Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

.pdf
Скачиваний:
407
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
7.3 Mб
Скачать

Т е м а 20

À

Непрерывность тригонометрических функций. Первый замечательный предел.

Производные тригонометрических функций. Производные логарифмической и показательной функций. Число e

Теоретичес ие сведения

1. Непрерывность тригонометрических функций

1°. Фун ции синус и осинус непрерывны на всей числовой

прямой, т. е. lim sin x = sin x0 и

lim cos x = cos x0 для любо-

x º x0

x º x0

о x Ý R.

2°. Каждая из фун ций тан енс и отан енс непрерывна в своей области определения, т. е. lim tg x = tg x0 для любо о

x º x0

x0 Ý D(tg), lim ctg x = ctg x0 для любо о x0 Ý D(ctg).

xº x0

2.Первый замечательный предел

На пра ти е часто используется предел отношения синуса ду и самой ду е:

sinx lim ------------ = 1

x

x º 0

(x — в радианах). Это соотношение называют первым замечательным пределом.

Примеры. 1. Найти предел:

а) lim

- sin -- - -- -- -- ( -- π -- -- -- -- - -- x -- - -)

x º π

π – x

; б) lim

- -- - -- 5 -- -- x -- -- - - .

x º 0

sin 4 x

441

Р е ш е н и е. а) Положим π – x = y; то да y º 0 при x º π. Следовательно,

 

 

lim

- sin - - - - - - - - - ( - - π - - - - ------x-----)

= lim

- sin - - - - - - - - - y- = 1.

 

 

 

 

 

 

x º π

π – x

 

 

y º 0

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

- - - - - 5 - - - - x - - - - - - -

= lim ----------------

1

 

=

-----------

--1--------------- ---

= ----------

--1-----------------

=

-1--

=

5-- .

x º 0

sin 4 x

x º 0

sin 4 x

 

lim

sin4x

lim

4 sin4x

 

4

 

4

 

 

 

 

----------------

--------------------

 

--

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0 5x

x → 0 5 4x

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. До азать, что фун ция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinx при x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x) =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

при x = 0

 

 

 

 

 

непрерывна для любо о x Ý R.

Р е ш е н и е. При x0 − 0 по теореме о пределе частно о имеем

 

 

sin x

 

lim sinx

sin x 0

 

lim

y(x) = lim

=

x → x0

=

= y(x0).

- - - - - x - - - - - - -

-------lim------------

- - - - - x - - - - 0 - - - - - -

x º x0

x º x0

 

x

 

 

 

x → x0

 

 

 

При x0 = 0 получаем

 

 

 

 

 

 

 

lim y(x) = lim

-sin---------x-- = 1 = y(0).

 

 

x º 0

x º 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Та им образом, для любо о x0 Ý R имеем lim y(x) = y(x0),

x º x0

а это и означает, что фун ция непрерывна.

3. Производные тригонометрических функций

1°. Производные три онометричес их фун ций находят по следующим формулам:

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = –sin x,

(tg x)′ =

-------1--------

, (ctg x)′ = –

-------1------- .

 

cos2x

 

sin2x

Каждая из этих формул справедлива в любой точ е области определения соответствующей фун ции.

442

2°. Формулы дифференцирования

При условии u = x

 

При условии u = ϕ(x)

 

 

 

 

(sin x)′ = cos x

(1)

(sin u)′ = cos u · u′

(1а)

 

 

 

 

(cos x)′ = –sin x

(2)

(cos u)′ = –sin u · u′

(2а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tg x)′ =

1

 

(3)

(tg u)′ =

1

 

· u′

(3а)

- cos - - - - - - - - -

2---

x--

- cos - - - - - - - - -

2---

u--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ctg x)′ = –--- -

--

-1-------

(4)

(ctg u)′ = –--- -

--

-1-----

-- · u′

(4а)

 

sin2 x

 

 

sin2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. 1. Найти производную фун ции: а) y(x) = 2x + 3,6 sin5 (π – x);

3cos(2x + 1)

б) y(x) = ----------------------------------- – tg (1 – 4x). sin(2x + 1)

Р е ш е н и е. а) Используя правила дифференцирования, имеем

y′(x) = (2x)′ + (3,6 sin5 (π – x))′ = 2 + (3,6 sin5 x)′ = = 2 + 3,6 · 5 sin4 x (sin x)′ = 2 + 18 sin4 x cos x.

