Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

а) x Ý [–2; –1]; y = x2 – 4x – 5 + x – 4 = x2 – 3x – 9, y′ = 2x – 3, x р = 1,5 Ô [–2; –1]; y(–2) = 4 + 6 – 9 = 1; y(–1) = 1 + 3 – 9 = –5;

б) x Ý (–1; 4]; y = –x2 + 4x + 5 + x – 4 = –x2 + 5x + 1, y′ = –2x + 5, x р = 2,5 Ý (–1; 4]; y(2,5) = –6,25 + 12,5 + 1 = 7,25, y(4) = –16 + 20 + + 1 = 5;

в) x Ý (4; 5]; y = –x2 + 4x + 5 – x + 4 = –x2 + 3x + 9, y′ = –2x + 3, x р = 1,5 Ô (4; 5], y(5) = –25 + 15 + 9 = –1;

,) x Ý (5; 6]; y = x2 – 4x – 5 – x + 4 = x2 – 5x – 1, y′ = 2x – 5, x р =

=2,5 Ô (5; 6], y(6) = 36 – 30 – 1 = 5.

3.Значения фун ции в ритичес их точ ах и на онцах данно,о отрез а поместим в таблицу:

Ита , наибольшее значение есть f(2,5) = 7,25, а наименьшее значение есть f(–1) = –5. Значит, их разность равна 7,25 – (–5) = 12,25.

К упражнению 18

1. Находим область определения фун ции: x Ý R, x − 0. 2. Чтобы найти орни фун ции, решим уравнение

и x3 = 2 разбивают числовую прямую на четыре интервала. Изменение зна ов производной в этих интервалах иллюстрирует рис. 232.

Рис. 232

481

482

Т е м а 22

À

Формула Ньютона—Лейбница. Основные правила интегрирования. Вычисление площадей с помощью интеграла. Физические приложения интеграла

Теоретичес ие сведения

1. Формула Ньютона—Лейбница

1°. Инте ралом от a до b фун ции f называют приращение первообразной F этой фун ции, т. е. разность F(b) – F(a) (очевидно, что это приращение не зависит от выбора первообразной).

b

2°. Инте рал от a до b фун ции f обозначают та : ∫ f(x) dx

a

(читается: «инте рал от a до b эф от и с дэ и с»). Числа a и b

называют пределами инте рирования, a — нижним, b —

верхним пределом. Зна ∫ называют зна ом инте рала;

фун цию f — подынте ральной ф н цией; x — переменной инте рирования. Отрезо с онцами a и b называют отрез-ом инте рирования.

3°. Заметим, что верхний предел инте рирования не обязательно больше нижне о; может быть и a > b, и a = b.

4°. Со ласно определению инте рала, если F′ = f, то

a

Это равенство называют форм лой Ньютона—Лейбница. 5°. Для удобства записи приращение первообразной F(b) – F(a)

со ращенно обозначают через F(x) ab , т. е. F(b) – F(a) = F(x) ab .

2

Пример. Вычислить ∫ x3 dx.

–1

483

1

SBAB1 C = ∫ (3 – 2x – x2) dx =

–2

484

x

7°. Инте рал вида ∫ f(t) dt называют инте ралом с пере-

a

менным верхним пределом. Этот инте рал есть та ая первообразная фун ции f, оторая в точ е x = a обращается в нуль

2. Основные правила интегрирования

1°. Постоянный множитель можно вынести за зна инте - рала:

bb

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx, де k — постоянная.

aa

2°. Инте рал от суммы равен сумме инте ралов:

3°. Справедлива следующая формула замены переменной:

де t = kx + p, k и p — постоянные, причем новые пределы инте рирования получаются из формулы t = kx + p заменой x на a и на b.

Пример. Вычислить инте рал:

485

б) Вычислим этот инте рал с помощью замены переменной

рования. Анало ично получаем новый верхний предел инте -

π

рирования t = -- . Следовательно,

3

3. Вычисление площадей с помощью интеграла

1°. Пусть фун ция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрез е [a; b]. То да, а известно, площадь соответствующейриволинейной трапеции (рис. 235) находится по формуле

2°. В том случае, о да непрерывная фун ция f(x) неположительна на отрез е [a; b], для вычисления площади соответствующей риволинейной трапеции (рис. 236) следует использовать формулу

a

486

3°. Пусть фун ция f(x) непрерывна на отрез е [a; b] и принимает на этом отрез е а положительные, та и отрицательные значения. То да нужно разбить отрезо [a; b] на та ие части, в аждой из оторых фун ция не меняет зна , затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить. Например, площадь фи уры, изображенной на рис. 237, равна

4°. Площадь фи уры, о раниченной рафи ами двух непрерывных фун ций f1(x) и f2(x) и двумя прямыми x = a и x = b,де f1(x) l f2(x) на отрез е [a; b] (рис. 238), находится по фор-

муле

Примеры. 1. Вычислить площадь фи-уры, о раниченной линиями y = –2x, y = 0 и x = 3 (рис. 239).

