70 |
Молекулярная физика |
4.2.Стационарные задачи на теплопроводность
Все задачи на теплопроводность могут быть разделены на стационарные и нестационарные. Стационарными называются такие задачи, в которых температура Т не меняется во времени. Она является функцией только пространственных координат. В этом случае dT/dt = 0. В одномерных задачах Т зависит только от одной пространственной координаты, так что отпадает надобность в символе для частных производных. Рассмотрим простейшие стационарные одномерные задачи.
1. Стационарное распределение температуры в бесконечной плоскопараллельной пластинке.
Допустим, что имеется бесконечная пластинка толщины l, поверхности которой поддерживаются при постоянных температурах Т1 и T2,. Требуется найти распределение температуры Т внутри такой пластинки.
Примем за ось X прямую направленную вдоль l. Начало координат поместим на
плоскости c температурой Т1. Коэффициент теплопроводности κ может зависеть от координаты х. Поскольку задача стационарная то dT/dt=0 и уравнение (4)
ρ cV ∂∂Tt = ∂∂x (κ ∂∂Tx )
переходит в ddx (κ dd Tx )=0
Из него следует, что
κ |
d T |
=const |
или J=const |
|
d x |
||||
|
|
|
Постоянство плотности потока тепла справедливо независимо от того, однородна пластинка или нет.
Рассмотрим теперь простейший случай однородной пластинки. В этом случае коэффициент κ постоянен, а потому
dT/dx = const. Обозначим const =A dT/dx = A
и интегрируя, получим
Т = Ах + В,
где В — вторая постоянная интегрирования.
Температура поперек пластинки меняется с координатой х по линейному закону. Постоянные А и В совершенно не зависят от коэффициента теплопроводности. Они определяются из граничных условий:
При х=0 Т=Т1 При х=l Т=Т1 Тогда
71 |
Молекулярная физика |
{Т 1=(Ах +В)x=0
Т 2=( Ах+В)x=l
{Т 1=В
Т 2= Аl+ В
{В=Т 1
A=Тl 2−T 1
Тогда распределение температуры:
T =T 1 + T 2−l T 1 x
Принцип суперпозиции температур. Температурные волны (среда однородна и κ не зависит от Т)
1. Уравнение теплопроводности
∂T |
=χ |
∂2 T |
, q=0 |
∂ t |
|
∂ x2 |
|
линейно и однородно.
Следствием этого является важное свойство его решений, называемое принципом суперпозиции температурных возмущений.
Пусть |
T 1 (х ,t ) |
и Т 2 (х ,t) — какие-либо два решения уравнения, т. е. |
||||||||||
|
∂T 1 |
=χ |
∂2T 1 |
|
, |
|
∂T 2 |
=χ |
∂2 T 2 |
|
||
|
∂t |
∂ x2 |
|
∂ x2 |
||||||||
|
|
|
|
∂t |
||||||||
Если почленно сложить эти соотношения, то получится |
||||||||||||
|
∂(T 1+T 2) |
=χ |
∂2 |
(T 1+T 2) |
|
|
||||||
|
∂t |
|
|
∂ x2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда видно, что сумма
T =T 1 +T 2
также является решением уравнения.
Эта математическое утверждение выражает следующий физический факт.
Пусть Т 1 (х ,t ) , Т 2 ( х ,t) — какие-либо возможные произвольные распределения температуры в среде. Тогда их сумма
(Т 1(х ,t )+Т 2 (х ,t ))
дает также некоторое возможное распределение температуры в той же среде. Это положение и называется принципом суперпозиции (наложения) температурных возмущений.
