Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

3°. Чтобы умножить мно очлен на мно очлен, достаточноаждый член перво о мно очлена умножить на аждый член второ о и полученные произведения сложить.

Например,

5x(x – y) + (2x + y)(x – y) =

=5x2 – 5xy + 2x2 – 2xy + xy – y2 = 7x2 – 6xy – y2.

9.Разложение многочлена на множители

способом вынесения общего множителя за скобки

Преобразование мно очлена в произведение двух или не- с оль их мно очленов (среди оторых мо ут быть и одночлены) называют разложением мно очлена на множители.

Например, 3ax4 – 6a7x7 + 12ax3 = 3ax3(x – 2a6x4 + 4). Здесь был применен способ вынесения обще о множителя

за с об и. Заметим, что выражение в с об ах мы получили, разделив аждый член мно очлена на общий множитель 3ax3.

10. Разложение многочлена на множители способом группировки

1°. Пусть дан мно очлен ab + 2a – 3b – 6. Представим е о в виде суммы двух двучленов:

ab + 2a – 3b – 6 = (ab – 3b) + (2a – 6)

(здесь перед с об ами стоит зна «плюс», поэтому зна и членов мно очлена, за лючаемых в с об и, не меняются).

Вынеся в первом двучлене за с об и b, во втором 2, получим b(a – 3) + 2(a – 3). Далее вынесем за с об и a – 3; имеем

b(a – 3) + 2(a – 3) = (a – 3)(b + 2),

т. е.

ab + 2a – 3b – 6 = (a – 3)(b + 2).

2°. Разложим на множители мно очлен 3(x – 2y)2 – 3x + 6y. Вынеся за с об и общий множитель 3, имеем 3(x – 2y)2 – 3(x – 2y) (здесь перед вторыми с об ами стоит зна «минус», поэтому зна-и членов мно очлена, за лючаемых в с об и, меняем на противоположные). Далее выносим 3(x – 2y) и получаем 3(x – 2y) × × (x – 2y – 1).

41

11. Тождества сокращенного умножения

1°. x2 – y2 = (x – y)(x + y) (разность вадратов). Например,

(3a)2 – (x + a)2 = (3a – x – a)(3a + x + a).

2°. (a + x)2 = (a + x)(a + x) = a2 + 2ax + x2 ( вадрат с ммы). Например,

(4 + 3x2)2 = 42 + 2 · 4 · 3x2 + (3x2)2 = 16 + 24x2 + 9x4.

3°. (a + x)3 = (a + x)2(a + x) = (a2 + 2ax + x2)(a + x) = = a3 + 3a2x + 3ax2 + x3 ( б с ммы).

Например,

(x + 2y2)3 = x3 + 3x2 · 2y2 + 3x(2y2)2 + (2y2)3 = = x3 + 6x2y2 + 12xy4 + 8y6.

4°. a3 + x3 = (a + x)(a2 – ax + x2) (с мма бов). Например,

(2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2).

5°. (a – x)2 = (a – x)(a – x) = a2 – 2ax + x2 ( вадрат разности). Например,

(2a – 3x)2 = (2a)2 – 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 – 12ax + 9x2.

6°. (a – x)3 = (a – x)2(a – x) = (a2 – 2ax + x2)(a – x) = = a3 – 3a2x + 3ax2 – x3 ( б разности). Например,

(a – 2x)3 = a3 – 3a2 · 2x + 3a(2x)2 – (2x)3 = = a3 – 6a2x + 12ax2 – 8x3.

7°. a3 – x3 = (a – x)(a2 + ax + x2) (разность бов). Например,

(2x)3 – (3y)3 = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2).

8°. Приведем еще две формулы:

(x + y + a)2 = x2 + y2 + a2 + 2xy + 2ax + 2ay

( вадрат трехчлена),

(x – y – a)2 = x2 + y2 + a2 – 2xy – 2ax + 2ay.

42

12. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Пусть дан вадратный трехчлен ax2 + bx + c (a − 0). Преобразуем е о следующим образом:

 

 

 

 

 

 

ax

2

 

 

 

 

 

 

 

2

+

b

x +

c

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ bx + c = a x

 

a--

a--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a x2 + 2 · ---b---

x + ---

b---2---

 

+ -c-

---b---2---

= a

x +

 

---b--- 2

+

4----ac--------------b---2- .

