5.1.1. Задачи, методы и основные подходы Фурье-оптики, плоские волны в параксиальном приближении, угловой спектр.

О сновная задача – обработка изображения оптической системой (ОС). 1) Распространение ЭМИ от 1-й плоскости до ОС; 2) Преобразование в ОС; 3) Распространение ЭМИ от ОС до 2-й плоскости. Задачам дифракции и связанным с ним проблемам посвящена Фурье-оптика (ФО)..

Распространение ЭМВ. Рассмотрим пустое пространство без свободных зарядов. Запишем ур-я Максвелла системе СГС:

. Отсюда , – волновые уравнения, решения ищутся в виде: ,

, – частота; – волновой вектор. . , . Получим плоскую ЭМВ . Любая ЭМВ является суперпозицией плоских волн.

Пусть , рассматриваем только , так как из него выводится. Основные подходы, используемые в Фурье-оптике: 1) рассм. только линейные системы. Алгоритм: произвольная волна -> суперпозиция элементарных волн -> суперпозиция реакции. 2) исп. параксиальное приближение (углы ).

В параксиальном приближении , ,

. ЭМВ в параксиальном приближении:

. В качестве элементарных сигналов выберем -функции . Так как система линейна

. – импульсная характеристика. Инвариантность относительно сдвига времени: . – свертка. Изображение должно выражаться через входное изображение и импульсную характеристику ОС: . Это возможно при условии – условие изопланарности системы.

5.1.2. Плоские волны в параксиальном приближении. Угловой спектр

Рассмотрим плоскую ЭМВ, распр-ся под малым углом вдоль z.

. Направление распространения волны можно определить через два угла относительно оси z: , . В плоскости z=0 эта волна будет создавать поле:

Не учитываем зависимость от времени. . Запишем спектр изображения:

, те. спектр представляет собой дельта функцию, сосредоточенную в точке с коорд.: . Плоская ЭМВ, направление распространения которой определяется создает в плоскости z=0 изображение, спектр которого представляет собой дельта функцию, сосредоточенную в точке с указанными выше координатами. Это – основа ФО. Фурье-спектр изображения соотв. угловому спектру создающего его излучения. Т.о., для нахождения углового спектра необх. и дост. Вычислить 2-хмерное ПФ распределения амплитуды ЭМИ.

5.2. Двумерное преобразование Фурье точки, линии решетки линий, мультиплицированного отверстия.

Прямое ПФ:

Обратное ПФ:

Свойства 2-хмерного ПФ:

1) Линейность прямого и обратно ПФ:

,

2) Сдвиг: :

3) Масштабирование :

4) Свертка:

5) Произведение

Примеры двумерных ПФ. Точка, линия.

ФО двумерной ф-ции есть угловой спектр плоской нормально падающей волны, дифрагировавшей на транспаранте, соответствующим данной ф-ции.

1) Точка: :

2) Линия: :

Дифракция на бесконечно тонкой вертикальной щели дает бесконечно тонкую горизонтальную линию.

3) двухмерная решетка линий: .

4) Мультиплицированное отверстие. Задача – найти ФО мультиплицированного транспаранта, построенного математическим размножением.

Теорема о свертке: .

Т.е. исходный спектр оказывается промодулированным исходной решеткой точек.