Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

Т е м а 20

À

Непрерывность тригонометрических функций. Первый замечательный предел.

Производные тригонометрических функций. Производные логарифмической и показательной функций. Число e

Теоретичес ие сведения

1. Непрерывность тригонометрических функций

1°. Фун ции синус и осинус непрерывны на всей числовой

о x Ý R.

2°. Каждая из фун ций тан енс и отан енс непрерывна в своей области определения, т. е. lim tg x = tg x0 для любо о

x º x0

x0 Ý D(tg), lim ctg x = ctg x0 для любо о x0 Ý D(ctg).

xº x0

2.Первый замечательный предел

На пра ти е часто используется предел отношения синуса ду и самой ду е:

sinx lim ------------ = 1

x

x º 0

(x — в радианах). Это соотношение называют первым замечательным пределом.

441

Р е ш е н и е. а) Положим π – x = y; то да y º 0 при x º π. Следовательно,

непрерывна для любо о x Ý R.

Р е ш е н и е. При x0 − 0 по теореме о пределе частно о имеем

Та им образом, для любо о x0 Ý R имеем lim y(x) = y(x0),

x º x0

а это и означает, что фун ция непрерывна.

3. Производные тригонометрических функций

1°. Производные три онометричес их фун ций находят по следующим формулам:

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = –sin x,

Каждая из этих формул справедлива в любой точ е области определения соответствующей фун ции.

442

2°. Формулы дифференцирования

Примеры. 1. Найти производную фун ции: а) y(x) = 2x + 3,6 sin5 (π – x);

3cos(2x + 1)

б) y(x) = ----------------------------------- – tg (1 – 4x). sin(2x + 1)

Р е ш е н и е. а) Используя правила дифференцирования, имеем

y′(x) = (2x)′ + (3,6 sin5 (π – x))′ = 2 + (3,6 sin5 x)′ = = 2 + 3,6 · 5 sin4 x (sin x)′ = 2 + 18 sin4 x cos x.

б) Та а y(x) = 3 ctg (2x + 1) – tg(1 – 4x), то

64

=–---------------------------------- + ---------------------------------- . sin2(2x + 1) cos2(1 – 4x)

2.Составить уравнение асательной рафи у фун ции

Р е ш е н и е. а) Уравнение асательной ривой y = y(x) в точ е (x0; y0) имеет вид y – y0 = y′(x0)(x – x0). Подставив в это

443

б) Анало ично, подставляя в уравнение асательной соответствующие значения для точ и x0 = 2π, получим

y – 1 = 0 · (x – 2π), т. е. y = 1.

4. Производные логарифмической и показательной функций. Число e

1°. Существует та ое число, оторое больше 2 и меньше 3 (это число обозначают бу вой e), что по азательная фун ция y = ex в точ е x = 0 имеет производную, равную 1.

2°. Приближенное значение числа e та ово: e d 2,7.

3°. По азательная фун ция ex дифференцируема в аждой точ е, причем (ex)′ = ex.

4°. Нат ральным ло арифмом (обозначение: ln) называют ло арифм по основанию e:

ln x = loge x.

5°. При любом положительном a фун ция ax дифференцируема в аждой точ е x, причем

(ax)′ = (exln a)′ = exln a · ln a = axln a.

6°. Производная ло арифмичес ой фун ции y = ln x выражается формулой

444

Пример. Найти производную фун ции:

Р е ш е н и е. а) (e2x – 1)′ = e2x – 1 · (2x – 1)′ = 2e2x – 1;

xln4

д) (5–2x)′ = 5–2x · ln 5 · (–2x)′ = –2 · 5–2x · ln 5.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

445

2.Найдите абсциссы всех точе , в аждой из оторых асательная рафи у фун ции y(x) = 12x – 9 tg x + 1 параллельна оси Ox.

3.Напишите уравнение асательной рафи у фун ции y(x) = 2x – 5sin x + 1 в е о точ е с абсциссой x0 = 0.

4.Напишите уравнение асательной рафи у фун ции

y(x) = 2x + 1 – cos2 2x + sin2 2x – 6 в е о точ е с абсциссой

x0 = 0.

5. Напишите уравнение прямой, оторая асается рафи а

ния с осью Oy.

6.Напишите уравнения всех асательных рафи у фун - ции y(x) = 3 – 6tg x, параллельных прямой y = –6x – 5.

7.Напишите уравнение той из асательных рафи у фун ции y(x) = 3cos x – 4x, параллельных прямой y = –x – 2, абсцисса точ и асания оторой наименее удалена от началаоординат.

8.Для фун ции y(x) = –2sin x + π найдите точ и, в ото-

-3-

рых у ловой оэффициент асательной рафи у этой фун - ции равен значению фун ции.

9. Найдите абсциссы всех точе , в аждой из оторых асательная рафи у фун ции y(x) = 8x – 6tg x – 1 параллельна оси Ox.

