16 |
Молекулярная физика |
1.8. Уравнение Роберта Майера
Вспомним формулу
CP−CV =[(∂∂UV )T +P ](∂∂VT )P
иприменим ее к идеальному газу. По закону Джоуля
(∂∂UV )T =0
Из уравнения Клапейрона PV=RT следует
(∂∂VT )P= RP
Поэтому
CP-CV=R. |
(1) |
Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера.
Механический эквивалент теплоты.
Всистеме СИ единицей количества тепла является Дж
Всистеме сгс — эрг
Для определения количества теплоты была введена калория (малая калория и большая=Ккал), которая определяется как количество теплоты для нагревания 1 г воды на 1 град при нормальных условиях. Вводят также нулевую, пятнадцатиградусную, двадцатиградусную калории. Например двадцатиградусная калория равна количству теплоты переданную 1 г воды при нагреве от 19,5оС до 20,5оС
R=1,9858 кал/(К моль)≈2 кал/(К моль)
С другой стороны, газовую постоянную R можно измерить в механических единицах. R = 8,314 107 эрг/(К-моль)
Приравнивая эти две величины, получаем 1 кал = 4,18 107 эрг = 4,18 Дж.
1.9.Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона
Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим.
Пусть идеальный газ совершает квазистатический адиабатический процесс. Запишем I закон термодинамики
δQ=dU +РdV
δQ=0, dU = CVdT, получим
17 |
|
|
|
|
|
|
|
Молекулярная физика |
|
CVdT + PdV=0.Þ dT =− pdV (*) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
CV |
|
Из уравнения состояния Клапейрона |
|
|
|
|
|
||||
dT = |
d (PV ) |
= PdV +V dP |
= PdV +V dP (**) |
||||||
|
|
||||||||
|
R |
|
R |
CP −CV |
|||||
приравняем (*) и (**) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
− PdV = PdV +V dP |
|||||||
|
|
|
CV |
|
|
C P−CV |
|||
Обозначим |
γ= |
C P |
|
(1) |
|||||
CV |
|||||||||
|
|
CP−CV |
|
|
|||||
|
− |
PdV = PdV +V dP |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
CV |
|
|
|
|
|
|
γ P dV +VdP=0 (2) |
|
|
|
|
|
||||
Это дифференциальное уравнение квазистатического адиабатического процесса для идеального газа.
Теплоемкости СР и СV для идеальных газов могут зависеть от температуры. Но во многих случаях они остаются практически постоянными в широких температурных
интервалах. В этом случае g= const. Тогда
γ dV =− dp |
γ∫ dV |
=−∫ dp |
+const |
γ ln V =−ln P +const |
|
|
V |
p |
V |
p |
|
V γ P=const |
(3) |
|
|
|
|
|
||
уравнение Пуассона. |
|
|
|
|
||
P= RT |
Þ |
|
|
|
V γ−1 T =const |
(4) |
V |
|
|
|
|
|
|
V = RT |
Þ |
|
|
|
Pγ−1 /T γ=const |
(5) |
P |
|
|
|
|
|
|
'Так как g>1, то из (4) следует, что при адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении — охлаждается. На этом основано явление пневматического огнива. Это явление находит применение в дизелях, где воспламенение горючей смеси осуществляется путем адиабатического сжатия.
Нагревание газа при адиабатическом сжатии объясняется тем, что во время сжатия над газом производится работа, которая идет на увеличение его внутренней энергии. А так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то это увеличение внутренней энергии проявляется в повышении его температуры. Аналогично объясняется и охлаждение газа при адиабатическом расширении.
Выписанные выше законы применимы только для квазистатических процессов. Для процессов описанных ниже они неприменимы, т. к. это неравновесные процессы.
Адиабатическое расширение идеального газа в вакуум
18 |
Молекулярная физика |
Пусть вначале идеальный газ занимал объем V1, а после свободного расширения — объем V2. Система предполагается изолированной. Так как работа не совершается и тепло не поступает, то внутренняя энергия газа и, следовательно, его температура не меняются.
Адиабатическое расширение газа Ван-дер-Ваальса в вакуум
Пусть в начальный момент газ Ван-дер-Ваальса находился в сосуде, занимая в нем объем V1. После удаления перегородки газ получает возможность свободно расширяться до объема V2 (V2 > V1). Считая, что сосуд окружен теплоизолирующей оболочкой, найдем изменение температуры газа после установления равновесия.
Поскольку теплота в систему не поступает и при свободном расширении газ не совершает работу, то его внутренняя энергия не меняется. Так как для газа Ван-дер- Ваальса U1 = СvТ1 - a/V1, U2 = СvТ2 - a/V2, то из условия U1 = U2 найдем
T2 - T1 = -a/Cv (1/V1 - 1/V2) < 0.
Следовательно, в данном процессе газ охлаждается. Объяснение этого эффекта состоит в том, что при расширении газа совершается работа против сил притяжения молекул. Эта работа производится за счет кинетической энергии молекул и, следовательно, сопровождается охлаждением газа.
•
Задание: проанализируйте разницу в равновесных и неравновесных процессах.
19 |
Молекулярная физика |
1.10. Определение СР/СV методом Клемана и Дезорма
Клеман и Дезорм в 1819 году предложили и осуществили следующий метод измерения отношения теплоемкостей γ=CP/CV для газов. Стеклянный баллон вместимостью в несколько литров наполняется исследуемым газом при атмосферном давлении. С помощью насоса в баллон дополнительно накачивается небольшая порция того же газа, затем кран К1 закрывается.
Спустя короткое время температура газа в баллоне сравняется с температурой окружающего воздуха. После этого водяным манометром измеряют давление газа в баллоне. Обозначим это давление Р1, а температуру газа Т0.
Затем на короткое время открывают кран К2 .Часть газа выйдет из баллона, и его
давление Р0 сравняется с атмосферным. Газ, оставшийся в баллоне, адиабатически расширится, совершив работу против давления окружающего воздуха. Вследствие этого его температура понизится до некоторого значения
Т.
Затем кран К2 быстро закрывается, и газ начинает медленно нагреваться, пока его температура не сравняется с температурой Т0 окружающего воздуха. Давление газа в этот момент равно Р2.
По измеренным давлениям Р1, P0, P2 можно вычислить отношение теплоемкостей
γ=CP/CV.
Для этого мысленно выделим внутри нашего баллона произвольную порцию газа, ограниченную замкнутой поверхностью. Эта поверхность на рис. изображена пунктиром. Она играет роль оболочки, в которую заключена рассматриваемая порция газа.
В различных процессах газ, заключенный в эту «оболочку», будет расширяться и сжиматься, совершая работу против давления окружающего газа и обмениваясь с ним теплом. Поскольку изменения давлений малы в сравнении с атмосферным можно считать все процессы квазистатическими.
адиабата
1:P1,T0,V1
2:P0,T,V2
изотерма
изохора
3:P2,T0,V2