Для правильного применения принципа суперпозиции температур необходимо иметь в виду, что свойства реальных сред, в том числе и коэффициент температуропроводности, меняются с температурой. Температура Т =Т1+Т2 может оказаться, например, настолько высокой, что твердое тело расплавится или испарится. Тогда решение Т =Т1+Т2 потеряет всякий смысл. Таким образом, свойства линейности и однородности уравнение теплопроводности сохраняет лишь приближенно в каком-
72 |
Молекулярная физика |
то температурном интервале, в котором коэффициент температуропроводности постоянен. Принцип суперпозиции сохраняет силу только тогда, когда все температуры, а также их сумма не выходят за пределы этого интервала. Вне этих пределов принцип суперпозиции несправедлив.
Основное значение принципа суперпозиции состоит в том, что он позволяет по известным решениям уравнения теплопроводности «конструировать новые решения.
2. При решении уравнения теплопроводности могут возникать комплексные решения вида:
Т =Т1+iТ2
где Т1, Т2 — величины вещественные.
Пусть Т — есть решение уравнения теплопроводности:
∂T |
=χ |
∂2 T |
, |
∂ t |
|
∂ x2 |
|
Подставим наше решение в уравнение
∂(T 1+iT 2 ) |
=χ |
∂2 |
(T 1 +iT 2) |
∂t |
|
∂ x2 |
|
|
|
и представим его в виде:
(∂∂Tt1 −χ ∂∂2 Tx21)+i(∂∂Tt2 −χ ∂∂2 Tx22 )=0
Но комплексное число тогда и только тогда равно нулю, когда в отдельности равны нулю его вещественная и мнимая части, т. е.
(∂∂Tt1 −χ ∂∂2 xT21 )=0 (∂∂Tt2 −χ ∂∂2 Tx22 )=0
Т.е., если комплексная функция Т = Т1 + iT2 является решением уравнения теплопроводности, то вещественные функции Т1 и T2 также являются решениями того же уравнения.
3. Если в каком-либо месте среды температура периодически меняется во времени, то это приведет к периодическим изменениям температуры и во всех остальных точках среды.
4.3.Температурные волны
Рассмотрим простейший случай, когда среда однородна и заполняет полупространство, ограниченное плоскостью х=0. Ось X направим внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Пусть температура на поверхности среды меняется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону, колеблясь вокруг некоторого среднего значения. Это среднее значение можно принять равным нулю, если условиться от него отсчитывать температуру.
73 |
Молекулярная физика |
При отыскании периодических решений уравнения теплопроводности вместо синуса или косинуса удобнее пользоваться комплексной показательной функцией, для которой справедлива формулы Эйлера
eia=cos а+i sin а |
(1) |
Будем искать решение в виде плоских волн:
T =T 0 ei (ω t +kx ) |
(2) |
где T0, ω, k постоянные.
Подставляя эти выражения в уравнение теплопроводности:
∂T |
|
∂2 T |
2 |
|
2 |
|
∂ t |
=i ωT , |
∂ x2 |
=(i k ) |
T =−k |
|
T |
и сокращая, получим |
i ω=−χ k2 |
|
|
(3) |
||
|
|
|
||||
Постоянную ω зададим вещественной и положительной, т. к. она является частотой колебаний. Тогда постоянная k будет комплексной и может иметь два значения:
k=±√−i ω/χ
Чтобы вычислить этот корень воспользуемся формулой Эйлера:
eia=cos а+i sin а
если положим a=−π/2 , то cos(−π/2)=0,sin(−π/2)=−1
−i=e−i π/ 2
В результате
k=±√−i ω/χ=±(ω/χ e−i π/ 2 )1/ 2=±√ω/χ e−i π/ 4=±√ω/χ(cos(π/ 4)−isin (π/4))=±√ω/(2 χ)(1−i)
|
k =±√ |
|
|
|
(4) |
введем обозначение |
ω/(2 χ)(1−i) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
α=√ω/(2 χ) |
|
|
|
|
|
Тогда решение уравнения теплопроводности (2) будет иметь вид: |
|
||||
T =T 0 e−α x ei (ωt −α x) и |
|
второе |
T =T 0 eα x ei (ω t+αx ) |
(5) |
|
Из этих двух решений второе надо отбросить по физическим соображениям. Колебания температуры начинают возбуждаться на поверхности среды и передаются внутрь нее. Естественно, что эти колебания должны затухать, а не нарастать по мере удаления от поверхности среды. Между тем знаку плюс в формуле (5) соответствует экспоненциально растущий множитель стремящийся к бесконечности при x →∞ .
