113 |
|
|
|
Молекулярная физика |
|
|
Плотность функции распределения |
|
|
|
|
||
Пусть |
за время наблюдения |
T фазовая |
точка, изображающая |
состояние |
системы |
|
сколько-то раз заскакивает в объем |
Ω и проводит там какое-то |
время t ( T ) . Тогда |
||||
вероятностью |
w того, что мы обнаружим свою систему в этом элементе фазового |
объема |
||||
называется величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
w = lim |
t (T ) |
|
|
(2.1) |
|
|
T |
|
|||
|
|
T → ∞ |
|
|
||
Переходя к бесконечно малому фазовому объему
dΩ = dqdp = dq1dq2 ....dqn dp1dp2 ....dpn
найдем вероятность нахождения системы в интервалах между qi.pi и qi+dqi, pi+dpi dw = ρ ( p, q)dΩ
r r |
r |
r |
r |
r |
где ρ { p,q} = |
ρ { p1 |
, p2 |
, p3 |
,...pN , |
r |
r |
r r |
q1 |
, q2 |
, q3...qN } |
плотность функции распределения
Соотношение (2.1) можно рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке фазового пространства. Переходя к пределу бесконечно малого элемента объема фазового пространства мы вводим функцию распределения ρ(p, q, t). В силу самого определения статистическое (или фазовое) усреднение представляется вполне эквивалентным усреднению по времени. Это так называемая эргодическая гипотеза. Физикам, обычно, достаточно таких простых соображений. В частности, Ландау считал, что значение эргодической проблемы вообще преувеличивается математиками. Несмотря на продолжающиеся дискуссии на эту тему, с прагматической точки зрения подход Гиббса не вызывает никаких сомнений, так как все основные выводы, полученные в рамках статистической механики получают полное экспериментальное подтверждение.
Свойства плотности функции распределения
Статистическое распределение не зависит от ее начального состояния системы. Поэтому статистическое распределение можно найти не решая задачу механики с учетом начальных условий.
Нахождение статистического распределения является основной задачей статистики. Если мы знаем функцию распределения, то мы можем найти средние значения любой физической величины f(q,p)
< f > = ò f ( p, q)ρ ( p, q)dΩ
Если f1 и f2 – две физические величины, относящиеся к двум разным подсистемам, тогда из свойства мультипликативности следует
<f1 f2>=<f1><f2>
Чтобы вычислить флуктуацию некоторой физической величины достаточно вычислить второй момент распределения
( f )2 = ( f − f )2 = ( f )2 − f 2
114 |
Молекулярная физика |
среднеквадратичной флуктуацией называется величина
( f )2
а отношение 
( f )2 / f - относительной флуктуацией величины f.
Какими свойствами обладает функция распределения ρ { pr,qr} и как ее можно использовать для предсказания физических свойств макроскопических систем?
|
ρ |
{ |
r |
r |
|
Первое, практически, очевидное свойство функции |
p,q |
||||
|
|
|
} состоит в том, что |
||
интеграл от этой функции по всему фазовому пространству равен единице:
ò |
r r |
ρ { p, q} ∏ dqi dpi = 1 |
|
|
i |
Это свойство очевидно, потому что этот интеграл определяет вероятность того, что система находится хоть в какой-нибудь точке фазового пространства, что реализуется со стопроцентной вероятностью.
Второе свойство более сложное. Рассмотрим большую систему, которую мысленно разделим на две подсистемы. Вопрос: какова вероятность того, что большая система
находится в таком состоянии, что первая подсистема находится в заданной точке {qi(1) , pi(1) } в
элементе Ω 1 своего фазового пространства , а вторая - в |
точке {qi( 2) , pi( 2) } в элементе |
Ω 2 своего. Т.к. движение частиц в обеих подсистемах можно считать независимыми друг от друга, можно написать эту вероятность в виде:
ρ {qi(1) , pi(1) , qi( 2) , pi( 2) } dΩ 1 dΩ 2 = ρ {qi(1) , pi(1) }dΩ 1 ρ {qi( 2) , pi( 2) } dΩ 2
Или иначе
ρ {qi(1) , pi(1) , qi( 2) , pi( 2) } = ρ {qi(1) , pi(1) } ρ {qi( 2) , pi( 2) }
Вероятность той или иной части равновесной системы находится в заданном состоянии, не зависит от того, в каком состоянии находятся другие части этой системы. Это свойство называется статистической независимостью. Как следствие - плотность вероятности обладает свойством мультипликативности. Это второе важнейшее свойство функции
ρ { pr,qr} . Это свойство является приближенным по следующим соображениям. Рассмотрим
две подсистемы. Полная энергия пропорциональна числу частиц E~ N =N x N y N z а энергия взаимодействия двух подсистем будет пропорциональна числу взаимодействующих частиц, которые находятся вблизи соприкасающихся подсистем с толщиной слоя порядка межатомного расстояния, т. е. Eвз~N x N y . Отсюда легко получить оценку
Eвз/ E~ N z ~ N11/ 3
рассматривать движение частиц в подсистемах независимым.