б) Та а y(x) = 3 ctg (2x + 1) – tg(1 – 4x), то

3

 

( 1 – 4 x ) ′

 

y′(x) = –-sin--------2----(--2----x-----+------1----)

· (2x + 1)′ –

- cos - - - - - - - - - 2 - - - ( - - 1 - - - - - - - - - - - 4 - - - x - - - - -)

=

64

=---------------------------------- + ---------------------------------- . sin2(2x + 1) cos2(1 – 4x)

2.Составить уравнение асательной рафи у фун ции

π

; б) x = 2π.

y(x) = cos x в точ е с абсциссой: а) x = –--

2

 

Р е ш е н и е. а) Уравнение асательной ривой y = y(x) в точ е (x0; y0) имеет вид y – y0 = y′(x0)(x – x0). Подставив в это

уравнение значения y0

= cos

 

π

= 0, x0

π

, y′(x0) = –sin

 

π

=

 

–--

 

= –--

 

–--

 

 

 

2

 

2

 

2

 

= 1, получим

 

 

 

 

 

 

y – 0 = 1 ·

 

π

,

или

π

 

x + --

 

y = x + -- .

 

2

 

 

2

443

б) Анало ично, подставляя в уравнение асательной соответствующие значения для точ и x0 = 2π, получим

y – 1 = 0 · (x – 2π), т. е. y = 1.

4. Производные логарифмической и показательной функций. Число e

1°. Существует та ое число, оторое больше 2 и меньше 3 (это число обозначают бу вой e), что по азательная фун ция y = ex в точ е x = 0 имеет производную, равную 1.

2°. Приближенное значение числа e та ово: e d 2,7.

3°. По азательная фун ция ex дифференцируема в аждой точ е, причем (ex)′ = ex.

4°. Нат ральным ло арифмом (обозначение: ln) называют ло арифм по основанию e:

ln x = loge x.

5°. При любом положительном a фун ция ax дифференцируема в аждой точ е x, причем

(ax)′ = (exln a)′ = exln a · ln a = axln a.

6°. Производная ло арифмичес ой фун ции y = ln x выражается формулой

 

 

1

 

 

 

 

(ln x)′ = -- .

 

 

 

 

 

x

 

 

7°. Формулы дифференцирования

 

 

 

 

 

При условии u = x

 

При условии u = ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

1

(1)

 

1

 

(1а)

(ln x)′ = --

 

(ln u)′ = -- · u′

 

x

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(2)

 

1

· u′

(2а)

(loga x)′ = -------------

 

(loga u)′ = -------------

x lna

 

 

u lna

 

 

 

 

 

 

 

 

(ax)′ = axln a

(3)

 

(au)′ = auln a · u′

 

(3а)

 

 

 

 

 

 

(ex)′ = ex

(4)

 

(eu)′ = eu · u′

 

(4а)

 

 

 

 

 

 

444

Пример. Найти производную фун ции:

Р е ш е н и е. а) (e2x – 1)′ = e2x – 1 · (2x – 1)′ = 2e2x – 1;

 

 

а) e

2x – 1

 

 

1

 

 

; в) 7

x

; ) log4 x; д) 5

–2x

.

 

 

 

; б) ln

-- x – 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

ln

1

 

– 3

 

1

·

1

 

1

;

 

 

 

-- x

-

= -----------------

 

-- x – 3-

= -------------

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

2

 

 

x – 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--x – 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) (7x)′ = 7xln 7;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) (log4 x)′

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ------------- ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xln4

д) (5–2x)′ = 5–2x · ln 5 · (–2x)′ = –2 · 5–2x · ln 5.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Найдите:

а) lim sin x; б) lim cos x;

x º 0

x º 0

в) lim tg x; :)

lim ctg x.

x º 0

x º π/4

2.Что называют первым замечательным пределом?

3.До ажите, что

 

lim ------------sin x = 1.

 

x º 0

x

 

 

 

 

4. Найдите:

 

 

а)

lim

x

 

;

---------------- sin 2 x

 

x º 0

 

б)

lim ----------------sin 6x ;

 

x º 0

x

 

 

 

 

 

 

в) lim

--------------------------------------------------------------------sin 2 x cos x + cos2 x sin x .

 

x º 0

 

 

2x

 

 

 

 

5. По

а им формулам нахо-

дят производные три:онометриче- с их фун ций y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x?