446

10.Напишите уравнение той из асательных рафи у фун ции y(x) = 2 cos x – 3x, параллельных прямой y = –x – 1, абсцисса точ и асания оторой наименее удалена от началаоординат.

11.Напишите уравнения всех асательных рафи у фун - ции y(x) = 4 tg x + 1, оторые параллельны прямой y – 4x – 5 = 0.

12.Для фун ции y(x) = –6 cos x + π найдите точ и, в о-

-6-

торых у ловой оэффициент асательной рафи у этой фун ции равен значению фун ции.

13. Напишите уравнение асательной рафи у фун ции: а) f(x) = e5 – x(3x – 14)4 в е о точ е с абсциссой x0 = 5;

б) f(x) = e2 – x(4x – 7)4 в е о точ е с абсциссой x0 = 2.

14. Касательная рафи у фун ции f(x) перпенди улярна оси ординат. Найдите абсциссу точ и асания, если:

а) f(x) = 11x · ln 29 – 29x · ln 11; б) f(x) = 19x · ln 28 – 28x · ln 19.

15. Касательная рафи у фун ции f(x) параллельна заданной прямой y. Найдите ординату точ и асания, если:

а) f(x) = 14x – 1, y = xln 14 – 20; б) f(x) = 21x + 11, y = xln 21 – 11.

16. Прямая асается рафи а фун ции f(x) в точ е с абсциссой x0. Найдите тан енс у ла, образованно о этой прямой с по-

ложительным направлением оси абсцисс, если:

17. Касательная рафи у фун ции f(x) образует с положительным направлением оси абсцисс у ол α. Найдите абсциссу точ и асания, если:

а) f(x) = 4x – 3 – ln 2 · log2 (3x + 1), α = arctg 3; б) f(x) = 3x – 2 – ln 4 · log4 (3x + 2), α = arctg 2.

18.В а ой точ е отрез а [3; 6] асательная ривой y =

=sin x – 3 cos x параллельна оси Ox? (Дайте ответ с точностью до 0,1.)

19.В а ой точ е отрез а [–4; 0] асательная ривой y =

=sin x + tg x + 3x параллельна прямой y = 3x + 1? (Дайте ответ с точностью до 0,1.)

447

20. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями фун ции:

в) f(x) = cos2 x + sin x – 3 на отрез е [0; π].

21. Исследуйте фун цию и постройте ее рафи :

Задания для повторения

22. При а их значениях k неравенство:

а) 4x2 – 9kx + 2k2 < 0 выполняется для всех x та их, что |x – 3| m 1;

б) 3x2 – 16kx + 5k2 < 0 выполняется для всех x та их, что |x – 2| < 1?

23. Решите неравенство:

а) |x + 6| – |x + 2| m x + 3; б) |x – 2| – |x – 4| l x – 3.

24. Найдите площадь фи уры, задаваемой на плос ости множеством решений системы неравенств:

б) x2 + y2 – 2x – 6y + 6 m 0,

|x – 1| l |y – 1| – 2.

25. При а их значениях a имеет единственное решение уравнение:

448

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Данная фун ция y = sin2 x является сложной фун цией.

2.Найдем ее производную:

y′ = (sin2 x)′ = 2sin x (sin x)′ = 2sin x cos x = sin 2x

(сначала взяли производную степенной фун ции, а затем — производную синуса).

К упражнению 1б

1.Фун ция y = cos x3 представляет собой сложную фун цию.

2.Найдем ее производную:

y′ = (cos x3)′ = (cos x3)′(x3)′ = –sin x3 · 3x2 = –3x2sin x3 (сначала взяли производную осинуса, а затем — степенной фун ции).

К упражнению 1в

1. Фун ция y = x2sin2 x2 представляет собой произведение двух фун ций, одна из оторых есть сложная фун ция.

2. Дифференцируем данную фун цию сначала а произведение, а затем а сложную фун цию:

y′ = (x2sin2 x2)′ = (x2)′sin2 x2 + x2(sin2 x2)′ =

= 2xsin2 x2 + x2 · 2sin x2 cos x2 · 2x = 2x(sin2 x2 + x2sin 2x2).

449

К упражнению 1

Дифференцируя данную фун цию сначала а частное, а затем а сложную фун цию, находим

К упражнению 1д

Сначала воспользуемся формулой дифференцирования по азательной фун ции, а затем — сложной фун ции:

y′ = (esin2x )′ = esin2x (sin2 x)′ =

=esin2x · 2sin x cos x = esin2x sin 2x.

Купражнению 1е

1. Положим x2 + 2x + 3 = z; то:да данная фун ция примет вид y = ln z.

2. Теперь воспользуемся формулой дифференцирования ло:ариф-

З а м е ч а н и е. Данную фун цию можно записать та :

y = ln x2 + 2x + 3 = 1 ln (x2 + 2x + 3).

--

2

То:да получим

450