Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3°. Чтобы умножить мно очлен на мно очлен, достаточноаждый член перво о мно очлена умножить на аждый член второ о и полученные произведения сложить.

Например,

5x(x – y) + (2x + y)(x – y) =

=5x2 – 5xy + 2x2 – 2xy + xy – y2 = 7x2 – 6xy – y2.

9.Разложение многочлена на множители

способом вынесения общего множителя за скобки

Преобразование мно очлена в произведение двух или не- с оль их мно очленов (среди оторых мо ут быть и одночлены) называют разложением мно очлена на множители.

Например, 3ax4 – 6a7x7 + 12ax3 = 3ax3(x – 2a6x4 + 4). Здесь был применен способ вынесения обще о множителя

за с об и. Заметим, что выражение в с об ах мы получили, разделив аждый член мно очлена на общий множитель 3ax3.

10. Разложение многочлена на множители способом группировки

1°. Пусть дан мно очлен ab + 2a – 3b – 6. Представим е о в виде суммы двух двучленов:

ab + 2a – 3b – 6 = (ab – 3b) + (2a – 6)

(здесь перед с об ами стоит зна «плюс», поэтому зна и членов мно очлена, за лючаемых в с об и, не меняются).

Вынеся в первом двучлене за с об и b, во втором 2, получим b(a – 3) + 2(a – 3). Далее вынесем за с об и a – 3; имеем

b(a – 3) + 2(a – 3) = (a – 3)(b + 2),

т. е.

ab + 2a – 3b – 6 = (a – 3)(b + 2).

2°. Разложим на множители мно очлен 3(x – 2y)2 – 3x + 6y. Вынеся за с об и общий множитель 3, имеем 3(x – 2y)2 – 3(x – 2y) (здесь перед вторыми с об ами стоит зна «минус», поэтому зна-и членов мно очлена, за лючаемых в с об и, меняем на противоположные). Далее выносим 3(x – 2y) и получаем 3(x – 2y) × × (x – 2y – 1).

41

11. Тождества сокращенного умножения

1°. x2 – y2 = (x – y)(x + y) (разность вадратов). Например,

(3a)2 – (x + a)2 = (3a – x – a)(3a + x + a).

2°. (a + x)2 = (a + x)(a + x) = a2 + 2ax + x2 ( вадрат с ммы). Например,

(4 + 3x2)2 = 42 + 2 · 4 · 3x2 + (3x2)2 = 16 + 24x2 + 9x4.

3°. (a + x)3 = (a + x)2(a + x) = (a2 + 2ax + x2)(a + x) = = a3 + 3a2x + 3ax2 + x3 ( б с ммы).

Например,

(x + 2y2)3 = x3 + 3x2 · 2y2 + 3x(2y2)2 + (2y2)3 = = x3 + 6x2y2 + 12xy4 + 8y6.

4°. a3 + x3 = (a + x)(a2 – ax + x2) (с мма бов). Например,

(2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2).

5°. (a – x)2 = (a – x)(a – x) = a2 – 2ax + x2 ( вадрат разности). Например,

(2a – 3x)2 = (2a)2 – 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 – 12ax + 9x2.

6°. (a – x)3 = (a – x)2(a – x) = (a2 – 2ax + x2)(a – x) = = a3 – 3a2x + 3ax2 – x3 ( б разности). Например,

(a – 2x)3 = a3 – 3a2 · 2x + 3a(2x)2 – (2x)3 = = a3 – 6a2x + 12ax2 – 8x3.

7°. a3 – x3 = (a – x)(a2 + ax + x2) (разность бов). Например,

(2x)3 – (3y)3 = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2).

8°. Приведем еще две формулы:

(x + y + a)2 = x2 + y2 + a2 + 2xy + 2ax + 2ay

( вадрат трехчлена),

(x – y – a)2 = x2 + y2 + a2 – 2xy – 2ax + 2ay.

42

12. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Пусть дан вадратный трехчлен ax2 + bx + c (a − 0). Преобразуем е о следующим образом:

13. Примеры использования различных способов разложения на множители

1. 12a2x3 – 3a2x2 = 3a2x2(4x – 1).

Здесь использован способ вынесения обще о множителя за с об и.

2.a3 + a2y + 2ay2 + 2y3 = a2(a + y) + 2y2(a + y) = (a + y)(a2 + 2y2). Здесь использован способ руппиров и.

3.8a3 – c3b6 = (2a)3 – (cb2)3 = (2a – cb2)(4a2 + 2acb2 + c2b4). Здесь использовано тождество со ращенно о умножения

(разность убов).

Здесь использован способ выделения из трехчлена вадрата двучлена, а затем применена формула разности вадратов.

43

5. 2x2 + 3x + 1 = 2x2 + 2x + x + 1 = 2x(x + 1) + (x + 1) = = (x + 1)(2x + 1).

Здесь использован способ замены второ о члена равной ему суммой двух одночленов.

6. 2x4 + x3 + 4x2 + x + 2 = 2x4 + x3 + 2x2 + 2x2 + x + 2 =

=x3(2x + 1) + x(2x + 1) + 2(x2 + 1) =

=(2x + 1)(x3 + x) + 2(x2 + 1) = (2x + 1)x(x2 + 1) + 2(x2 + 1) =

=(x2 + 1)((2x + 1)x + 2) = (x2 + 1)(2x2 + x + 2).

