Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

2. а) Если a > 3, то a|a – 3| = a(a – 3) и, значит,

б) Если –× < a < –2 или –2 < a < 3, то a|a – 3| = –a(a – 3) и, следовательно,

2. Знаменатель дроби представим в следующем виде:

x4 + x2 + 1 = (x2 + 1)2 – x2.

3.Это выражение представляет собой разность вадратов.

4.Возвращаясь данной дроби и со ратив ее, получим

К упражнению 12а

1.Разложим знаменатели дробей на множители: а) x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2);

б) 3x2 – 4x – 15 = (x – 3)(3x + 5); в) 3x2 + 11x + 10 = (x + 2)(3x + 5).

2.Найдем область определения данно"о выражения: x − 3; x − –2;

51

К упражнению 12д

1.Найдем область определения данно"о выражения: a − 0; b − 0;

a − b.

2.Выполнив действия в первых с об ах, получим

К упражнению 14

Имеем

К упражнению 15

1.Пусть 5x — первое число; то"да 3x — второе число, 20x — третье, 20x · 0,15 = 3x — четвертое.

2.По условию

5x + 20x + 3x – 3x = 375,

от уда x = 15.

3. Значит, ис омые числа та овы: 5x = 5 · 15 = 75; 3x = 3 · 15 = 45; 20x = 20 · 15 = 300, 3x = 3 · 15 = 45.

К упражнению 16

1. Пусть a — цифра десят ов, а b — цифра единиц исходно"о числа. То"да это число равно 10a + b, а сумма е"о цифр равна a + b.

52

4.Та а a и b— натуральные числа, меньшие 10, то из равенства (2) перебором устанавливаем, что наименьшему значению b = 1 соответствует значение a = 4.

5.Запишем частное от деления исходно"о числа на произведение е"о цифр:

6. Подставив в выражение (3) найденные значения a = 4, b = 1, получим

7. Ита , ис омый остато равен остат у от деления 41 на 4, т. е. он равен 1.

К упражнению 17

З а м е ч а н и е. Если p% неизвестно"о числа x равны b, то само неизвестное число получается делением b на 0,01p.

Та им образом, если p%(x) = b, то

1.Пусть размер в лада равен x (р.); то"да е"о 12% составляют 2700 р., т. е. 12%(x) = 2700, или 0,12x = 2700.

2.Отсюда

x = 2700 = 22 500 р.

-------------

0,12

К упражнению 18

1.В 800 " моло а содержится 5% жира, т. е. 0,05 · 800 = 40 "

жира.

2.Этот же жир сохраняется и в сметане.

3.Пусть из 800 " моло а можно получить x " сметаны, то"да

вней имеется 0,25x " жира.

4.Та им образом, 0,25x = 40, от уда x = 160 ( ").

53

Т е м а 5

À

Понятие об иррациональном числе. Множество действительных чисел.

Арифметические действия с действительными числами. Корень k/й степени из действительного числа.

Преобразования арифметических корней. Степени с целым и дробным показателями.

Примеры применения тождеств сокращенного умножения к действиям над степенями

Теоретичес ие сведения

1. Понятие об иррациональном числе

1°. При измерении отрез ов, несоизмеримых с единицей длины, получается число, оторое выражается бес онечной непериодичес ой десятичной дробью. Та ие числа называют иррациональными; например: 0,131331333125... . Известное в математи е число π, число e (основание натуральных ло а- рифмов) та же являются числами иррациональными.

2°. Дру ой пример, приводящий понятию иррационально-о числа, дает следующая теорема: не существует рационально-о числа, вадрат оторо о равен двум. Иными словами, решение уравнения x2 – 2 = 0 невозможно на множестве рациональных чисел. Корнями та о о уравнения являются иррациональные

числа 2 и –2 .

3°. Любое рациональное число вида m ( де n − 0) можно

----

n

представить в виде онечной или бес онечной периодичес ой десятичной дроби.

2. Множество действительных чисел

1°. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (или вещественных) чисел. Это множество принято обозначать через R.

54

2°. Между множеством R и множеством точе оординатной прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е.аждому действительному числу соответствует единственная точ-а оординатной прямой и наоборот, аждой точ е оординатной прямой соответствует единственное действительное число.

Учитывая это взаимно однозначное соответствие, часто множество R действительных чисел и множество точе оординатной прямой объединяют общим термином — «числовая прямая».

3°. Действительные числа сравнивают по величине со ласно правилу сравнения рациональных чисел (см. тему 3, п. 6). Например, –0,17... < –0,15; 3,1... > –5,6... .

4°. Для числовых промежут ов вводят следующие обозначения:

[a; b] = {x Ý R | a m x m b} — зам н тый промеж то (или

отрезо ) с началом a и онцом b;

(a; b) = {x Ý R | a < x < b} — от рытый промеж то (или интервал);

(a; b] = {x Ý R | a < x m b}; [a; b) = {x Ý R | a m x < b} — пол - от рытые промеж т и;

[a; +×) = {x Ý R | x l a}; (–×; b] = {x Ý R | x m b} — л чи; (a; +×) = {x Ý R | x > a}; (–×; b) = {x Ý R | x < b} — от ры-

тые л чи;

(–×; +×) = R — числовая прямая.