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

4a2

 

 

a

 

4a2

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

4a

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 3x

 

– 4x + 1 = 3 x

 

3-- x + 3--

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

4

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

 

= 3 x

 

 

– 2 ·

3-- x +

9--

+

3--

9--

= 3

x

3--

 

3-- .

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

9

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. –2x

 

– 9x + 5 = –2 x

 

+

2-- x –

2--

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

9

 

81

 

 

5

 

81

 

 

 

 

 

 

 

9

2

121

= –2 x

 

+ 2 · 4-- x + 16------

2--

16------

 

= –2

x

+

4--

+

----8----- .

13. Примеры использования различных способов разложения на множители

1. 12a2x3 – 3a2x2 = 3a2x2(4x – 1).

Здесь использован способ вынесения обще о множителя за с об и.

2.a3 + a2y + 2ay2 + 2y3 = a2(a + y) + 2y2(a + y) = (a + y)(a2 + 2y2). Здесь использован способ руппиров и.

3.8a3 – c3b6 = (2a)3 – (cb2)3 = (2a – cb2)(4a2 + 2acb2 + c2b4). Здесь использовано тождество со ращенно о умножения

(разность убов).

4. 6x

2

+ x – 2 = 6

 

2

+

x

1

=

 

 

 

 

 

 

 

x

 

6--

3--

 

 

 

 

 

 

= 6

 

 

2

 

 

x

1

 

 

1

 

1

 

 

 

1 2

49

 

x

 

+ 2 ·

12------ +

144--------- 144---------

3--

= 6

x + 12------

144---------

=

 

 

 

 

 

1

7

 

 

1

 

7

 

 

 

1

2

 

= 6

x

+

12------

12------ x

+

12------

+ 12------ = 6

x –

2-- x +

3-- .

 

Здесь использован способ выделения из трехчлена вадрата двучлена, а затем применена формула разности вадратов.

43

5. 2x2 + 3x + 1 = 2x2 + 2x + x + 1 = 2x(x + 1) + (x + 1) = = (x + 1)(2x + 1).

Здесь использован способ замены второ о члена равной ему суммой двух одночленов.

6. 2x4 + x3 + 4x2 + x + 2 = 2x4 + x3 + 2x2 + 2x2 + x + 2 =

=x3(2x + 1) + x(2x + 1) + 2(x2 + 1) =

=(2x + 1)(x3 + x) + 2(x2 + 1) = (2x + 1)x(x2 + 1) + 2(x2 + 1) =

=(x2 + 1)((2x + 1)x + 2) = (x2 + 1)(2x2 + x + 2).

Здесь были последовательно использованы приведенные выше способы.

14. Дробь

1°. Дробью называют выражение вида a , де бу вами a и b

--

b

обозначены числовые выражения или выражения с переменными.

2°. Область определения дроби a — это множество чисел,

--

b

при оторых данная дробь имеет числовое значение. Следова-

тельно, областью определения дроби a является множество

--

b

(–×; 0) (0; +×).

3°. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля, значение дроби не меняется.

4°. Дробь a равна нулю то да и толь о то да, о да a = 0

--

b

и b − 0.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте правила

4. Все"да ли выражение, со-

умножения и деления степеней

держащее переменную, имеет чис-

с одина овыми основаниями.

ловое значение? Приведите при-

2. Сформулируйте правила

меры.

возведения степени в степень, про-

5. Что называют областью оп-

изведения в степень и частно"о

ределения данно"о выражения?

в степень.

Приведите примеры.

3. Что следует понимать под

6. Ка ие два выражения на-

значением данно"о выражения?

зывают тождественно равными?

44

7. Ка ие равенства называ-

14. Что больше: а) 452 – 312

ют тождествами?

 

или 442

– 302 ; б) 297 · 299 или

8. Ка ое выражение назы-

 

 

 

 

 

 

вают одночленом; мно"очленом?

2982; в) 263 – 243 или (26 – 24)3;

9. Что называют оэффици-

") (17 + 13)3

или 173 + 133 ?

ентом одночлена? Ка ие одно-

 

 

 

 

 

 

члены называют подобными?

