В моменты отсчета давления параметры, характеризующие состояние газа внутри «оболочки», имеют следующие значения:

1 с о с т о я н и е : Р1 Т0 V1

2 с о с т о я н и е : Р0 T V2,

3 с о с т о я н и е : Р2 Т0 V2.

Разности давлений Р1 — Р0 и Р2 — Р0 в сотни и тысячи раз меньше атмосферного давления Р0, а потому для упрощения вычислений с этими разностями можно обращаться как с бесконечно малыми дифференциалами.

Из состояния 2 в 3 переход осуществляется изохорически, т. к. кран закрыт и объем не меняется.

Исключая P и V из (1) и (2) легко получить:

γ= P1−P0

P1−P2

1.11. Скорость звука в газах

1. В механике выводится следующая формула для скорости распространения звука в газах:

с=√dP /d ρ

где ρ — плотность газа. Но давление Р зависит не только от ρ , а также и от

температуры Т. Поэтому надо указать, в каком смысле понимается производная dP/dρ

. Ньютон считал, что давление связано с плотностью законом Бойля — Мариотта: P/ρ = const.

Это соответствует предположению, что разности температур между сгущениями и разряжениями воздуха в звуковой волне мгновенно выравниваются, так что распространение звука есть изотермический процесс. Если верно это предположение, то

сN =√(∂∂ρP )T=√RTμ

где μ — молекулярный вес газа, а индекс N указывает, что cN — скорость звука,

вычисленная по формуле Ньютона. Полагая для воздуха μ = 28,8, Т = 273 К, получаем по формуле

cN= 280 м/с, тогда как опыт дает с = 330 м/с.

2. Расхождение было устранено Лапласом (1749—1827). Он указал, что колебания плотности и связанные с ними колебания температуры в звуковой волне происходят настолько быстро, а теплопроводностьвоздуха настолько мала, что для таких процессов теплообмен не играет никакой роли. Разности температур между сгущениями и разрежениями воздуха в звуковой волне не успевают выравниваться, так что распространение звука можно считать адиабатическим процессом. В таком случае надо пользоваться не уравнением изотермы, а уравнением адиабаты. Если в

это уравнение вместо объема V ввести плотность ρ ~ 1/V, то оно перейдет

в

что находится в превосходном согласии с опытом.

3. На формулах Ньютона и Лапласа основан второй удобный метод экспериментального измерения отношения теплоемкостей γ, превосходящий по точности метод Клемана и Дезорма. Экспериментально измеряется скорость звука с в исследуемом газе. Величина у вычисляется по формуле

γ=(C/CN)2

где CN — так называемая ньютонова скорость звука, CL называется лапласовой скоростью звука.

1.12.Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли относится к ламинарному стационарному течению идеальной жидкости. Жидкость понимается здесь в обобщенном смысле — газ считается частным случаем сжимаемой жидкости. Идеальность жидкости понимается в гидродинамическом смысле. Это значит, что, каково бы ни было движение жидкости, в ней никогда не возникают тангенциальные силы внутреннего трения; взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости осуществляется исключительно с помощью нормальных сил давления. Следовательно теплообмена между различными частями жидкости нет. По отношению к любой движущейся части жидкости окружающая жидкость играет роль адиабатической оболочки. Это - адиабатическое

ламинарное течение идеальной сжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли: при стационарном ламинарном течении идеальной жидкости вдоль линии тока величина

ε - есть полная энергия единицы массы жидкости (ε=E/m).

Она слагается из трех частей: кинетической энергии v2/2 макроскопического

движения, потенциальной энергии ϕ во внешнем силовом поле и внутренней энергии

и.