6. Найдите

 

 

производную

фун ции:

 

 

 

 

 

а) f(x) = sin 2x;

 

 

 

б) f(x) = sin

π

– x

 

;

 

--

 

 

2

 

 

 

в) f(x) =

cosx

– tg

π

– x

 

;

 

 

 

-sin---------2----x--

 

2

 

 

 

 

 

:) f(x) = tg (2x2 – 1);

 

 

 

 

 

д) f(x) = ctg (2 – 3x2);

 

 

 

 

 

е) f(x) = cos 2π cos 3x +

 

 

 

 

 

 

 

+ sin 3x sin 2π;

 

ж) f(x) =

----------------------------------------------------tg x – tg (x – 1)

;

 

 

 

 

(1 + tg x)tg (x – 1)

 

 

 

 

з) f(x) =

1-------------------------------------- tg2 (x + 1) .

 

 

 

 

 

 

 

2 tg (x + 1)

 

 

 

 

 

 

7. Найдите уравнение

аса-

тельной

синусоиде y = sin x в

точ

е с абсциссой:

 

 

 

 

 

 

 

а) x = 0; б) x =

--π ; в) x = π.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

8. Найдите тан:енс у:ла на-

лона

асательной

 

:рафи

 

 

у

фун

ции y = tg 2x в точ

е с абс-

циссой x = –--π .

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

9. Напишите уравнение

 

а-

сательной :рафи у фун ции y =

=cos x + 1 в точ е (π; 0).

10.Что называют числом e?

11.Что называют натуральным ло:арифмом?

445

12. По а им формулам на-

13. По

а им формулам нахо-

ходят производные по азатель-

дят производные

ло:арифмиче-

ных фун ций y = ex и y = ax?

 

с их фун ций y = ln x и y = loga x?

 

 

УПРАЖНЕНИЯ

 

 

 

1. Найдите производную фун ции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

;

а) y = sin2 x; б) y = cos x3; в) y = x2sin2 x2; ) y = ---------------

 

 

 

 

 

 

sinx

 

2

x ; е) y = ln x2

+ 2x + 3 ; ж) y = ln

1 + 2x

 

д) y = esin

----------------- ;

 

 

 

 

 

 

 

1 – 2x

 

 

2

x ; и) y

= 3tg x; ) y =

ex – e–x

 

 

з) y = cos 2x · e2cos

--------------------- .

 

 

 

 

 

 

ex + e–x

 

 

2.Найдите абсциссы всех точе , в аждой из оторых асательная рафи у фун ции y(x) = 12x – 9 tg x + 1 параллельна оси Ox.

3.Напишите уравнение асательной рафи у фун ции y(x) = 2x – 5sin x + 1 в е о точ е с абсциссой x0 = 0.

4.Напишите уравнение асательной рафи у фун ции

y(x) = 2x + 1 – cos2 2x + sin2 2x – 6 в е о точ е с абсциссой

x0 = 0.

5. Напишите уравнение прямой, оторая асается рафи а

фун ции y(x) = 3ctg

 

π

 

+ 5 x9

+ 5 в точ е е о пересече-

4x + --

 

 

2

 

 

 

ния с осью Oy.

6.Напишите уравнения всех асательных рафи у фун - ции y(x) = 3 – 6tg x, параллельных прямой y = –6x – 5.

7.Напишите уравнение той из асательных рафи у фун ции y(x) = 3cos x – 4x, параллельных прямой y = –x – 2, абсцисса точ и асания оторой наименее удалена от началаоординат.

8.Для фун ции y(x) = –2sin x + π найдите точ и, в ото-

-3-

рых у ловой оэффициент асательной рафи у этой фун - ции равен значению фун ции.

9. Найдите абсциссы всех точе , в аждой из оторых асательная рафи у фун ции y(x) = 8x – 6tg x – 1 параллельна оси Ox.

446

10.Напишите уравнение той из асательных рафи у фун ции y(x) = 2 cos x – 3x, параллельных прямой y = –x – 1, абсцисса точ и асания оторой наименее удалена от началаоординат.

11.Напишите уравнения всех асательных рафи у фун - ции y(x) = 4 tg x + 1, оторые параллельны прямой y – 4x – 5 = 0.

12.Для фун ции y(x) = –6 cos x + π найдите точ и, в о-

-6-

торых у ловой оэффициент асательной рафи у этой фун ции равен значению фун ции.