Р е ш е н и е. На отрез е [0; 3] фун - ция f(x) = –2x отрицательна. Поэтому для вычисления ис омой площади следует воспользоваться формулой (2):

S = – ∫ (–2x) dx = 2 ∫ x dx =

00

=x2- 3 = 9 ( в. ед.).

487

2. Вычислить площадь фи уры, о раниченной линиями y = 4x – x2, y = 0

иx = 5.

Ре ш е н и е. Парабола y = 4x – x2 пересе ает ось абсцисс в точ ах x = 0 и

x = 4. Фи ура, площадь оторой требуется найти, заштрихована на рис. 240. Пусть S1 и S2 — площади частей этой фи-уры, соответствующих отрез ам [0; 4] и [4; 5], а S — ис омая площадь; то да

S = S1 + S2.

Используя формулу (1), находим

Рис. 240

4. Физические приложения интеграла

1°. Решим задачу о нахождении оординаты точ и по заданной с орости. Пусть точ а движется по прямой, причем оордината точ и есть фун ция от времени движения t, т. е. x = x(t). Ка известно, с орость движения v(t) является производной отоординаты по времени: v(t) = x′(t). Та им образом, если задана с орость а фун ция времени, то в силу формулы Ньюто- на—Лейбница имеем

488

Число x(t0) = x0 называют начальной оординатой. То да по известной с орости и начальной оординате можно определить положение точ и в те ущий момент времени t:

2°. Решим теперь анало ичную задачу о нахождении с орости точ и по заданному ус орению. Та а ус орение движения a(t) есть производная от с орости по времени, т. е. a(t) = v′(t), то, со ласно формуле Ньютона—Лейбница, получаем

Число v(t0) = v0 называют начальной с оростью. Следовательно, по известному ус орению и начальной с орости можно определить с орость точ и в те ущий момент времени t:

3°. С помощью инте рала можно решить и ряд дру их физичес их задач, например задачу о вычислении работы, производимой переменной силой. Пусть материальная точ а перемещается под действием переменной силы F(x) по оси Ox от x = a до x = b. То да работа, производимая этой силой, находится по формуле

Примеры. 1. При прямолинейном движении точ и ее с о- рость изменяется по за ону v(t) = 10 – 10t м/с, а в момент t = 0 точ а имела оординату x0 = x(0) = 1 м. Найти: а) перемещение точ и за время t = 2 с; б) путь, пройденный точ ой за это же время.

Р е ш е н и е. Заметим, что следует различать понятия перемещения точ и и пути, пройденно о точ ой. Путь определяется а расстояние, пройденное точ ой вдоль трае тории движения за рассматриваемый промежуто времени, и является существенно положительной величиной. Перемещение же за

489

этот промежуто времени (при отличной от нуля с орости) может о азаться равным нулю или отрицательным.

а) Чтобы найти перемещение, воспользуемся формулой (2):

= 1 + 20 – 20 = 1 (м).

Отсюда получаем, что x(2) – x(0) = 1 – 1 = 0, т. е. перемещение точ и равно нулю.

б) Чтобы найти путь, пройденный точ ой, разобьем рассматриваемый промежуто времени [0; 2] на промежут и, в течение оторых с орость точ и не меняет зна ; в данном случае — это промежут и [0; 1] и [1; 2] (в первом из них с о- рость положительна, а во втором отрицательна). Найдем перемещения точе в аждом из этих промежут ов:

= 20 – 10 – (20 – 5) = –5 м.

Для то о чтобы найти путь, пройденный точ ой за промежуто [0; 2], следует взять сумму модулей этих перемещений:

s= |x(1) – x(0)| + |x(2) – x(1)| = 5 + 5 = 10 (м).

2.Сила упру ости пружины, растянутой на 4 см, равна 6 Н. Ка ую работу нужно произвести, чтобы растянуть пружину на 10 см?

Р е ш е н и е. Со ласно за ону Гу а, сила, растя ивающая пружину на величину x, вычисляется по формуле F = kx, де k —оэффициент пропорциональности. Та а по условию x =

=0,04 м при F = 6 Н, то, подставляя эти значения в равенство F = kx, получим 6 = k · 0,04, от уда k = 150 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим F = 150x. Ис о- мую работу найдем по формуле (5), пола ая a = 0, b = 10:

490