Если внешним полем является однородное поле тяжести, то

ϕ = gh,

где h — высота, отсчитываемая от некоторого произвольного уровня. В этом случае уравнение (1) принимает вид:

В общем случае движущаяся жидкость не является равновесной термодинамической системой. Однако, если скорость макроскопического движения жидкости не очень быстро меняется в пространстве и во времени, то жидкость можно мысленно разбить на достаточно малые макроскопические части, каждая из которых, как целое, движется с определенной макроскопической скоростью v и внутреннее состояние которой может быть охарактеризовано теми же параметрами, что и в состоянии термодинамического равновесия, — температурой, давлением и плотностью. Эти параметры связаны между собой уравнением состояния

f(Т,Р,ρ)=0. (3) Кроме того, между ними существует дополнительная связь, выражающаяадиабатичность течения. В случае идеального газа, эта связь выражается уравнением адиабаты:

γP dV +VdP=0 ,

апри постоянном γ — можно выразить формулой:

Но во всех случаях при адиабатическом течении из трех параметров Т, Р, ρ независимым остается только один. Это обусловлено тем, что имеется 2 уравнения (3) и (4).

Величина 1/ρ=V (удельному объему жидкости) u+PV=i

(i-энтальпия единицы массы )

, а потому формула (2) примет вид

Если течение происходит в горизонтальном направлении, то величина gh остается постоянной. В этих случаях:

При больших скоростях v соотношением (6) можно пользоваться и тогда, когда течение не горизонтально, так как в этих случаях изменениями потенциальной энергии gh с высотой можно пренебречь.

При медленных течениях можно пренебречь кинетической энергией. Тогда

т. е. энтальпия вдоль линии тока остается постоянной.

Этот результат был получен также при рассмотрении опыта Джоуля — Томсона.

4. Технически эффект Джоуля — Томсона может быть осуществлен без использования пробки. Газ, находящийся под высоким давлением (порядка сотен атмосфер), заставляют перетекать в пространство с низким давлением (порядка атмосферного) через вентиль или узкое отверстие. Такой процесс называется дросселированием газа.

Он аналогичен течению газа по широкой трубе, в которой имеется очень узкое отверстие, за которым труба неограниченно расширяется.

Можно считать, что скорость до вентиля мала, а после вентиля на некотором расстоянии также будет мала.

В этом случае к начальному и конечному состояниям газа также применимо соотношение (7).

Процесс Джоуля — Томсона осуществляется либо продавливанием газа через пористую пробку, или путем дросселирования через вентиль.

При этом энтальпия газа в начальном и конечном состояниях одна и та же.

Скорость истечения газа из отверстия

Вычислим скорость истечения сжатого газа из баллона через малое отверстие или сопло. Считая течение ламинарным и установившимся, возьмем произвольную линию тока, один конец которой находится снаружи баллона вблизи отверстия, а другой — внутри баллона, где скорость газа vx пренебрежимо мала.

Применим уравнение Бернулли к точкам 1 и 2 линии тока

Величиной v1 можно пренебречь. v2=v. Тогда

v=√2(i1−i2 )

Эта формула применима как для идеальных, так и для реальных газов. Допустим теперь, что газ — идеальный и что зависимостью теплоемкости СV от

В таком виде, однако, эта формула непригодна для вычислений, так как не известна температура Т2 струи газа при ее выходе из отверстия.

Пусть известны давление Р1 и температура Т1, газа в баллоне,а также наружное давление Р2. Температуру Т2 можно найти из уравнения адиабаты Оно дает

РТ

После подстановки в формулу (1) получаем

Максимальная скорость достигается при истечении в вакуум. Она равна

v=√μ2 C P T

Подставляя вместо СР

C P= γγ−R1

Для молекулярного водорода при температуре Т = 1000 К эта формула дает v= 5400 м/с-

2. Получение больших скоростей истечения газов является одной из важнейших проблем ракетной техники. Формула (2) показывает, что скорость истечения пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры и обратно пропорциональна квадратному корню из молекулярного веса газа. Поэтому в ракетной технике выгодно применять горючее с малым молекулярным весом, обладающее высокой калорийностью (чтобы температура Т была возможно выше).

Из формулы (2) следует, что при истечении в вакуум Т2 = 0, т. е. газ охлаждается до абсолютного нуля.

Есть несколько причин того, что это не так.

1)Вывод получен в предположении ламинарности течения, тогда как реальное истечение газа в вакуум всегда турбулентное.

2)газ считается идеальным вплоть до абсолютного нуля

3)его теплоемкости СР и Cv постоянны при всех температурах.