15. Найдите значение выра-

10. Сформулируйте правила

жения:

 

 

 

 

 

рас рытия с обо ,

умножения

 

 

66 23 – 36

мно"очлена на одночлен и мно"о-

а) ------------------------------------------- ;

66

+ 63

33 + 36

члена на мно"очлен.

 

 

 

 

 

 

 

11. Что значит

разложить

54 + 5 36

мно"очлен на множители?

б) ----------------------------- .

5

3

+ 5

2

3

2

 

 

12. Перечислите

известные

 

 

 

16. Что

 

та ое вадратный

вам способы разложения мно"о-

 

трехчлен? В а ой последователь-

члена на множители.

 

 

ности происходит выделение пол-

13. Напишите в общем виде

но"о вадрата двучлена?

формулу: а) вадрата и уба дву-

17. Выделите полный вадрат

члена; б) разности вадратов двух

из вадратно"о трехчлена: а) 4x2

выражений; в) суммы и разности

убов двух выражений.

– 6x + 5; б) –3x2 + 4x – 3.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите значение выражения:

а) ----

12-------5----

-

: ----

10-------5----

- ; б)

638-----------2----------362----------2-

·

--26------- .

2

3

 

3

4

2

6

5

7

1300

 

276

 

 

 

 

 

 

 

2.До ажите, что 85 + 221 делится нацело на 13.

3.До ажите, что 106 – 57 делится нацело на 59.

4.Сравните 194 и 16 · 18 · 20 · 22.

5.До ажите, что при любом натуральном k значение выражения:

а) (k + 1)2 – (k – 1)2 делится нацело на 4;

б) (2k + 3)2 – (2k – 1)2 делится нацело на 8;

в) k3 – k делится нацело на 6. 6. Разложите на множители:

а) x6 – 26; б) 8 + x3y3; в)

-x----9-

– 8; )

---x----9--

+ 8.

 

27

 

125

 

45

7. Разложите на множители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x2 – y2 – 8x + 16;

 

б) 9 – c2 + a2 + 6a;

 

 

 

 

 

 

в) x3 + y3 + 2xy(x + y); ) 36a2 – (a2 + 9)2;

 

 

 

 

 

д) a4 + ax3 – a3x – x4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Выделите полный вадрат из вадратно о трехчлена:

 

а) 4x2 – 6x + 8; б) –2x2 + 4x – 12;

 

в) 2x2

-4- x + 11------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

9

 

 

9. При а их натуральных значениях k дробь

5----k----2----+------8----k-----+-----12-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

принимает натуральные значения?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Со ратите дробь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

x33

x33 – 1

 

; б) a

 

a – 3

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x22 + x11

 

 

 

 

a2 – a – 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

x2 – 1

 

+ x2 ; ) x2 – x + 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 – 1

 

 

 

x4 + x2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. При а их натуральных значениях a дробь

(---a----------3----)--2-

при-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

нимает натуральные значения?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Упростите выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

-------

-----

x--------

------

---

---

----

---x----------1---------

----

-

 

: ---

--x------4--------2---x----2----+------1------ ;

 

 

 

 

 

x2 – x – 6

3x2 – 4x – 15

3x2 + 11x + 10

 

 

 

 

 

б)

 

 

a – 3

 

2a – 6

:

 

a + 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a----2---

-----

----

 

----

--------

a----3----+------27-----

2----a----3----+------54-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– 3a + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

1 +

x2

– 2x + 4 3x

 

3x + 2

+ 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

----

 

----

x----2----

-----4-------

--

 

----------------

----------

-------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

– 2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

-------x----2-------

-----x----2---y------

-

·

--

---

 

----

x----

----

--

 

 

+

-------

--

y------

---

--

 

 

: -----

-y------

;

 

 

 

x2 – y2

 

x2 + y2

 

xy + y2

 

x2 + xy

 

x

– y

 

 

 

д)

4(a + b)2

– 16

 

(a + b)2

– ab

:

a3

– b3

 

;

 

 

 

 

 

 

 

-------

---ab----------

----

--

----

-----

----

ab--------

----

---

 

-

---

--

-----ab---------

--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

2 – x

+

 

1

 

 

2

:

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

2 – x

·

4x2 + 2x + 1

.

