставим это выражение в уравнение (2):

Нетрудно установить, что значения x = 3 и x = 4 являются посторонними орнями, та а правая часть второ)о уравнения системы

(4)при этих значениях x отрицательна.

6.Решим систему (5):

Ясно, что значение x = 3 является посторонним орнем, пос оль-у оно не удовлетворяет двойному неравенству системы (5).

7.Подставив значение x = –4 в уравнение (2), находим y = 3. При x = –4, y = 3 уравнение (1) та же удовлетворяется.

8.Ита , x0 = –4, y0 = 3 — решение системы, от уда x0 + y0 = –1.

К упражнению 4б

1. Решим уравнение

2. Очевидно, что в данном случае отыс ание ОДЗ уравнения приведет )ромозд им вычислениям. Одна о можно поступить иначе: не

175

находить ОДЗ, но обязательно выполнить провер у всех полученныхорней непосредственной подстанов ой в данное уравнение.

3. Возведя обе части уравнения (1) в вадрат, получим

5. Решим систему (а):

от уда x = 1.

Выполним провер у:

т.е. x = 1 — орень уравнения.

6.Решим систему (б):

от уда x = 0,1. Выполним провер у:

x = 0,1,

25 0,1 0,1 – 1 + 4 = 5 · 0,1 – 3.

Та а при x = 0,1 правая часть уравнения (1) отрицательна, то последнее равенство неверно и x = 0,1 — посторонний орень.

Ответ: x = 1.

К упражнению 4в

1. Решим уравнение

2. Возведем уравнение (1) в вадрат и после упрощений получим

4 – 7x x + 2 = 3x + 2 ^ 9x2 + 12x + 7x|x + 2| = 0,

или

x(9x + 12 + 7|x + 2|) = 0.

176

3.Значит, x = 0. Провер а по азывает, что x = 0 — орень уравнения (1).

4.Остается решить уравнение

Подставляя значение x = –13 в уравнение (1), видим, что е)о правая

------

8

часть отрицательна, что невозможно.

б) При x < –2 из уравнения (2) получаем 2x = 2, от уда x = 1, что противоречит неравенству x < –2.

2x – 5 = (x – 4)2,

от уда x = 3, x = 7. Ле) о убедиться в том, что x = 3 — посторонний

2x – 2x2 – 16 = (x + 4 – x – 4)2 = |x + 4 – x – 4 |.

177

То)да уравнение (1) примет вид

3. Чтобы решить уравнение (2), нужно освободиться от зна а модуля, т. е. от это)о уравнения перейти следующей сово упности систем:

x l 4,

а) x + 4 – x – 4 l 0,

x + 4 – x – 4 + x = 16 + x + 4 – 2x – 4 ;

x l 4,

б) x + 4 – x – 4 < 0,

x – 4 – x + 4 + x = 16 + x + 4 – 2x – 4 . 4. Решим систему (а):

x l 4,

8 l 0,

x – 4 = 16 – x.

Эта система имеет решение x = 13.

5. Система (б) не имеет решений, та а ее второе неравенство не выполняется ни при а их x l 4.

Ответ: x = 13.

К упражнению 5з

1. Требуется решить уравнение

11x + 3 + x – 2 = 9x + 7 + 2 – x .

2.Замечаем, что левая часть уравнения определена при x l 2,

аправая — при x m 2.

3.Значит, уравнение имеет смысл толь о при x = 2.

178

2.Находим ОДЗ: x2 – x l 0, от уда x m 0 или x l 1.

3.От неравенства (1) перейдем сово упности систем:

x l 1,

(2)

x2 – x > 2x + 1;

x m 0,

(3)

x2 – x > 2x + 1.

4. Решим систему (2). Та а во втором ее неравенстве обе части неотрицательны, то возведем их в вадрат. То)да после упрощений система (2) примет вид

x l 1,

3x2 + 5x + 1 < 0.

Разложив вадратный трехчлен 3x2 + 5x + 1 на множители, получим систему

179

неравенства отрицательна, а левая положительна. Поэтому решением

180