13. Напишите уравнение асательной рафи у фун ции: а) f(x) = e5 – x(3x – 14)4 в е о точ е с абсциссой x0 = 5;

б) f(x) = e2 – x(4x – 7)4 в е о точ е с абсциссой x0 = 2.

14. Касательная рафи у фун ции f(x) перпенди улярна оси ординат. Найдите абсциссу точ и асания, если:

а) f(x) = 11x · ln 29 – 29x · ln 11; б) f(x) = 19x · ln 28 – 28x · ln 19.

15. Касательная рафи у фун ции f(x) параллельна заданной прямой y. Найдите ординату точ и асания, если:

а) f(x) = 14x – 1, y = xln 14 – 20; б) f(x) = 21x + 11, y = xln 21 – 11.

16. Прямая асается рафи а фун ции f(x) в точ е с абсциссой x0. Найдите тан енс у ла, образованно о этой прямой с по-

ложительным направлением оси абсцисс, если:

а) f(x) = (4x – 1)ln (5x + 3), x0

= –

2

;

--

 

 

5

 

б) f(x) = (5x – 3)ln (3x + 5), x0

4

 

 

= -- .

 

 

3

 

 

17. Касательная рафи у фун ции f(x) образует с положительным направлением оси абсцисс у ол α. Найдите абсциссу точ и асания, если:

а) f(x) = 4x – 3 – ln 2 · log2 (3x + 1), α = arctg 3; б) f(x) = 3x – 2 – ln 4 · log4 (3x + 2), α = arctg 2.

18.В а ой точ е отрез а [3; 6] асательная ривой y =

=sin x – 3 cos x параллельна оси Ox? (Дайте ответ с точностью до 0,1.)

19.В а ой точ е отрез а [–4; 0] асательная ривой y =

=sin x + tg x + 3x параллельна прямой y = 3x + 1? (Дайте ответ с точностью до 0,1.)

447

20. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями фун ции:

1

 

 

π];

 

 

а) f(x) = sin x + -- cos 2x на отрез е [0;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

б) f(x) = tg2 x – 2tg x + 3 на отрез е

0;

 

;

--

 

 

 

 

 

3

 

 

в) f(x) = cos2 x + sin x – 3 на отрез е [0; π].

21. Исследуйте фун цию и постройте ее рафи :

а) f(x) =

ex

; в) f(x) = 2

x

2 – 4x

; ) f(x) = x – ln x.

x ln x; б) f(x) = -----

 

 

 

x

 

 

 

 

Задания для повторения

22. При а их значениях k неравенство:

а) 4x2 – 9kx + 2k2 < 0 выполняется для всех x та их, что |x – 3| m 1;

б) 3x2 – 16kx + 5k2 < 0 выполняется для всех x та их, что |x – 2| < 1?

23. Решите неравенство:

а) |x + 6| – |x + 2| m x + 3; б) |x – 2| – |x – 4| l x – 3.

24. Найдите площадь фи уры, задаваемой на плос ости множеством решений системы неравенств:

а)

 

x2 + y2 + 6x – 2y + 9 m 0,

 

 

 

 

|y – 1| m |x + 1| – 2;

 

 

б) x2 + y2 – 2x – 6y + 6 m 0,

|x – 1| l |y – 1| – 2.

25. При а их значениях a имеет единственное решение уравнение:

а)

x2 – 7x + 12

= 0;

б)

x2

– 7x + 10

= 0;

3----

2---x--------a---------3----a--------x-

2----x--------2---------2----2---a--------x-

 

 

 

 

 

 

в)

 

x2 – 5x + 6

= 0;

)

x2

– 8x + 15

 

= 0?

4----3---x--------a---------4----2---a--------x-

2----3---x---

-----a---------2----a----+----2----x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О Т В Е Т Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. а) sin 2x;

б) –3x2sin x3;

в) 2x(sin2 x2

+ x2sin 2x2); :) –cos x(1 +

+ cosec2 x); д) esin2x sin 2x; е) ----

-----x-----+------1-----

------ ; ж)

---------

2-----

-----

; з) –4sin 2x cos2 x ×

 

 

 

 

x

2 + 2x + 3

1 – 4x2

 

448

× e2cos2x ; и) 3----tg------x---ln-------3- ; )

--------------4---------------

. 2. ä

-π-

+ πk, k Ý Z. 3. y = –3x + 1.

cos2 x

(ex + e–x)2

 