3. Арифметические действия с действительными числами

1°. Пусть даны действительные числа a и b. Обозначим через ak–, ak+, bk–, bk+ приближенные значения этих чисел с недостат ом

2°. С ммой действительных чисел a и b называют та ое действительное число p, оторое при любом целом неотрица-

55

3°. Произведением действительных чисел a и b называют та ое действительное число q, оторое при любом целом неот-

рицательном k удовлетворяет неравенству ak–bk– < q < ak+bk+. Например, для чисел a = 2 и b = 3 имеем

.............................................................

4°. Известные для рациональных чисел за оны арифметиче- с их действий (переместительный, сочетательный, распределительный) сохраняются и для любых действительных чисел.

4. Корень k/й степени из действительного числа

1°. Корнем k-й степени ( де k Ý N и k − 1) из действительно о числа a называют действительное число x, k-я степень о- торо о равна a.

2°. Корень k-й степени из числа a обозначают символом ka . Со ласно определению, (ka )k = a.

3°. Нахождение орня k-й степени из числа a называют извлечением орня. Число k называют по азателем орня, число a — под оренным выражением.

4°. Заметим, что 2na , де n Ý N и a < 0, не существует. На-

пример, выражения –4 ; 4–16 не имеют смысла.

5°. Чтобы устранить двузначность орня k-й степени из числа a, вводят понятие арифметичес о о орня. Арифметичес иморнем k-й степени из числа a (a l 0) называют неотрицательное число b, k-я степень оторо о равна a, де k > 1 — натуральное число.

Например: а) kak = |a|; б) x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 = = |x + 1| + |x – 1|; в) 4 (–3)4 = |–3| = 3; ) 9 = 3 (но не ä3).

З а м е ч а н и е. В ш ольном урсе рассматривается толь о ариф-

метичес ое значение орня, т. е. ka имеет смысл лишь при a l 0 и принимает толь о неотрицательные значения.

56

5. Преобразования арифметических корней

1°. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению орней той же степени из сомножителей:

kab = ka · kb

(правило извлечения орня из произведения). 2°. Если a l 0, b > 0, то

(правило извлечения орня из дроби). 3°. Если a l 0, k, c Ý N, k, c > 1, то

kca = kca

(правило извлечения орня из орня). 4°. Если a l 0, то

(ka )m = kam

(правило возведения орня в степень). 5°. Если a l 0, то

kam = nkanm ( де m, n Ý N),

т. е. по азатель орня и по азатель под оренно о выражения можно умножить на одно и то же число.

6°. Если a1 > a2 > 0, то ka1 > ka2 > 0, т. е. большему поло-

жительному под оренному выражению соответствует и большее значение орня.

7°. Все у азанные выше формулы часто применяются в обратном поряд е (т. е. справа налево). Например:

а) 3 · 2 = 3 2 = 6 (правило умножения орней);

57

8°. Правило вынесения множителя из-под зна а орня:

kak b = |a|kb .

Например, 27a2 = 3 · |a|3 .

9°. Обратная задача — внесение множителя под зна орня. Например,

3b2 , если b l 0, b 3 =

– 3b2 , если b < 0.

10°. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение (т. е. выражение, в отором имеются действия с орнями), то целесообразно избавиться от последне о.

Рассмотрим не оторые типичные случаи.

11°. Применение тождеств со ращенно о умножения действиям с арифметичес ими орнями:

1)(a – b )(a + b ) = a – b;

2)(3a å 3b )(3a2 ä 3ab + 3b2 ) = a å b;

3)aa ä bb = (a )3 ä (b )3 = (a ä b )(a å ab + b).

58

6. Степени с целым и дробным показателями

Рассмотрим степень ap, де p Ý Z.

1°. Если p = 0, то по определению a0 = 1 (при a − 0). Например, 50 = 1.

Выражение ap/q имеет в общем виде смысл толь о при a > 0. Если a > 0, p Ý Z, q Ý N, то по определению ap/q = qap . На-

пример, 22/3 = 322 . Выражение (–8)1/2 или (–8)3/4 смысла не имеет.

4°. Степень с рациональным по азателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным по азателем, а именно, если a > 0 и n Ý Q, m Ý Q, то:

а) am · an = am + n; б) am : an = am – n; в) (an)m = anm;

7. Примеры применения тождеств сокращенного умножения

кдействиям над степенями

1.(a1/2 – b1/2)(a1/2 + b1/2) = a – b.

2.(a1/3 ä b1/3)(a2/3 å a1/3b1/3 + b2/3) = a ä b.

3.a3/2 å b3/2 = (a1/2)3 å (b1/2)3 = (a1/2 å b1/2)(a ä a1/2b1/2 + b).

4.a2/3 – b2/3 = (a1/3)2 – (b1/3)2 = (a1/3 – b1/3)(a1/3 + b1/3).

59

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

60