Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

2.Решением это)о неравенства является интервал 3 < y < 5.

3.Вернемся переменной x и получим неравенство 3 < |x| < 5. Это двойное неравенство запишем в виде системы и решим ее:

Ответ: x Ý (–5; –3) (3; 5).

К упражнению 2а

1. Требуется решить неравенство

2. Квадратный трехчлен x2 + 4x + 6 > 0 при всех x Ý R, та а a > 0 и D < 0, поэтому неравенство (1) равносильно следующему:

3. При решении неравенств обязательно надо обращать внимание на степень с четным по азателем. В неравенстве (2) имеется та ая степень — это x2. Та а неравенство (2) — нестро)ое, то значение x = 0 является е)о решением.

4. Учитывая с азанное, получаем неравенство

5. На числовой прямой отметим точ и, в оторых дробь в левой части неравенства (3) обращается в нуль или имеет разрыв. Это точ и

151

К упражнениям 3а—е

См. соответственно рис. 68—73.

152

153

К упражнению 5

1. Здесь a (первый оэффициент уравнения) равен 1, т. е. a > 0. Используя теорему 3 (см. с. 143), запишем систему неравенств

2. Решив эту систему, находим –3,5 < p m –3.

К упражнению 6

1. Здесь a = 1 > 0. Применяя теорему 1 (см. с. 142), составим систему

2. Решив эту систему, получим k > 1.

К упражнению 7

1.Здесь a = c2 + c + 1 > 0 при c Ý R.

2.Со)ласно теореме 2 (см. с. 142, 143), имеем

f(1) = c2 + c + 1 + 2c – 3 + c – 5 < 0.

3. Решив это неравенство, находим –2 – 11 < c < –2 + 11 .

К упражнению 8

1. Со)ласно условию, данное уравнение имеет два орня, оторые больше t, поэтому )рафи вадратно)о трехчлена x2 + x + t имеет вид, изображенный на рис. 86.

154

2. Используя теорему 3, запишем систему неравенств

1 – 4t > 0,

t < –1 ,

--

2

t(t + 2) > 0.

Рис. 86

3. Решением этой системы является промежуто t < –2.

К упражнению 9

1. Чтобы неравенство x2 + kx + k2 + 6k < 0 имело место при всех 1 < x < 2, т. е. чтобы интервал (1; 2) лежал между орнями вадратно- )о трехчлена f(x) = x2 + kx + k2 + 6k, нужно, чтобы выполнялись требования следствия 4:

f(1) m 0, f(2) m 0.

2. Отметим, что здесь записаны нестро)ие неравенства, пос оль у возможно не толь о расположение параболы, у азанное на рис. 87, а, но и расположения, изображенные на рис. 87, б— . В последних трех случаях один или оба орня вадратно)о трехчлена мо)ут совпадать с точ ами x1 = 1 или x2 = 2, но внутренние точ и интервала между

орнями удовлетворяют неравенству 1 < x < 2. 3. Ита , имеем систему неравенств

f(1) = 1 + k + k2 + 6k m 0, f(2) = 4 + 2k + k2 + 6k m 0.

Рис. 87

155

К упражнению 10

1. Со)ласно условию, требуется найти все значения k, при оторых любое число x, удовлетворяющее неравенству

удовлетворяет и неравенству

2.Это означает, что неравенство (1) достаточно для выполнения неравенства (2), а неравенство (2) необходимо для выполнения неравенства (1).

3.По ажем, что число k должно быть положительным.

а) Если k < 0, то вадратное неравенство (1) выполняется либо при всех x (рис. 88, а), либо при тех x, оторые лежат вне отрез а, содержаще)о орни вадратно)о уравнения kx2 – x + 1 – k = 0 (рис. 88, б).

Рис. 88

б) В аждом из рассмотренных случаев обязательно найдутся значения x, удовлетворяющие условию (1), но не удовлетворяющие условию (2), т. е. в этих случаях условие (2) не является необходимым для выполнения условия (1).

в) Если k = 0, то из неравенства (1) следует, что x > 1, а это противоречит неравенству (2).

4.Ита , k > 0. Та а D = 1 – 4k(1 – k) = (1 – 2k)2 l 0 при любых k, то решения неравенства (1) за лючены между орнями вадратно)о трехчлена.

5.В результате приходим следующим выводам:

а) чтобы выполнялись требования задачи, нужно, чтобы интервал (0; 1) лежал между орнями вадратно)о трехчлена;

156

б) последнее означает, что должны выполняться требования следствия 4.

6. Составим систему уравнений

f(0) = 1 – k m 0,

f(1) = k – 1 + 1 – k m 0

(в оторой оба неравенства являются нестро)ими; см. решение упр. 9). Отсюда находим k l 1.

К упражнению 16

1. Пусть в первый раз было вылито x л ислоты. То)да в сосуде осталось (54 – x) л ислоты.

2. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в оторой растворилось (54 – x) л ислоты.

3. Значит, в 1 л смеси содержится 54 – x л ислоты ( онцентра-

----------------

54

ция раствора).

4. Во второй раз из сосуда вылили x смеси, в этом оличестве сме-

си содержится 54 – x · x л ислоты.

----------------

54

5. Та им образом, в первый раз было вылито x л ислоты, во вто-

рой раз 54 – x · x л ислоты, а все)о за два раза вылили 54 – 24 = 30 л

----------------

54

ислоты.

6. Составим уравнение

x + 54 – x · x = 30,

----------------

54

от уда x1 = 18; x2 = 90. Ясно, что x = 90 не удовлетворяет условию. Ита , в первый раз вылили 18 л ислоты.

в) 52/3 = 352 ;

157

К упражнению 19

)) (a – 5)2/3 = 3(a – 5)2 , )де a Ý R.

К упражнению 20

а) Если a и b — рациональные числа, то сумма a + b и произведение ab та же числа рациональные.

б) Если a и b — иррациональные числа, то сумма a + b та же число иррациональное (за ис лючением случая, о)да a = –b), а произведение ab может быть а рациональным, та и иррациональным чис-

лом (например, 3 · 7 = 21 — число иррациональное, а 7 · 7 — рациональное).

158

1°. Рассмотрим фун цию, заданную формулой y = xk (k Ý N) и построим ее рафи при различных значениях k. Если k = 1, то получается фун ция y = x, рафи ом оторой является прямая (рис. 91); если k = 2, то получается фун ция y = x2, рафиом оторой является парабола (рис. 92); если k = 3, то получается фун ция y = x3, рафи оторой есть убичес ая парабола

(рис. 93).

На рис. 94 и 95 изображены рафи и фун ции y = xk при k = 4 и k = 5.

160