6

 

4. y = x – 6. 5. y = –12x + 5. 6. y = –6x + 3 + 6πk, k Ý Z. 7. y = –x + 3----π-- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8. --π----

 

+ πk, k Ý Z. 9. ä-π-

+ πk, k Ý Z. 10. y = –x + π. 11. y = 4x + 1 – 4πk,

12

 

 

6

 

 

 

 

 

 

k Ý Z. 12. –5----π--

+ πk, k Ý Z. 13. а) y = 11x – 54; б) y = 15x – 29. 14. а) 0;

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 0. 15. а) 0; б) 12. 16. а) –13; б) –29. 17. а) 2--

; б)

1-- . 18. 5,8. 19. –3,1.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

20. а)

1

; б) 1; в)

1

. 22. а) k Ý (2; 8); б) k Ý

3

; 3

 

. 23.

а) [–7; –5] [1; +×);

 

4--

 

4--

 

 

5

 

 

 

 

б) (–×; 1] [3; 5].

24. а)

π

в. ед.; б) 3π

в. ед. 25. а) a =

9

, a = 6;

4--

--

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

б) a = 4--

, a = 10------

; в) a = 8--

, a = 4; :) a = 3--

, a = 5-- .

 

 

3

3

 

3

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1.Данная фун ция y = sin2 x является сложной фун цией.

2.Найдем ее производную:

y′ = (sin2 x)′ = 2sin x (sin x)′ = 2sin x cos x = sin 2x

(сначала взяли производную степенной фун ции, а затем — производную синуса).

К упражнению 1б

1.Фун ция y = cos x3 представляет собой сложную фун цию.

2.Найдем ее производную:

y′ = (cos x3)′ = (cos x3)′(x3)′ = –sin x3 · 3x2 = –3x2sin x3 (сначала взяли производную осинуса, а затем — степенной фун ции).

К упражнению 1в

1. Фун ция y = x2sin2 x2 представляет собой произведение двух фун ций, одна из оторых есть сложная фун ция.

2. Дифференцируем данную фун цию сначала а произведение, а затем а сложную фун цию:

y′ = (x2sin2 x2)′ = (x2)′sin2 x2 + x2(sin2 x2)′ =

= 2xsin2 x2 + x2 · 2sin x2 cos x2 · 2x = 2x(sin2 x2 + x2sin 2x2).

449

К упражнению 1

Дифференцируя данную фун цию сначала а частное, а затем а сложную фун цию, находим

 

y′ = - -cos---------2---x--

-

= (---cos---------2---x----)--------sin------x-----------cos---------2---x----(---sin---------x----)--

=

 

 

sinx

 

 

 

sin2 x

 

 

=

2 cosx(– sinx) sinx – cos2 x cosx

= –

cos x(2 sin2 x + cos2 x)

=

-------------------------------

-------sin--------2----x----------

-------------------

----------

-----------------------sin--------2---x----------

---------------

 

 

 

 

 

 

 

 

= –

cos x(1

+ sin2 x)

= –cos x(1 + cosec2 x).

 

 

 

---------------sin--------2------x--------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К упражнению 1д

Сначала воспользуемся формулой дифференцирования по азательной фун ции, а затем — сложной фун ции:

y′ = (esin2x )′ = esin2x (sin2 x)′ =

=esin2x · 2sin x cos x = esin2x sin 2x.

Купражнению 1е

1. Положим x2 + 2x + 3 = z; то:да данная фун ция примет вид y = ln z.

2. Теперь воспользуемся формулой дифференцирования ло:ариф-

мичес ой фун ции, а та же — сложной фун ции:

 

 

 

 

 

y′ = (ln z)′ = 1--

· z′,

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

1

·

1

(x2

+ 2x + 3)′ =

x + 1

.

------------------------------

---------------------------------

----------------------

 

x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3

 

x2

+ 2x + 3

 

З а м е ч а н и е. Данную фун цию можно записать та :

y = ln x2 + 2x + 3 = 1 ln (x2 + 2x + 3).

--

2

То:да получим

 

 

y′ =

1

ln

 

x

2

+ 2x + 3

 

 

=

 

 

- --

 

 

-

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1--

·

---------------1------

----------

 

(x2 + 2x + 3)′ =

--

-----

--x-----+------1----------- .

2

 

x2 + 2x + 3

 

 

 

 

 

 

x2 + 2x + 3

450

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]