Поскольку вместо r мы используем v, тогда интеграл представим в виде:

неподвижных молекул и нет молекул с бесконечно большими скоростями. Как видно из кривой рис. 1, функция распределения имеет максимум при некотором значении скорости vH. Это значит, что наибольшая доля всех молекул газа движется со скоростями, значения которых близки к vн, встречаются у молекул газа чаще других, что вероятность того, что скорость молекулы близка к vН, —наибольшая. Поэтому скорость vН , которой соответствует максимум кривой распределения Максвелла, называется наивероятнейшей скоростью.

Пользуясь кривой распределения молекул по скоростям, можно графически найти долю молекул — в единице объема газа, скорости которых лежат в заданном интервале скоростей dv. Она равна площади заштрихованной полосы на рис. 1 с основанием dv и высотой f(v).

dnn = f (v)dv

Ясно, что вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью скоростей, дает нам общее число молекул в единице объема.

Как видно из формулы , вид кривой распределения зависит от природы газа (в формулу входит масса молекулы m и от температуры. На рис. 2 приведены кривые распределения молекул азота по скоростям при различных температурах.

Рис.2 Из них видно, что при повышении температуры скорости молекул возрастают, так что вся

кривая смещается в сторону больших скоростей. Но площади, ограниченные кривыми и осью скоростей, остаются, конечно, неизменными. Вследствие этого максимум кривой при повышении температуры уменьшается.

Больцман показал, что если газ находится в состоянии, в котором его молекулы распределены по скоростям не по Максвеллу, то такой газ, благодаря столкновениям молекул, сам собой переходит в состояние с максвелловским распределением.

Распределение Максвелла (иногда говорят: распределение Максвелла — Больцмана) — это равновесное распределение.

Молекулярные движения, происходящие в газе, мы все время называли хаотическими. Теперь мы можем дать точное определение понятию хаотичности тепловых движений: движение молекул полностью беспорядочно (хаотично), если скорости молекул распределены по закону Максвелла.

Такие вполне хаотические движения молекулы совершают, когда газ находится в состоянии равновесия. Это состояние характеризуется величиной температуры, которая в свою очередь определяется средней кинетической энергией движения молекул. Отсюда следует, что температура определяется средней кинетической энергией именно хаотических движений. Всякое же направленное движение молекул, каковы бы ни были их скорости в таком движении, никакого отношения к температуре не имеет.

Как бы велика ни была скорость воздуха, образующего сильный ветер, она не сделает его горячим. Ветры, даже самые сильные, могут быть и теплыми и холодными, потому что температура газа определяется не направленной скоростью ветра, а теми хаотическими движениями, которые молекулы совершают наряду с направленным движением газа как

Это равенство выполняется либо при v = 0, либо при v = ∞, либо при условии, что

Ясно, что первые два условия не соответствуют максимуму кривой распределения. Следовательно, значение vH определяется из условия

(4а)

Сравнивая выражения A4.3), A4.6) и A5.1), находим соотношение между тремя вычисленными значениями скоростей:

vН /V кв=√2 /3=√2/3=0,816= 1,221

Свойства Г-функции

6.9. Границы применимости классических распределений. Температура вырождения

Задача о распределении молекул газа по скоростям, как она сформулирована выше, а также методы решения ее, приводимые дальше, являются чисто классическими. Поэтому необходимо прежде всего выяснить границы применимости такого классического рассмотрения.

Если не обращать внимания на малосущественные численные коэффициенты порядка единицы, то ответ можно получить из наглядных соображений, хотя бы с помощью принципа неопределенности Гайзенберга (род. 1901). Выделим в газе маленький кубик со сторонами х, у, z, на который в среднем приходится одна частица. Если выполнены условия

xpx h , ypy h, zpz h

то движение частицы в этом кубике можно рассматривать классически.

Действительно, согласно принципу неопределенности Гайзенберга, произведение квантовых неопределенностей координаты и импульсы частицы порядка h, а потому при соблюдении указанных условий эти неопределенности существенной роли не играют.

Перемножив эти три неравенства, можно заменить их одним:

Vp3 h3 ,

где V = хуz — объем кубика, а р — некоторый средний импульс, характеризующий движение частиц газа. Если п — число частиц в единице объема, тогда

V = 1/n, так что предыдущее соотношение принимает вид

n (h/ p)3 1 .

Величина

λ= hp = mvh

называется длиной волны де-Бройля и играет исключительно важную роль в квантовой механике.