Т.о. решение имеет вид:
T =T 0 e−α x cos(ωt−α x)
Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл.
Всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям.
T =T 0 e−α x cos(ωt−α x) T =T 0 e−α x sin (ωt−α x)
Оба решения однотипны — синус всегда можно преобразовать в косинус путем изменения начала отсчета времени. Поэтому достаточно ограничиться исследованием первого из них.
74 |
Молекулярная физика |
Полученное решение |
(6) |
T =T 0 e−α x cos(ωt−α x) |
|
Плоская бегущая волна с затухающей амплитудой |
|
Т0 e−α x
1)Зафиксируем х, то в каждой точке пространства температура Т совершает во
времени гармонические колебания с одним и тем же периодом
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
||
2) Фаза этих колебаний |
|
|
τ= ω |
|
|
|
||||
ϕ=ωt−α x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меняется от точки к точке. Поверхность равной фазы определится формулой: |
||||||||||
|
|
ϕ0=ωt−α x=const |
|
|
(7) |
|||||
найдем из этой формулы скорость движения волны: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x=(ωt−const )/α |
|
|
|
||||
Тогда фазовая скорость или просто скорость этой волны |
|
|
||||||||
dx |
ω |
|
ω |
|
|
2 π |
|
πχ |
||
|
|
|
||||||||
V = dt |
= α= |
|
|
|
=√ω2χ=√ |
τ 2χ=2 |
√ |
τ |
||
√ |
|
|
||||||||
ω/(2 χ) |
||||||||||
Таким образом плоская волна с фронтом волны параллельной плоскости полупространства распространяется вдоль оси х со скоростью v.
Длина температурной волны λ есть расстояние, проходимое ею за период τ. Она равна
λ=v τ=2 √πχ τ |
(8) |
Поскольку амплитуда А температурной волны, как видно из формулы (6), затухает в направлении распространения по экспоненциальному закону:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А=Т 0 е−α х |
, |
(9) |
|||
Где α - коэффициент затухания температурной волны. На протяжении длины |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=1/α |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
амплитуда волны убывает в е раз. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Получим выражение для α: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2π)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
2π |
|
2 π |
|
|
|
||||
α=√ω/(2 χ)= |
= |
= |
|
= |
(11) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
λ |
|
|||||||||
|
|
|
√2 χ τ |
|
√2 (πχ τ) |
2 |
√πχ τ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда глубина проникновения волн |
|
|
|
|
|
(12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=λ/(2 π)=2√π χ τ/2 π |
||||||||
Применим выведенные результаты к тепловым волнам, возбуждаемым в поверхностном слое Земли суточными и годовыми колебаниями температуры ее поверхности. Для простоты будем считать, что колебания являются гармоническими.
Периодами таких низкочастотных колебаний в нашей задаче являются соответственно год и сутки. Глубины проникновения суточных и годовых температурных волн-, согласно формуле (12)
lсуткиlгод =√ττсуткигод
75 |
Молекулярная физика |
Экспериментально было найдено, что колебания температуры, вызываемые нагреванием земной поверхности днем и охлаждением ночью, не влияют на температуру Земли уже на глубине ~ 1 м. Годовые же колебания земной поверхности, связанные с нагреванием ее летом и охлаждением зимой, перестают наблюдаться на глубине ~ 20 м. Глубже температура Земли совершенно не зависит от температурных колебаний ее поверхности. Все это находится в полном соответствии с теоретической оценкой, приведенной выше.
Глубина проникновения температурных волн пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли. Вот почему при вычислениях можно было совсем пренебречь сферичностью Земли и считать ее плоской.