-

-

--

--5-----

--

1-----------2----x-

 

4----x----3----

------4----x---2-----+-------x

1-----------8----x----3

-----

---2----x----2----+-----x------

----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Вычислите:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

x

 

 

 

+

2

 

+

 

1

:

x3

– 4x

:

x2

+ 2x

 

x2 – 10

при

x-----2--

-------4--

2-----------x--

2------+-----x--

----x-----

+-------1----

---

-x-----+------1-----

 

----x-----+-----2-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = –10,25;

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

a2

– 1

 

1

 

– 1

 

·

a – an3

– n4

+ n

: n2

1

 

при n =

1

.

n-----2----

 

-----------

 

-------------

 

---------------1----------a----2-------

--------

---

2--

 

+ an

1 –

1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Выполните тождественные преобразования выражения

A =

 

25

2a

a3

+ 25a2

 

a – 5 +

15a

 

.

a----2----

+------5----a-----+------25-----

5-----------a-

--a----3----------125----------

 

a-----------5-

 

 

 

 

 

 

Задания для повторения

15.Из четырех чисел первые три пропорциональны числам 5, 3 и 20, а четвертое число составляет 15% от третье о. Найдите эти числа, если второе из них на 375 меньше суммы всех остальных.

16.Если двузначное число разделить на сумму е о цифр, то

вчастном получится 8, а в остат е 1. Найдите остато от деления это о числа на произведение е о цифр.

17.Найдите размер в лада, 12% оторо о составляют 2700 р.

18.Жирность моло а составляет 5%, а сметаны — 25%. С оль о ило раммов сметаны можно получить из 800 моло а?

О Т В Е Т Ы

1. а) 19 200; б) 20. 4. 194 > 16 · 18 · 20 · 22. 6. а) (x – 2)(x + 2) ×

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

2 2

); в)

x3

– 2

x6

+

2

x

3

+ 4

 

;

× (x + 4x

+ 16); б) (2 + xy)(4 – 2xy + x y

-----

-----

3--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

9

 

 

 

 

 

")

x3

+ 2

x6

2

x

3

+ 4

 

. 7.

а) (x – 4 – y)(x – 4 + y); б) (3 + a

– c) ×

-----

25------

5--

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× (3 + a + c); в) (x + y)(x2 + y2 + xy); ") –(a – 3)(a – 3)(a + 3)(a + 3);

 

 

 

2

2

 

3

2

23

 

 

2

 

д) (a – x)(a + x)(a

 

+ x – ax). 8. а) 4 x –

4--

 

+ --4---- ; б) –2(x – 1)

– 10;

в) 2 x – 1--

2

+ 97------

. 9. k = 1, 2, 3, 4, 6, 12. 10. а) x----11------------1--

; б)

------a-------

, если

 

9

 

81

 

 

 

 

 

x11

 

a + 2

 

a > 3; –

------a-------

, если –× < a < –2 или –2 < a < 3; в) 1, если –× < x < –1

 

a + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или 1 < x < +×;

-----

----1----------

, если –1 m x < – ---1---

или ---1---

< x < ---

1---

или

 

 

 

 

2x2 – 1

 

 

2

2

 

 

2

 

47

1

------

2

< x m 1; ")

1

. 11. a = 1, a = 9. 12. а)

2

; б) 2(a – 3);

x----2-----+-----x-----+------1--

(---x----------3----)---(--x----------1----)--2-

в) –1; ")

------x-------

; д) 4----(---a----------b---)-

; е) 1--

. 13. а)

--4----

; б) –2. 14. a – 5, "де a − 5.

 

x + y

ab

2

 

49

 

15. 75; 45; 300; 45. 16. 1. 17. 22 500 р. 18. 160 ".

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Здесь в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным по азателем применить нельзя, та а все степени имеют различные основания.

2.Запишем не оторые степени в дру"ом виде: 125 = (2 6)5 =

=25 · 65 = 25 · 25 · 35 (степень произведения равна произведению

степеней множителей); 105 = (2 5)5 = 25

· 55 .

3. Учитывая записанные разложения, получим

----12-------5-----

: ----

10-------5-----

= 2----10----------3----5-

· 2----6-------5----7- = 28

· 3 · 52 = 19 200.

23 34

26 57

23 34

25 55

 

К упражнению 2

1. Преобразуем данное выражение та :

85 + 221 = (23)5 + 221 = 215 + 221 .