Здесь были последовательно использованы приведенные выше способы.

14. Дробь

1°. Дробью называют выражение вида a , де бу вами a и b

--

b

обозначены числовые выражения или выражения с переменными.

2°. Область определения дроби a — это множество чисел,

--

b

при оторых данная дробь имеет числовое значение. Следова-

тельно, областью определения дроби a является множество

--

b

(–×; 0) (0; +×).

3°. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля, значение дроби не меняется.

4°. Дробь a равна нулю то да и толь о то да, о да a = 0

--

b

и b − 0.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

44

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите значение выражения:

2.До ажите, что 85 + 221 делится нацело на 13.

3.До ажите, что 106 – 57 делится нацело на 59.

4.Сравните 194 и 16 · 18 · 20 · 22.

5.До ажите, что при любом натуральном k значение выражения:

а) (k + 1)2 – (k – 1)2 делится нацело на 4;

б) (2k + 3)2 – (2k – 1)2 делится нацело на 8;

в) k3 – k делится нацело на 6. 6. Разложите на множители:

45

x = –10,25;

46

14. Выполните тождественные преобразования выражения

Задания для повторения

15.Из четырех чисел первые три пропорциональны числам 5, 3 и 20, а четвертое число составляет 15% от третье о. Найдите эти числа, если второе из них на 375 меньше суммы всех остальных.

16.Если двузначное число разделить на сумму е о цифр, то

вчастном получится 8, а в остат е 1. Найдите остато от деления это о числа на произведение е о цифр.

17.Найдите размер в лада, 12% оторо о составляют 2700 р.

18.Жирность моло а составляет 5%, а сметаны — 25%. С оль о ило раммов сметаны можно получить из 800 моло а?

О Т В Е Т Ы

1. а) 19 200; б) 20. 4. 194 > 16 · 18 · 20 · 22. 6. а) (x – 2)(x + 2) ×

× (3 + a + c); в) (x + y)(x2 + y2 + xy); ") –(a – 3)(a – 3)(a + 3)(a + 3);

47

15. 75; 45; 300; 45. 16. 1. 17. 22 500 р. 18. 160 ".

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Здесь в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным по азателем применить нельзя, та а все степени имеют различные основания.

2.Запишем не оторые степени в дру"ом виде: 125 = (2 6)5 =

=25 · 65 = 25 · 25 · 35 (степень произведения равна произведению

К упражнению 2

1. Преобразуем данное выражение та :

85 + 221 = (23)5 + 221 = 215 + 221 .

2.Вынося за с об и общий множитель 215 , получим

85 + 221 = 215 + 221 = 215 (1 + 26 ) = 215 · 65.

3. Следовательно, 85 + 221 ратно 13.

К упражнению 4

1. Преобразуем произведение 16 · 18 · 20 · 22 следующим образом: (19 – 3)(19 – 1)(19 + 1)(19 + 3) =

=(192 – 32 )(192 – 1) < 192 · 192 = 194 .

2.Значит, 194 > 16 · 18 · 20 · 22.

48

К упражнению 5а

1. Используя формулу разности вадратов, упростим данное выражение:

(k + 1)2 – (k – 1)2 = (k + 1 – k + 1)(k + 1 + k – 1) = 2 · 2k = 4k. 2. Полученное выражение 4k делится нацело на 4.

К упражнению 6в

1. Данный двучлен ле" о представить в виде разности убов двух выражений:

2. Применив формулу разности убов, получим

К упражнению 7а

1.Ни одно из тождеств со ращенно"о умножения непосредственно применить нельзя.

2.Объединив в одну "руппу первое, третье и четвертое сла"аемые,

получим вадратный трехчлен x2 – 8x + 16, оторый можно записать

ввиде (x – 4)2.

3.Учитывая это, перепишем исходное выражение следующим образом:

x2 – 8x + 16 – y2 = (x – 4)2 – y2.

4. Теперь, применяя формулу разности вадратов, получим

(x – 4)2 – y2 = (x – 4 – y)(x – 4 + y).

К упражнению 7в

1. Замечаем, что x3 + y3 представляет собой сумму убов двух выражений. Разложив эту сумму на множители, имеем

2. Используя равенство (1), перепишем исходное выражение в виде

3. В выражении (2) общий множитель x + y можно вынести за с об и; значит, о ончательно имеем

(x + y)(x2 – xy + y2 + 2xy) = (x + y)(x2 + y2 + xy).

49

К упражнению 8а

1. С"руппируем два первых сла"аемых и вынесем оэффициент при x2 за с об и:

2.Исследуем полученное выражение: а) k Ý N — по условию;

б) 5k — натуральное число, т. е. 5k Ý N; в) 8 — натуральное число, т. е. 8 Ý N; ") следовательно, 5k + 8 Ý N;

д) 12 — натуральное число, если k = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

------

k

К упражнению 10а

1.В знаменателе вынесем общий множитель x11 за с об и.

2.Числитель представим в виде разности убов.

3.Упростив данное выражение при условии x − 0, получим

К упражнению 10б

1.Знаменатель a2 – a – 6 разложим на множители: a2 – a – 6 =

=(a – 3)(a + 2), "де a − 3 и a − –2 — область определения дроби.

50