2.Вынося за с об и общий множитель 215 , получим

85 + 221 = 215 + 221 = 215 (1 + 26 ) = 215 · 65.

3. Следовательно, 85 + 221 ратно 13.

К упражнению 4

1. Преобразуем произведение 16 · 18 · 20 · 22 следующим образом: (19 – 3)(19 – 1)(19 + 1)(19 + 3) =

=(192 – 32 )(192 – 1) < 192 · 192 = 194 .

2.Значит, 194 > 16 · 18 · 20 · 22.

48

К упражнению 5а

1. Используя формулу разности вадратов, упростим данное выражение:

(k + 1)2 – (k – 1)2 = (k + 1 – k + 1)(k + 1 + k – 1) = 2 · 2k = 4k. 2. Полученное выражение 4k делится нацело на 4.

К упражнению 6в

1. Данный двучлен ле" о представить в виде разности убов двух выражений:

x

9

 

x

3

 

3

3

 

 

– 8 =

 

– 2

.

------

-----

 

 

27

 

3

 

 

 

2. Применив формулу разности убов, получим

 

x3

 

3

– 2

3

=

x3

– 2

x6

2

x3

+ 4 .

-----

 

 

-----

-----

+ --

 

3

 

 

 

 

 

3

 

9

3

 

 

К упражнению 7а

1.Ни одно из тождеств со ращенно"о умножения непосредственно применить нельзя.

2.Объединив в одну "руппу первое, третье и четвертое сла"аемые,

получим вадратный трехчлен x2 – 8x + 16, оторый можно записать

ввиде (x – 4)2.

3.Учитывая это, перепишем исходное выражение следующим образом:

x2 – 8x + 16 – y2 = (x – 4)2 – y2.

4. Теперь, применяя формулу разности вадратов, получим

(x – 4)2 – y2 = (x – 4 – y)(x – 4 + y).

К упражнению 7в

1. Замечаем, что x3 + y3 представляет собой сумму убов двух выражений. Разложив эту сумму на множители, имеем

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2).

(1)

2. Используя равенство (1), перепишем исходное выражение в виде

x3 + y3 + 2xy(x + y) = (x + y)(x2 – xy + y2) + 2xy(x + y).

(2)

3. В выражении (2) общий множитель x + y можно вынести за с об и; значит, о ончательно имеем

(x + y)(x2 – xy + y2 + 2xy) = (x + y)(x2 + y2 + xy).

49

К упражнению 8а

1. С"руппируем два первых сла"аемых и вынесем оэффициент при x2 за с об и:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

2

3

x

 

+ 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Внутри с обо выражению x2

3-- x прибавим и вычтем вад-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рат числа, равно"о

1

от

3

, т. е.

3

2

=

 

9

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2--

 

 

 

2--

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

16------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x

2

3

x +

9

 

9

+ 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2--

16------

16------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Три первых сла"аемых в с об ах образуют полный вадрат.

Следовательно, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

x –

3 2

 

9

 

+ 8 = 4

 

x –

3 2

 

9

+ 8 = 4

 

x –

3

2

+

23

.

 

4--

 

16------

 

 

4--

 

4--

 

4--

 

--4----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5----k----2----+------8----k------+-----12-----

= 5----k----2-

+

8-----k-

+ 12------

 

= 5k + 8 + 12------ .

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

k

 

 

 

 

2.Исследуем полученное выражение: а) k Ý N — по условию;

б) 5k — натуральное число, т. е. 5k Ý N; в) 8 — натуральное число, т. е. 8 Ý N; ") следовательно, 5k + 8 Ý N;

д) 12 — натуральное число, если k = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

------

k

К упражнению 10а

1.В знаменателе вынесем общий множитель x11 за с об и.

2.Числитель представим в виде разности убов.

3.Упростив данное выражение при условии x − 0, получим

------------x----33------------1-------------

= ----------

--(---x----11-----)---3---------1-------------

= x----11------------1-- .

x33 + x22 + x11

x11

( x22 + x11 + 1)

x11

К упражнению 10б

1.Знаменатель a2 – a – 6 разложим на множители: a2 – a – 6 =

=(a – 3)(a + 2), "де a − 3 и a − –2 — область определения дроби.

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]